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1、学习必备 欢迎下载 排列组合知识点与方法归纳 一、 知识要点 1. 分类计数原理与分步计算原理 （1） 分类计算原理（加法原理）： 完成一件事，有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1+ m2+ mn种不同的方法。 （2） 分步计数原理（乘法原理）： 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1 m2 mn种不同的方法。 2. 排列 （1） 定义 从 n 个不同
2、元素中取出 m （ ）个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的排列数，记为 . （2） 排列数的公式与性质 a) 排列数的公式： =n （n-1）（n-2）（n-m+1 ）= 特例：当 m=n时， =n ！=n（n-1）（n-2）321 规定：0！=1 b) 排列数的性质： （） =（） （） 3. 组合 （1） 定义 学习必备 欢迎下载 a) 从 n 个不同元素中取出 个元素并成一组， 叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合 b) 从 n 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号 表示。 （2） 组合
3、数的公式与性质 a) 组合数公式： （乘积表示） （阶乘表示） 特例： b) 组合数的主要性质： （） （） 4. 排列组合的区别与联系 （1） 排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 （2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系： 二、经典例题 例 1、某人计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60、70 元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买 3 片，磁盘至少买
4、2 盒，则不同的选购方式是（ ） A .5 种 B.6 种 C. 7种 D. 8种 解：注意到购买 3 片软件和 2 盒磁盘花去 320 元，所以，这里只讨论剩下的 180 元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论： 第一类，再买 3 片软件，不买磁盘，只有 1种方法； 第二类，再买 2 片软件，不买磁盘，只有 1 种方法； 第三类，再买 1 片软件，再买 1 盒磁盘或不买磁盘，有 2 种方法； 第四类，不买软件，再买 2 盒磁盘、1 盒磁盘或不买磁盘，有 3 种方法； 于是由分类计数原理可知，共有成一件事有类办法在第一类办法中有种不同的方法在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的
5、方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理乘法原理完成一件事需要分成个步骤做第步有种不同的方法做第步有种排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数记为排列数的公式与性质排列数的公式特例当时规定排列数的性质组合定义学习必备欢迎下载从个不同元素中取出个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合从个质组合数公式乘积表示阶乘表示特例组合数的主要性质排列组合的区别与联系排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关而排列不仅与选取的元素有关而且还与取出元素的顺序有关因此所给问题是否与取出元素的顺序有关是判学习必备 欢迎下载 N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选 C。 例 2、在中有 4
6、 个编号为 1，2，3，4 的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？ 解：根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色，于是考虑以对角的小三角形 1、4 同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算。 第一类：1 与 4 同色，则 1 与 4 有 5 种涂法，2 有 4 种涂法，3 有 4 种涂法， 故此时有 N1=544=80种不同涂法。 第二类：1 与 4 不同色，则 1 有 5 种涂法，4 有 4 种涂法，2 有 3 种涂法，3 有 3 种涂法，故此时有 N2=543
7、3=180种不同涂法。 综上可知，不同的涂法共有 80+180=260种。 例 3、用数字 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字 4 位数，其中，必含数字 2 和 3，并且2 和 3 不相邻的四位数有多少个？ 解：注意到这里“0”的特殊性，故分两类来讨论。 第一类：不含“0”的符合条件的四位数，首先从 1，4，5 这三个数字中任选两个作排列有 种； 进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置， 又有 种排法，于是由分步计数原理可知，不含 0 且符合条件的四位数共有=36 个。 第二类：含有“0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先从 1，4，5 这
8、三个数字中任选一个，而后与 0，2，3 进行全排列，这样的排列共有 个。 其中，有如下三种情况不合题意，应当排险： （1）0 在首位的，有 个； （2）0 在百位或十位，但 2 与 3 相邻的，有 个 （3）0 在个位的，但 2 与 3 相邻的，有 个 因此，含有 0 的符合条件的四位数共有 =30 个 成一件事有类办法在第一类办法中有种不同的方法在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理乘法原理完成一件事需要分成个步骤做第步有种不同的方法做第步有种排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数记为排列数的公式与性质排列数的公式特例当时规定
9、排列数的性质组合定义学习必备欢迎下载从个不同元素中取出个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合从个质组合数公式乘积表示阶乘表示特例组合数的主要性质排列组合的区别与联系排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关而排列不仅与选取的元素有关而且还与取出元素的顺序有关因此所给问题是否与取出元素的顺序有关是判学习必备 欢迎下载 于是可知，符合条件的四位数共有 36+30=66个 例 4、某人在打靶时射击 8 枪，命中 4 枪，若命中的 4 枪有且只有 3 枪是连续命中的，那么该人射击的 8 枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（ ） A.720 种 B.480 种 C.24 种
10、D.20 种 分析：首先，对未命中的 4 枪进行排列，它们形成 5 个空挡，注意到未命中的 4 枪“地位平等”，故只有一种排法，其次，将连中的 3 枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面 5个空格中选 2 个排进去， 有 种排法， 于是由乘法原理知， 不同的报告结果菜有 种。 例 5、 （1） ； （2）若 ，则 n= ； （3） ； （4）若 ，则 n 的取值集合为 ； （5）方程 的解集为 ； 解： （1）注意到 n 满足的条件 原式= （ 2 ） 运 用 杨 辉 恒 等 式 ， 已 知 等 式 所求 n=4。 （3）根据杨辉恒等式 原式= = 成一件事有类办法在第一类办法中有种不同的方法在
11、第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理乘法原理完成一件事需要分成个步骤做第步有种不同的方法做第步有种排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数记为排列数的公式与性质排列数的公式特例当时规定排列数的性质组合定义学习必备欢迎下载从个不同元素中取出个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合从个质组合数公式乘积表示阶乘表示特例组合数的主要性质排列组合的区别与联系排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关而排列不仅与选取的元素有关而且还与取出元素的顺序有关因此所给问题是否与取出元素的顺序有关是判学习必备 欢迎下载 = = （4）注意到
12、这里 n 满足的条件 n5 且 nN* 在之下， 原不等式 由、得原不等式的解集为5，6，7，11 （5）由 注意到当 y=0 时， 无意义，原方程组可化为 由此解得 经检验知 是原方程组的解。 成一件事有类办法在第一类办法中有种不同的方法在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理乘法原理完成一件事需要分成个步骤做第步有种不同的方法做第步有种排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数记为排列数的公式与性质排列数的公式特例当时规定排列数的性质组合定义学习必备欢迎下载从个不同元素中取出个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合从个质组合数公式乘积表示阶乘表示特例组合数的主要性质排列组合的区别与联系排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关而排列不仅与选取的元素有关而且还与取出元素的顺序有关因此所给问题是否与取出元素的顺序有关是判
