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1、定积分的概念定积分的概念5366753667 通过求不规则图形面积问题的举例引出通过求不规则图形面积问题的举例引出定积分的概念，使学生理解定积分概念中的定积分的概念，使学生理解定积分概念中的 “分割分割 （化整为零）、（化整为零）、 代替（近似代换）、代替（近似代换）、求和求和 （拾零归整）、（拾零归整）、 取极限（从近似到精取极限（从近似到精确）确）”的数学方法和的数学方法和“以直代曲以直代曲” “以常代变以常代变”的数学思想，挖掘其蕴含的哲学原理。的数学思想，挖掘其蕴含的哲学原理。一、定积分问题举例一、定积分问题举例例例1:求曲边梯形的面积。求曲边梯形的面积。 设曲边是连续曲线设曲边是连续
2、曲线 y = f (x) (f (x) 0)，则曲边梯形就由曲，则曲边梯形就由曲线线y = f (x)、x轴与直线轴与直线x = a、x = b所围成。所围成。 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 窄曲边梯形窄曲边梯形的面积的面积 曲边梯形面积曲边梯形面积的近似值的近似值 窄矩形的面积窄矩形的面积 化整为零化整为零分分 割割代替代替以直代以直代曲曲拾零归整拾零归整求和求和 从近从近似到似到精确精确取极取极限限一、定积分问题举例一、定积分问题举例（1）分割：分割：设分点为：设分点为： a=x0 x1 x2 xn=b其长度为其长度为xi=xixi-1 (i=1,2, ,n)小曲边梯形面积为：小曲边梯形面
3、积为：s1，s2 ，sn （2 2）代替：）代替：si f ( ) xi (i=1,2, ,n) 任意取一点任意取一点 , (xi-1 xi), 用用 为高为高, 以以xi为底的小矩形面积来为底的小矩形面积来近似代替同底的小曲边梯形近似代替同底的小曲边梯形的面积。的面积。一、定积分问题举例一、定积分问题举例（3 3）求和：）求和： （4 4）取极限：）取极限：xi0记作：记作：将将n个小矩形的面积加起来。个小矩形的面积加起来。把区间把区间a，b无限地细分，使得无限地细分，使得一、定积分问题举例一、定积分问题举例例例2：求变速直线运动的路程。：求变速直线运动的路程。 设物体作直线运动，其速度设物
4、体作直线运动，其速度 v (t) 是是 t 的一个的一个连续函数，求物体在时间间隔连续函数，求物体在时间间隔a，b内所经过的路内所经过的路程程 s 。分析：分析： 变速变速匀速匀速求和求和取极限取极限一、定积分问题举例一、定积分问题举例（1）分割：）分割： 设分点为：设分点为：a=t0 t1 t2 tn=b其长度为其长度为ti=titi-1 (i=1,2, ,n)所走过的路程为：所走过的路程为：s1，s2 ，sn ( i = 1,2, ,n )（2）代替：）代替： 任取一个时刻任取一个时刻 (ti-1 ti)以物体在时以物体在时刻刻 的速度的速度 v( ) 去近似代替去近似代替ti-1 , t
5、i上各个时刻上各个时刻的速度的速度 ，得到部分路程，得到部分路程 近似值近似值:si 将这些分段路程加起来，得到总路将这些分段路程加起来，得到总路程的近似值：程的近似值：一、定积分问题举例一、定积分问题举例（3）求和：）求和：（4）取极限：）取极限：ti0记作：记作：把区间把区间a，b无限地细分，使得无限地细分，使得二、定积分的概念二、定积分的概念 上面两个例子：一个是几何问题，一个是物理上面两个例子：一个是几何问题，一个是物理问题，从数量关系上看都是要求某种整体的量。问题，从数量关系上看都是要求某种整体的量。（1）分割）分割化整为零；化整为零；（2）代替）代替 以直代曲或以不变代变；以直代曲
6、或以不变代变；（3）求和）求和 拾零归整；拾零归整；（4）取极限）取极限 从近似到精确。从近似到精确。二、定积分的概念二、定积分的概念定义：定义： 设函数设函数 y = f ( x ) 在区间在区间a , b上连续有界，将区间上连续有界，将区间a , b任意分成任意分成 n 份，分点依次为：份，分点依次为：a=x0 x1 x2 xn=b及和数及和数则称函数则称函数f(x)在区间在区间a，b上的定积分上的定积分在每一个小区间在每一个小区间xi-1，xi上任意取一点上任意取一点 ，作乘积，作乘积f( ) xi (xi =xi xi-1) (i=1，2，n)二、定积分的概念二、定积分的概念被积函数被
7、积函数积分变量积分变量区间区间a , b称为积分区间称为积分区间,积分下限积分下限积分上限积分上限三、有关定积分概念的几点说明三、有关定积分概念的几点说明 ( (一一) )、定积分是一种、定积分是一种和式和式，只与积分区间和，只与积分区间和被积函数的形式有关，积分变量采用什么符号是被积函数的形式有关，积分变量采用什么符号是无关的。可以把无关的。可以把写成写成 ( (二二) )、在定积分的定义中，下限、在定积分的定义中，下限a a总是小于总是小于上限上限b b的。规定：的。规定：当当a ab b 时时，当当a= b a= b 时时，三、有关定积分概念的几点说明三、有关定积分概念的几点说明 ( (
8、三三) )、如果、如果f (x)0，则定积分则定积分 是曲边梯形面积的负值。是曲边梯形面积的负值。当当f (x)0时，定积分为时，定积分为 对于对于f (x)0，有，有f (x)0，则：，则： 三、有关定积分概念的几点说明三、有关定积分概念的几点说明 ( (四四) )、定积分的几何意义是：由曲线、定积分的几何意义是：由曲线y = f (x)，直线直线x = a , x = b , y = 0所围成的几个曲边梯形的面所围成的几个曲边梯形的面积的代数和（即在积的代数和（即在 x 轴上方的面积取正号，在轴上方的面积取正号，在 x 轴轴下方的面积取负号）。下方的面积取负号）。当当f (x) 1时，时，
9、 （1 1）本节课主要讲授了定积分的概念。从上面）本节课主要讲授了定积分的概念。从上面的讲述我们可以知道，定积分是计算曲边梯形面积的讲述我们可以知道，定积分是计算曲边梯形面积的公式，是当区间无限细分时窄曲边梯形面积求和的公式，是当区间无限细分时窄曲边梯形面积求和的极限，在此定义中应重点掌握分割、代替、求和、的极限，在此定义中应重点掌握分割、代替、求和、取极限四个重要环节取极限四个重要环节 （2 2）要注意定积分与不定积分的区别和联系。）要注意定积分与不定积分的区别和联系。 （3 3）要深刻挖掘解决问题的思想方法和蕴含的）要深刻挖掘解决问题的思想方法和蕴含的哲学内涵。哲学内涵。P281 习题一习题一 第第1题题 .第第2题题. 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！24
