弹性力学全本.PPT

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1、 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第一章第一章 绪论绪论1.1 弹性力学的内容弹性力学的内容1.2 弹性力学的几个基本概念弹性力学的几个基本概念1.3 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定1 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 1.1 弹性力学的内容弹性力学的内容1. 弹性体力学：弹性体力学：简称简称弹性力学，弹性力学，有称弹性理论有称弹性理论（Theory of Elasticity)，研究弹性体由于受外力、边界，研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。约束或温度改变等原因而发生的应力

2、、形变和位移。研究对象：弹性体研究对象：弹性体研究目标：变形等效应，即应力、形变和位移。研究目标：变形等效应，即应力、形变和位移。2. 对弹性力学、材料力学和结构力学作比较对弹性力学、材料力学和结构力学作比较 弹性力学的任务和材料力学弹性力学的任务和材料力学, 结构力学的任务一样结构力学的任务一样,是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移移, 校核它们是否具有所需的强度和刚度校核它们是否具有所需的强度和刚度, 并寻求或并寻求或改进它们的计算方法改进它们的计算方法.2 2006.Wei Yuan. All rights reserved. (1)

3、研究对象：研究对象： 材料力学材料力学主要研究主要研究杆件杆件在拉压、剪切、弯曲、扭在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力、形变和位移；转作用下的应力、形变和位移； 结构力学结构力学研究研究杆系结构杆系结构，如桁架、钢架或两者混，如桁架、钢架或两者混合的构架等；合的构架等； 弹性力学弹性力学研究研究各种形状各种形状的弹性体，除杆件外（对的弹性体，除杆件外（对杆件进行进一步的、较精确的分析），还研究平面杆件进行进一步的、较精确的分析），还研究平面体、空间体，板和壳等。体、空间体，板和壳等。(2)研究方法研究方法: 弹性力学与材料力学有相似，又有一弹性力学与材料力学有相似，又有一 定区别。定区别。3

4、 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 弹性力学：弹性力学：在弹性体区域内必须严格考虑静力学、在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出精确解答。进行求解，得出精确解答。材料力学材料力学：虽然也考虑这几个方面的的条件，但不是：虽然也考虑这几个方面的的条件，但不是十分严格。十分严格。 一般地说一般地说, 由于材料力学建立的是近似理论由于材料力学建立的是近似理论, 因此因此得出的是近似

5、的解答。但对于细长的杆件结构而言得出的是近似的解答。但对于细长的杆件结构而言, 材料力学力解答的精度是足够的材料力学力解答的精度是足够的, 符合工程的要求。符合工程的要求。4 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 弹性力学弹性力学:梁的深度并不远小于梁的深度并不远小于梁的跨度，而是同等大小的，那梁的跨度，而是同等大小的，那么，横截面的正应力并不按直线么，横截面的正应力并不按直线分布，而是按曲线变化的。分布，而是按曲线变化的。qq例如：例如：材料力学材料力学:研究直梁在横向载荷作研究直梁在横向载荷作用下的平面弯曲，引用了平面假用下的平面弯曲，引用了平面假设，结果

6、：横截面上的正应力按设，结果：横截面上的正应力按直线分布。直线分布。这时，材料力学中给出的最大正这时，材料力学中给出的最大正应力将具有很大的误差。应力将具有很大的误差。5 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 结构力学：结构力学：研究杆系结构，弹性力学通常并不研究研究杆系结构，弹性力学通常并不研究杆件系统，但在杆件系统，但在20世纪世纪50年代中叶发展起来的有限年代中叶发展起来的有限单元法中单元法中(基于弹性力学的理论基于弹性力学的理论)，把连续体划分成，把连续体划分成有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法、有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法、

7、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构力力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构力学结合综和应用的良好效果。学结合综和应用的良好效果。 弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科中弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科中占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用弹性占有重要的地位。许多非杆件形状的结构必须用弹性力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。力学方法进行分析。例如，大坝，桥梁等。67891011121314 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xzyo1.2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念 弹性力学的基本概念弹性力学的基本概

8、念: 外力、应力、形变和位移外力、应力、形变和位移1. 外力外力：体积力和表面力，简称体积力和表面力，简称体力体力和和面力面力体力体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。VPfFfxfyfzf : 极限矢量极限矢量,即物体在即物体在P点所受体力点所受体力的集度。方向就是的集度。方向就是F的极限方向。的极限方向。fx , fy , fz：体力分量：体力分量, 沿坐标正方沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负。向为正，沿坐标负方向为负。量纲：量纲：N/m3=kgm/s2m3=kg/m2s2即：L-2MT-215 2006.Wei Yuan. All ri

9、ghts reserved. fx , fy , fz：体力分量。：体力分量。xzyofSP面力面力：分布在物体表面的力，例如流体压力和接触力。：分布在物体表面的力，例如流体压力和接触力。Ffyfzfx量纲：量纲：N/m2=kgm/s2m2=kg/ms2即：L-1MT-2f : 极限矢量极限矢量,即物体在即物体在P点所受面力点所受面力的集度。方向就是的集度。方向就是F的极限方向。的极限方向。沿坐标正方向为正，沿坐标负方沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负。向为负。符号规定符号规定:16 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 内力内力：发生在物体内部的力，发生在物

10、体内部的力，即物体即物体本身不同部分之间相互作用的力。本身不同部分之间相互作用的力。xzyoPApF2. 应力应力：单位截面面积的内力单位截面面积的内力.p: 极限矢量极限矢量,即物体在截面即物体在截面mn上的、在的、在P点的应力。点的应力。方向就是方向就是F的极限方向。的极限方向。量纲：量纲：N/m2=kgm/s2m2=kg/ms2 即：L-1MT-2应力分量：应力分量：，17 2006.Wei Yuan. All rights reserved. ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzOPA=x, PB=y , PC=zx, y, z, xy, xz,

11、yx, yz, zx, zy,正面：正面：截面上的外法线截面上的外法线沿坐标轴的正方向沿坐标轴的正方向正面上的应力正面上的应力以沿坐标以沿坐标轴的轴的正方向为正正方向为正，沿坐，沿坐标轴的标轴的负方向为负。负方向为负。负面负面：截面上的外法线截面上的外法线沿坐标轴的负方向沿坐标轴的负方向负面上的应力负面上的应力以沿坐标以沿坐标轴的轴的负方向为正负方向为正，沿坐，沿坐标轴的标轴的正方向为负。正方向为负。正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。符号规定符号规定:（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）18 2006.Wei Yuan. All right

12、s reserved. ABCzyzxzyzyxyxyxzxbyyzyxzyzzxxyxzxaPyxzo 连接前后两面中心的直线连接前后两面中心的直线ab作为矩轴，列出力矩平作为矩轴，列出力矩平衡方程，得衡方程，得得得:同理可得同理可得:切应力互等定理：切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上并作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面角线的切应力是互等的且垂直于该两面角线的切应力是互等的(大小相等大小相等,正符号也相同正符号也相同)。19 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 可以证明可以证明,已知已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得该点任就

13、可求得该点任意截面上的意截面上的, .因此，此六个应力分量可以完全确因此，此六个应力分量可以完全确定该点的应力状态。定该点的应力状态。zyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzOABC20 2006.Wei Yuan. All rights reserved. ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzO用各部分的长度和角度来表用各部分的长度和角度来表示。示。PA=x, PB=y , PC=z线应变：线应变：单位长度的伸缩或相单位长度的伸缩或相对伸缩对伸缩,亦称正应变亦称正应变. 用用 表示表示切应变切应变：各线段之间的直角的：各线段之

14、间的直角的改变改变.用用 表示表示3. 形变形变：就是形状的改变。就是形状的改变。21 2006.Wei Yuan. All rights reserved. ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzO x: x方向的线段方向的线段PA的线应变。的线应变。xy: y与与x两方向的线段两方向的线段PB与与PC之间的直角的改变。之间的直角的改变。 : 伸长为正，伸长为正，缩短为负。缩短为负。量纲：量纲：1符号规定符号规定: : 直角变小为正直角变小为正，变大为负。，变大为负。 可以证明可以证明,已知已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得经过就可求得

15、经过该点任一线段上的线应变该点任一线段上的线应变 .也可以求得经过该点任也可以求得经过该点任意两个线段之间的角度的改变。因此，此六个形变意两个线段之间的角度的改变。因此，此六个形变分量可以完全确定该点的形变状态。分量可以完全确定该点的形变状态。22 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4. 位移位移：就是位置的移动。就是位置的移动。任意一点的位移用它在任意一点的位移用它在x,y,z三轴上的投影三轴上的投影u,v,w来来表示表示.量纲：量纲：L符号规定符号规定:沿坐标轴正方向为正沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负，沿坐标轴负方向为负， 一般而论，弹性体内任

16、意一点的体力分量、面一般而论，弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、形变分量和位移分量都随该点力分量、应力分量、形变分量和位移分量都随该点的位置而变，因而都是位置坐标的函数。的位置而变，因而都是位置坐标的函数。23 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 1.3 弹性力学中的基本假设弹性力学中的基本假设 在弹性力学的问题里在弹性力学的问题里,通常是通常是已知已知物体的物体的边界边界(形状形状和大小和大小), 物体的物体的弹性常数弹性常数, 物体所受的物体所受的体力体力,物体边物体边界上的界上的约束情况或面力约束情况或面力, 而而应力分量应力分量、形变分

17、量和形变分量和位移分量位移分量则是则是需要求解的未知量需要求解的未知量.一一. 研究方法研究方法1.考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程建立三套方程。建立微分方程：建立微分方程：根据微分体的平衡条件根据微分体的平衡条件 ；建立几何方程：建立几何方程：根据微分线段上形变与位移之间的根据微分线段上形变与位移之间的 几何关系；几何关系；建立物理方程：建立物理方程：根据应力与形变之间的物理关系根据应力与形变之间的物理关系 。24 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.在弹性体的边界上，建立在弹性体的边界上

18、，建立边界条件边界条件。应力边界条件：应力边界条件：在给定面力的边界上，根据边界上在给定面力的边界上，根据边界上 的微分体的平衡条件；的微分体的平衡条件；位移边界条件：位移边界条件：在给定的约束边界上，根据边界上在给定的约束边界上，根据边界上 的约束条件。的约束条件。 求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。分量和位移分量。25 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 为使问题求解成为可能，通常必须按照所研究的物为使

19、问题求解成为可能，通常必须按照所研究的物体性质，以及求解问题的范围，略去一些影响很小体性质，以及求解问题的范围，略去一些影响很小的次要因素，作出若干基本假定。的次要因素，作出若干基本假定。二二. 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定(3)均匀性均匀性 假定物体是均匀的假定物体是均匀的.(1)连续性连续性 假定物体是连续的假定物体是连续的.(4)各向同性各向同性 假定物体是各向同性的假定物体是各向同性的.符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体符合以上四个假定的物体，就成为理想弹性体.(2)完全弹性完全弹性 假定物体是完全弹性的假定物体是完全弹性的.形变与引起形变与引起 变的应力成正比变的应力成

20、正比,即两者成线性关系即两者成线性关系.26 2006.Wei Yuan. All rights reserved. (5)小变形假定小变形假定 假定位移和形变是微小的假定位移和形变是微小的.它包含两个含义：它包含两个含义： 假定应变分量假定应变分量 1.例如：普通梁中的正应变例如：普通梁中的正应变 10-3 1,切应变切应变 1; 假定物体的位移假定物体的位移物体尺寸物体尺寸.例如：梁中例如：梁中挠挠度度 梁的梁的高高度度这样，在建立平衡微分方程时，可以用变形前的尺这样，在建立平衡微分方程时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，从而使方程大为简化；寸代替变形后的尺寸，从而使方程大为简化；在建

21、立几何方程时，由于在建立几何方程时，由于 1，可以在同一方程中可以在同一方程中只保留形变成分的一次幂，而略去二次幂及更高次只保留形变成分的一次幂，而略去二次幂及更高次幂，从而使几何方程成为线性方程。幂，从而使几何方程成为线性方程。27 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 例如：对于微小转角例如：对于微小转角，对于微小正应变对于微小正应变， 这样，弹性力学里的几何方程和微分方程都简化这样，弹性力学里的几何方程和微分方程都简化为线性方程，弹性力学问题都化为线性问题，从而为线性方程，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。可以应用叠加原理。28 2006

22、.Wei Yuan. All rights reserved. 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题2.2 平衡微分方程平衡微分方程2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移2.5 物理方程物理方程29 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.6 边界条件边界条件2.7 圣维南原理圣维南原理2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程2.10 常体力情况下的简化常体力情

23、况下的简化 应力函数应力函数30 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 如果弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的如果弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。化为近似的平面问题。一一.第一种平面问题第一种平面问题平面应力问题平面应力问题xyozy/2/2这类问题的条件是：这类问题的条件是：弹性体是弹性体是等厚度等厚度()的薄板，体力、面力的薄板，体力、面力和约束都只有和约束都只有xy平面的量平面的量 (

24、fx , fy , fx , fy , u, v ),都不沿都不沿z向变化；向变化；并且面力和约束只作用于板边，并且面力和约束只作用于板边，在板面在板面( )上没有任何面力上没有任何面力和约束的作用。和约束的作用。31 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 因板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿板厚连因板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿板厚连续，有续，有由切应力互等定理：由切应力互等定理：只剩下平行于只剩下平行于xy面的面的三个平面应力分量，即三个平面应力分量，即 x, y, xy= yx所以这种问题称为所以这种问题称为平面应力问题平面应力问题。xyozy/2/21

25、.设薄板的厚度为设薄板的厚度为, xy 为中面为中面,z轴垂直于轴垂直于xy面面.因为板面上因为板面上 不受力，不受力， 所以所以2.由于物体形状和外力、约束沿由于物体形状和外力、约束沿z向均不变化向均不变化, 故故x, y, xy 只是只是x,y的函数的函数, x, y, xy 也只是也只是x,y的函数的函数,但位移与但位移与z有有关。关。 32 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 二二.第二种平面问题第二种平面问题平面应变问题平面应变问题oyx这类问题的条件是：这类问题的条件是：弹性体为常截面的很长的柱体，体弹性体为常截面的很长的柱体，体力、面力和约束条

26、件与平面应力问力、面力和约束条件与平面应力问题相似，只有题相似，只有xy平面的体力平面的体力fx , fy ；面力面力fx , fy 和约束和约束 u, v 的作用，且都的作用，且都不沿不沿z向变化。向变化。33 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 在弹性力学中分析问题，要考虑静力学、几何学和在弹性力学中分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。物理学三方面条件，分别建立三套方程。 首先考虑平面问题的静力学方面，建立微分体的首先考虑平面问题的静力学方面，建立微分体的平平衡微分体方程衡微分体方程应力分

27、量与体力分量之间的关系式应力分量与体力分量之间的关系式。zy/2/2oyxxyo从图示薄板或柱形体中，取出一个微从图示薄板或柱形体中，取出一个微小的正六面体，边长为小的正六面体，边长为dx, dy, 在在z方向方向的尺寸取为的尺寸取为1个单位尺寸。个单位尺寸。xyodxdy34 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 一般而论一般而论 , 应力分量是位置坐应力分量是位置坐标标x和和y的函数的函数, 因此因此, 作用于左作用于左右两对面或上下两对面的应力右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同分量不完全相同, 有微小的差。有微小的差。oxyx略去二阶及二阶以上的微

28、量后得：略去二阶及二阶以上的微量后得：例：设作用于左面的正应力为例：设作用于左面的正应力为x，则右面的正应力由，则右面的正应力由于于 x 坐标的改变而改变，可坐标的改变而改变，可由泰勒展开得：由泰勒展开得：若若x为常量为常量, 则则 , 左右两面都是左右两面都是x,即为均匀应力。即为均匀应力。泰勒展开式泰勒展开式35 2006.Wei Yuan. All rights reserved. oxyx同理，设左面的切应力为同理，设左面的切应力为xy，则，则右面的切应力为右面的切应力为xyyyxCfxfy设上面的正应力及切应力为设上面的正应力及切应力为x, xy，则下面的正应力其切应力，则下面的正应

29、力其切应力为为 因六面体是微小的因六面体是微小的, 所以所以, 各面的应力可认为是均匀各面的应力可认为是均匀分布分布, 作用在对应面中心作用在对应面中心. 所受体力也可认为是均匀分所受体力也可认为是均匀分布布, 作用在对应面中心。作用在对应面中心。36 2006.Wei Yuan. All rights reserved. oCxyyyxxyxfxfy首先，以过中心首先，以过中心C 并平行于并平行于z轴，列出轴，列出将上式除以将上式除以dxdy, 得得令令dx,dy 趋近于零，得趋近于零，得这正是切应力互等定理。这正是切应力互等定理。37 2006.Wei Yuan. All rights r

30、eserved. oCxyyyxxyxfxfy其次，以其次，以x轴为投影轴，列出轴为投影轴，列出将上式除以将上式除以dxdy, 得得同样，以同样，以y轴为投影轴，列出轴为投影轴，列出 可得一个相可得一个相似的微分方程似的微分方程38 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 于是得出于是得出应力分量与体力分量之间的关系式应力分量与体力分量之间的关系式平面问平面问题中的平衡微分方程题中的平衡微分方程。 这这2个微分方程中包含个微分方程中包含3个未知函数个未知函数x, y, xy=yx ,因此，决定应力分量因此，决定应力分量的问题是超静定问题，必须考虑几的问题是超静定

31、问题，必须考虑几何方程和物理学方面的条件，才能何方程和物理学方面的条件，才能解决问题。解决问题。 对于平面应变问题对于平面应变问题, 微分体一般还有作用于前后两微分体一般还有作用于前后两面的正应力面的正应力z, 但不影响上述方程的建立但不影响上述方程的建立, 上述方程对上述方程对于两种平面问题同样适用。于两种平面问题同样适用。39 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态OxyyyxxyxPBAnnOxyyyxxyxyyxxxyP应力状态应力状态就是指一点处所有斜截面上的应力的集合。就是指一点处所有斜截面上

32、的应力的集合。假定已知任意点假定已知任意点P处坐标面的应力分量处坐标面的应力分量x, y, xy=yx ,求经过该点且平行于求经过该点且平行于z轴的任意斜截面上的应力。轴的任意斜截面上的应力。40 2006.Wei Yuan. All rights reserved. pypxpOxyyyxxyxnPBA用用n代表斜截面代表斜截面AB的外法线方的外法线方向，其方向余弦为向，其方向余弦为设设AB=ds, 则则PA=lds, PB=mds, SPAB =ldsmds/2设垂直于平面的尺寸为设垂直于平面的尺寸为1。 由由 得得其中其中 fx 为为x方向得体力分量。方向得体力分量。将上式除以将上式除以

33、ds, 然后命然后命ds 趋于趋于0（AB0）得得同理由同理由 得得一一.求任意斜截面上的正应力求任意斜截面上的正应力 n 和和 切应力切应力 n 41 2006.Wei Yuan. All rights reserved. nnpypxpOxyyyxxyxnPBA令斜截面得正应力为令斜截面得正应力为n, 切应切应力为力为n.由由px, py 投影得投影得可见，已知点可见，已知点P处的应力分量处的应力分量x, y, xy=yx ,就可求得经就可求得经过该点的任意斜截面上的正应力过该点的任意斜截面上的正应力 n 和和 切应力切应力 n 。42 2006.Wei Yuan. All rights

34、reserved. OxyyyxxyxyyxxxyP12121nnOxyyyxxyxPBA二二.求主应力及主应力的方位求主应力及主应力的方位应力主向应力主向应力主面上应力主面上 = 0， = p投影得投影得代入代入得得pypxp由上两式分别解出由上两式分别解出 m / l , 得得于是，有于是，有解得解得43 2006.Wei Yuan. All rights reserved. OxyyyxxyxyyxxxyP12121易得易得下面求主应力方向下面求主应力方向即得即得即得即得设设1与与x轴的夹角为轴的夹角为1设设2与与x轴的夹角为轴的夹角为244 2006.Wei Yuan. All rig

35、hts reserved. OxyyyxxyxyyxxxyP12121由由得得于是有于是有就是说，就是说，1, 2 的方向互相垂直。的方向互相垂直。从材料力学知识我们知道从材料力学知识我们知道与应力主向成与应力主向成450的斜面上。的斜面上。45 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移xyOPBAuPAB同理同理PB的线应变：的线应变：PA的线应变：的线应变：一一.几何方程：几何方程：任一点的微分线段上的形变分量与任一点的微分线段上的形变分量与 位移位移 分量之间的关系式。分量之间的关系式。v设设46 2006.Wei

36、 Yuan. All rights reserved. 同理同理PB的转角：的转角：PA与与PB之间的转角：之间的转角：xyOPBAuPABvPA的转角：的转角：几何方程：几何方程：上列几何方程对两种平面问题同样适用。上列几何方程对两种平面问题同样适用。47 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 二二.形变与位移之间的关系形变与位移之间的关系1. 如果物体的位移确定，则形变完全确定。如果物体的位移确定，则形变完全确定。从物理概念从物理概念: 当物理变形后各点的位置完全确定当物理变形后各点的位置完全确定, 任任一微分线段上的形变（伸缩、转角等）也就完全确定一微分

37、线段上的形变（伸缩、转角等）也就完全确定了了.从数学概念从数学概念: 当位移函数确定时，其导数也就确定了。当位移函数确定时，其导数也就确定了。2. 当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定。当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定。从物理概念从物理概念: 在物体内形变不变的条件下在物体内形变不变的条件下, 物体还可物体还可以做刚体运动以做刚体运动平动和转动平动和转动, 即还有刚体运动的人任即还有刚体运动的人任意性意性.48 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 从数学概念从数学概念: 由形变分量求位移分量是一个积分的过由形变分量求位移分量是一个积分的过程，

38、在常微分中，会出现一个任意常数；而在偏微分程，在常微分中，会出现一个任意常数；而在偏微分中，要出现一个与积分变量无关的任意函数。这些任中，要出现一个与积分变量无关的任意函数。这些任意函数是未定项，意函数是未定项，这些未定项正是刚体平移和刚体转这些未定项正是刚体平移和刚体转动量。动量。若假设若假设 求出相应的位移分量。求出相应的位移分量。代入几何方程：代入几何方程：将前二式对将前二式对x及及y积分，得积分，得F1 及及 f2 为任意函数。代入几何方程中的第三式，得为任意函数。代入几何方程中的第三式，得49 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 方程左边是方程左边

39、是y的函数，只随的函数，只随y而变；而变；而右边是而右边是x的函数，只随的函数，只随x而变。而变。因此，只可能两边都等于同一常数因此，只可能两边都等于同一常数。于是得于是得积分得积分得其中其中u0及及v0为任意常数。为任意常数。代入代入 得得这就是这就是“形变为零形变为零”时的位移，也就是所谓时的位移，也就是所谓“与形变无与形变无关的位移关的位移”，因此必然是，因此必然是刚体位移刚体位移。下面根据平面运动的原理加以证明。下面根据平面运动的原理加以证明。 u0及及v0分别为物体沿分别为物体沿x轴及轴及y轴方向的刚体位移，而轴方向的刚体位移，而为物体绕为物体绕z轴得刚体转动。轴得刚体转动。50 2

40、006.Wei Yuan. All rights reserved. PxyxyOzyx当只有当只有u0不为零时，物体内任不为零时，物体内任一点位移分量一点位移分量 .物体物体的所有各点只沿的所有各点只沿x方向移动同样方向移动同样距离距离u0，所以所以u0代表物体沿代表物体沿x方方向的刚体位移。向的刚体位移。坐标为坐标为(x,y)的任一点的任一点P沿沿y方向移动方向移动x, 沿沿x负方向移动负方向移动y, 合成位移为合成位移为同样同样, v0代表物体沿代表物体沿y方向的刚体位移。方向的刚体位移。当只有当只有不为零时不为零时, 物体内任一点位移分量物体内任一点位移分量51 2006.Wei Yu

41、an. All rights reserved. PxyxyOzyx可见可见, 合成位移的方向与径向线合成位移的方向与径向线段段OP垂直垂直,也就是沿着切向也就是沿着切向. 因因OP线上所有点移动方向都沿着线上所有点移动方向都沿着切线切线, 且移动的距离为且移动的距离为, 可见可见代表物体绕代表物体绕z轴的刚体转动。轴的刚体转动。 既然物体在形变为零时可以有刚体位移，那么，既然物体在形变为零时可以有刚体位移，那么，当物体发生一定形变时，由于约束条件不同，可能当物体发生一定形变时，由于约束条件不同，可能有不同的刚体位移，为了完全确定位移，就必须有有不同的刚体位移，为了完全确定位移，就必须有适当的

42、刚体约束条件。适当的刚体约束条件。52 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.5 物理方程物理方程物理方程物理方程:应力分量和形变分量之间的物理关系式应力分量和形变分量之间的物理关系式.在理想弹性体（满足连续性，完全弹性，均匀性和在理想弹性体（满足连续性，完全弹性，均匀性和各向同性）中，物理方程就是材料力学中学过的胡各向同性）中，物理方程就是材料力学中学过的胡克定律：克定律：物理方程有物理方程有两种形式两种形式：1. = f () 此式是用应力表示应变，其中应力取为基此式是用应力表示应变，其中应力取为基本未知数，用于本未知数，用于按应力求解按应力求解。2.

43、 = f () 此式是用应变表示应力，其中应变取为此式是用应变表示应力，其中应变取为基本未知数，用于基本未知数，用于按位移求解按位移求解。53 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 胡克定律的一般形式：胡克定律的一般形式：E是弹性模量，是弹性模量，G是切变模是切变模量，又称刚度模量，量，又称刚度模量，称为称为泊松系数，或泊松比。泊松系数，或泊松比。一一.平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程将将 代入上式得独立的物理方程代入上式得独立的物理方程另外：另外：因因z可由可由x , y求出求出, 故不作为独立的故不作为独立的未知函数。未知函数。54 2006.

44、Wei Yuan. All rights reserved. 二二.平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程将将 代入上式得独立的物理方程代入上式得独立的物理方程另外：另外：因因z可由可由x , y求出求出, 故不作为独故不作为独立的未知函数。立的未知函数。与平面应力问题的物理方程对比，只需将与平面应力问题的物理方程对比，只需将E 换为换为 ， 换为换为 对于两类平面问题，三套方程除了物理方程中的系数对于两类平面问题，三套方程除了物理方程中的系数须变换外须变换外, 其他平衡方程和几何方程是完全相同的其他平衡方程和几何方程是完全相同的. 三套方程中包含三套方程中包含8个未知函数：个未知函数：

45、x, y, xy=yx, x, y, xy及及u, v. 还需考虑边界条件还需考虑边界条件, 才能求出这些未知函数才能求出这些未知函数.55 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.6 边界条件边界条件边界条件边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。它分为之间的关系式。它分为位移边界条件位移边界条件、应力边界条件应力边界条件和和混合边界条件混合边界条件。一一.位移边界条件位移边界条件设在部分边界上给定了约束位移分量设在部分边界上给定了约束位移分量u(s)和和v(s), 则对则对于边界上的每一点，位移函数于

46、边界上的每一点，位移函数u,v应满足条件应满足条件（在（在su上）上）其中其中(u)s和和(v)s是位移的边界值，是位移的边界值，u(s)和和v(s)在边界上在边界上是坐标的已知函数。是坐标的已知函数。位移边界条件位移边界条件56 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 注意注意1.上式要求上式要求在在s上任一点位移分量必须等于对应的约上任一点位移分量必须等于对应的约束位移分量束位移分量。（在（在su上）上）2.上式是上式是函数方程函数方程，而不是简单的代数方程或数值，而不是简单的代数方程或数值方程。方程。位移边界条件实质上是变形连续条件在约束位移边界条件实质上

47、是变形连续条件在约束边界上的表达式边界上的表达式。57 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 设设n为斜截面的外法线方向，其为斜截面的外法线方向，其方向余弦方向余弦二二.应力边界条件应力边界条件设在设在s部分边界上给定了面力分量部分边界上给定了面力分量fx(s)和和fy(s), 则可以则可以由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面力由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系式。之间的关系式。 在边界上任一点在边界上任一点P取出一个微分体取出一个微分体,斜面斜面AB就是边界面就是边界面, x, y, xy为应力为应力分量边界值。分量边界值。ox

48、yyyxxyxPBAfxfy1.边界为斜截面时边界为斜截面时n设设 AB=ds ， z 方向厚度为方向厚度为158 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 由平衡条件，得出微分体的应力分量与边界面上由平衡条件，得出微分体的应力分量与边界面上的面力之间的关系：的面力之间的关系：（在（在s 上）上）其中其中 在边界上是坐标的已知函数，在边界上是坐标的已知函数，l, m 是是边界面外法线的方向余弦。边界面外法线的方向余弦。fx(s) 和和 fy(s),oxyyyxxyxPBAfxfyn除以除以ds， 并令并令ds0，得得同理：同理：于是，得到于是，得到应力边界条件应力

49、边界条件59 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3. 在导出应力边界条件时在导出应力边界条件时, 只考虑到面力只考虑到面力(一阶微量一阶微量), 不需考虑二阶微量不需考虑二阶微量体力。体力。4. 应力边界条件是边界点上微分体的平衡条件，也应力边界条件是边界点上微分体的平衡条件，也属于静力边界条件。属于静力边界条件。（在（在s 上）上）注意注意1.应力边界条件表示边界应力边界条件表示边界s上任一点的应力和面力之上任一点的应力和面力之间的关系。也是函数方程，在间的关系。也是函数方程，在s上每一点都应满足。上每一点都应满足。2.上式中的面力、应力都有不同的正负符

50、号规定，且上式中的面力、应力都有不同的正负符号规定，且分别作用于通过边界点的不同面上。分别作用于通过边界点的不同面上。60 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.边界为坐标面时边界为坐标面时若若 x=a 为正为正 x 面，则有面，则有若若 x=b 为负为负 x 面，则有面，则有oxyyyxxyxPBAfxfyaoxyyyxxyxPBAfxfyb正负正负 x 面上的面力分量一般面上的面力分量一般为随为随 y 而变化的函数。而变化的函数。l =1, m=0l = 1, m=0（在（在s 上）上）61 2006.Wei Yuan. All rights rese

51、rved. 3.应力边界条件的两种表达方式应力边界条件的两种表达方式(1) 在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件，得出在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件，得出（在（在s 上）上）(2) 在同一边界面上，应力分量的边界值就等于对应在同一边界面上，应力分量的边界值就等于对应的面力分量。的面力分量。 应力分量的绝对值等于对应的面力分量的绝对应力分量的绝对值等于对应的面力分量的绝对值，面力分量的方向就是应力分量的方向。值，面力分量的方向就是应力分量的方向。 即数值相同，方向一致即数值相同，方向一致。62 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 例如：若边界面例如：

52、若边界面 y=c, d 分别为正、负坐标面分别为正、负坐标面在斜截面上：在斜截面上：px, py 为斜截面应力为斜截面应力oxyyyxxyxPfxfydyyxfyoxyyxxyxPfxcyxyyoxyyyxxyxPfxfypxpy63 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 三三.混合边界条件混合边界条件物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如界条件，如（在（在su上）上）另一部分边界则具有已知面力，因而具有应力边界条另一部分边界则具有已知面力，因而具有应力边界条件件（在（在s 上）上）在同一边界上还可能

53、出现混合边界条件在同一边界上还可能出现混合边界条件,即两个边界条即两个边界条件中一个是位移边界条件件中一个是位移边界条件, 另一个则是应力边界条件另一个则是应力边界条件.oxyx方向方向y方向方向x方向方向y方向方向oxy64 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足三套方程，还必须满足边界条件，但分量必须满足三套方程，还必须满足边界条件，但要使边界条件得到完全满足很困难。要使边界条件得到完全满足很困难。圣维南原理为圣维

54、南原理为简化局部边界的应力边界条件提供了有效的方法。简化局部边界的应力边界条件提供了有效的方法。圣维南原理：圣维南原理：如果把物体的一如果把物体的一小部分边界小部分边界上的面力上的面力, 变换为分布不同但变换为分布不同但静力等效静力等效的面力的面力(主矢量相同，对主矢量相同，对于同一点的主矩也相同于同一点的主矩也相同), 那么那么, 近处的应力分布将有近处的应力分布将有明显的改变明显的改变 , 但是远处所受的影响可以不计。但是远处所受的影响可以不计。 1. 圣维南原理只能应用于圣维南原理只能应用于一小部分边界上一小部分边界上，又称为，又称为局部边界局部边界，小边界小边界或或次要边界次要边界。一

55、一. 圣维南原理应用的条件圣维南原理应用的条件65 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 所谓所谓“近处近处”, 根据经验根据经验, 一般地一般地讲大约是变换面力的讲大约是变换面力的边界的边界的12倍范围内倍范围内, 此范围之外可认为是此范围之外可认为是“远处远处”。如果将面力的等效变换范围应用到如果将面力的等效变换范围应用到大边界大边界(又称为又称为主要边界主要边界)上上, 则必然则必然使整个的应力状态都改变了。因此使整个的应力状态都改变了。因此, 不适用圣维南原理不适用圣维南原理。FF/2F/2FFFq2.小边界的面力变换为小边界的面力变换为静力等效静力等

56、效的面力的面力.3.经变换后，只对近处的应力分布有明显的影响，但经变换后，只对近处的应力分布有明显的影响，但远处的应力几乎不受影响。远处的应力几乎不受影响。FF/2F/266 2006.Wei Yuan. All rights reserved. FFFF/2F/2F/2F/2F/2F/2(a)(b)(c)例如：例如：如将一端或两端的如将一端或两端的F变换为变换为静力等效静力等效的力的力, 如图如图(b), (c), (d).则只有虚线划出的部分则只有虚线划出的部分应力分布有显著改变应力分布有显著改变, 其余其余部分所受影响可不计。部分所受影响可不计。(d)F/AF/A图图(d)所示情况，由于

57、面力连续均匀分布，边界条件所示情况，由于面力连续均匀分布，边界条件简单，应力很容易求解并且解答很简单。而其他三种简单，应力很容易求解并且解答很简单。而其他三种情况，由于面力不连续分布，甚至不知其分布方式，情况，由于面力不连续分布，甚至不知其分布方式，应力难以求解。根据圣维南原理，应力难以求解。根据圣维南原理，可将可将(d)的应力解的应力解答应用于其他三种情况答应用于其他三种情况。67 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 应用圣维南原理的条件是满足应用圣维南原理的条件是满足静力等效静力等效。即使物体。即使物体一小部分边界上的一小部分边界上的位移边界条件不能满足

58、时，仍可位移边界条件不能满足时，仍可以应用圣维南原理。以应用圣维南原理。F/AF/AF(e)(d)图图(e)右端是固定端，有位右端是固定端，有位移边界条件移边界条件(u)s = u = 0 和和(v)s = v = 0, 把把(d)的解答应的解答应用于这一情况时，位移用于这一情况时，位移 边界条件不能满足边界条件不能满足, 但右端的但右端的面力静力等效于过形心的力面力静力等效于过形心的力F(与左边的力与左边的力F平衡平衡), 满满足圣维南原理的条件足圣维南原理的条件, (d)的解答仍可应用于这一情况的解答仍可应用于这一情况时时, 只是在靠近两端处有显著的误差只是在靠近两端处有显著的误差, 而在

59、较远处误而在较远处误差可不计。差可不计。 68 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 如果物体一小部分边界上的面力是一个如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因为主矢量和主矩都等于零的面力，与无面力这是因为主矢量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是等效的，只在近处产生显著的应力。状态是等效的，只在近处产生显著的应力。例如：例如：FFFF4.圣维南原理还可以推广到下列情

60、形圣维南原理还可以推广到下列情形69 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xyh/2h/2llO 在应力边界条件上应用圣维南原理在应力边界条件上应用圣维南原理, 就是就是在边界上在边界上, 将将精确的应力边界条件代之以主矢相同精确的应力边界条件代之以主矢相同, 对同一点的主矩对同一点的主矩也相同的静力等效条件也相同的静力等效条件。二二.在局部边界上应用圣维南原理在局部边界上应用圣维南原理例如，厚度例如，厚度 =1 的梁，的梁，hl, 即左右端是小边界即左右端是小边界.严格的边界条件要求严格的边界条件要求x xy fxfyxy ydyx fxfy此式要求在边界

61、此式要求在边界 x=l 上的每一点（每一上的每一点（每一y值），应力分值），应力分量与对应的面力分量必须处处相等。量与对应的面力分量必须处处相等。70 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 严格的边界条件要求严格的边界条件要求xyh/2h/2llOx xy fxfyxy ydyx fxfy这种严格的边界条件是很难满足的。这种严格的边界条件是很难满足的。 但但 h h, =1 )qF30oOxyb/2hgyb/2( h b, =1 )(a)(b)解：解：对对(a)问题，在主要边界问题，在主要边界 y=h/2，应精确满足下，应精确满足下列边界条件列边界条件101

62、2006.Wei Yuan. All rights reserved. q1FFsMOxylh/2h/2( l h, =1 )(a)在小边界在小边界(次要边界次要边界) x=0, 应用应用圣维南原理圣维南原理, 列出三个积分近列出三个积分近似边界条件似边界条件, 当板厚当板厚=1时时, 在小边界在小边界 x=l 处，当平衡微分方程和其它各边界都处，当平衡微分方程和其它各边界都已满足条件下，三个积分的边界条件必然满足，可已满足条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。以不必校核。102 2006.Wei Yuan. All rights reserved. qF30oOxyb/2hgyb

63、/2( h b, =1 )(b)对对(b)问题问题,在主要边界在主要边界 y=0, b, 应精确满足下列边界条件应精确满足下列边界条件在小边界在小边界 y=0, 列出三个积分列出三个积分近似边界条件近似边界条件, 当板厚当板厚=1时时, 注意，在列力矩条件时，两边均是对原点注意，在列力矩条件时，两边均是对原点O 的力矩的力矩来计算的。对于来计算的。对于 y=h 的小边界条件可以不必校核。的小边界条件可以不必校核。103 2006.Wei Yuan. All rights reserved. FOxylh/2h/2( l h, =1 )A例例2：厚度：厚度=1的悬臂梁，在自由端受集中力的悬臂梁，

64、在自由端受集中力F的作用。的作用。已求得其位移的解答是已求得其位移的解答是试检查此组位移是否是该问题的解答。试检查此组位移是否是该问题的解答。解：此组位移若为此问题的解答，则应满足下列解：此组位移若为此问题的解答，则应满足下列条件条件1. 在区域内，满足用位移表示的平衡微分方程在区域内，满足用位移表示的平衡微分方程104 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 在在Su上上2. 在所有受面力的边界在所有受面力的边界s上上,满足应力边界条件。满足应力边界条件。3. 在在su满足位移边界条件满足位移边界条件其中在小边界上可以应用圣维南原理，即用三个积分其中在小边界上

65、可以应用圣维南原理，即用三个积分的边界条件来代替。的边界条件来代替。本题只需校核在本题只需校核在 边界边界x=l 的刚体约束条件的刚体约束条件A点点( x=l 及及y=0 )，105 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 例例3：试考虑下列平面问题的应变分量是否存在，：试考虑下列平面问题的应变分量是否存在，(a) x=Axy, y=By3, xy=CDy3(b) x=Ay2, y=Bx2y, xy=Cxy(c) x=y=0, xy=Cxy解：解： 应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件（相容方程）即（相容方程）即(a)

66、 相容相容(b) 须满足须满足 B=0，2A=C(c) 不相容不相容 只有只有C=0， x = y= xy= 0, 106 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 例例4：在无体力的情况下，试考虑下列应力分量是否：在无体力的情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在。可能在弹性体中存在。(a) x=Ax + By, y= Cx + Dy, xy= Ex + Fy ；(b) x=A( x2 + y2 ), y=B ( x2 + y2 ), xy=Cxy解：解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足弹性体中的应力，在单连体中必须满足在在s上上(a) 此组应力满足相

67、容方程，为满足平衡微分方程，必此组应力满足相容方程，为满足平衡微分方程，必须须 A=F, D=E，此外，还须满足应力边界条件。此外，还须满足应力边界条件。107 2006.Wei Yuan. All rights reserved. (b) 为满足相容方程，其系数必须满足为满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0为满足平衡微分方程为满足平衡微分方程,其系数必须满足其系数必须满足 A =B =C/2上两式是矛盾的，故此组应力不存在。上两式是矛盾的，故此组应力不存在。(b) x=A( x2 + y2 ), y=B ( x2 + y2 ), xy=Cxy例例5：若：若f (x,y) 是平面调和函数，

68、即满足拉普拉斯方程是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程试证明函数试证明函数f , xf , yf , (x2+y2)f 都满足重调和方程，因而都满足重调和方程，因而都可以作为应力函数都可以作为应力函数 使用。使用。证明：证明：108 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 上述函数作为应力函数，均能满足相容方程（重上述函数作为应力函数，均能满足相容方程（重调和方程）调和方程）例例6：图示梁受到均布载荷的作用，试用下列应力表：图示梁受到均布载荷的作用，试用下列应力表达式求解其应力。达式求解其应力。qxylh/2h/2( l h, =1 )qlO109 2006.We

69、i Yuan. All rights reserved. 解：解：在在s上上本题是按应力求解，因而，应力分量必须满足本题是按应力求解，因而，应力分量必须满足将应力分量代入平衡微分方程和相容方将应力分量代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。程，两者都能满足。再校核边界条件，在主要边界上再校核边界条件，在主要边界上qxylh/2h/2( l h, =1 )qlO110 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 将将C1,C2代入应力分量，得代入应力分量，得qxylh/2h/2( l h, =1 )qlO111 2006.Wei Yuan. All rights r

70、eserved. 再将应力表达式代入次要边界条件：再将应力表达式代入次要边界条件：可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。qxylh/2h/2( l h, =1 )qlO112 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 例例7：材料力学中，当矩形截面梁：材料力学中，当矩形截面梁(厚度厚度=1)受任意受任意横向载荷横向载荷q(x)作用而弯曲时，弯曲正应力公式为作用而弯曲时，弯曲正应力公式为q(x)xylh/2h/2( l h, =1 )O1.试由平衡微分方程试由平衡微分方程(不计体力不计体力)导导出切应力出切应力xy和挤压

71、应力和挤压应力x的公式的公式2.(提示提示:注意注意积分后得出的任意函数积分后得出的任意函数,可由梁的上下边界条件来确定可由梁的上下边界条件来确定.)解：解：不计体力不计体力, 将将 代入平衡微分方程第一式代入平衡微分方程第一式得得113 2006.Wei Yuan. All rights reserved. q(x)xylh/2h/2( l h, =1 )O两边对两边对y积分，得积分，得再由上下边界条件再由上下边界条件 得得其中其中 将将 代入平衡微分方程第二式代入平衡微分方程第二式代入上式代入上式, 得得得得114 2006.Wei Yuan. All rights reserved. q

72、(x)xylh/2h/2( l h, =1 )O两边对两边对y积分，得积分，得再由上下边界条件再由上下边界条件得得由由同样得同样得代入代入得得115 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 上述解答已满足平衡微分方程及上述解答已满足平衡微分方程及y=h/2的边界条件的边界条件, 但一般不满足相容方程但一般不满足相容方程, 且尚未校核左右端的小边且尚未校核左右端的小边界条件。界条件。2.当当q为常数时为常数时, 试检验应力分量试检验应力分量是否满足相容方程？试在是否满足相容方程？试在x中中加一项对平衡没有影响的函数加一项对平衡没有影响的函数f (y), 再由相容方

73、程确定再由相容方程确定f (y) , 并校核梁的左右边界条件。并校核梁的左右边界条件。xylh/2h/2( l h, =1 )Oq116 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 若若q=常数，则常数，则xylh/2h/2( l h, =1 )Oq于是于是代入相容方程，代入相容方程，为满足相容方程，令为满足相容方程，令此时，此时，和和仍满足平衡微分方程，再代入相容仍满足平衡微分方程，再代入相容方程。方程。117 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xylh/2h/2( l h, =1 )Oq积分得积分得由由 x=l 次要边界条件

74、次要边界条件得得 B=0 ；满足。满足。得得由此得由此得经检验，在小边界经检验，在小边界 x=0,l 上剪力边界条件亦满足。上剪力边界条件亦满足。118 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答3.1 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法 多项式解答多项式解答3.2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲3.3 位移分量的求出位移分量的求出3.4 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷3.5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力119 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3.1 逆

75、解法和半逆解法逆解法和半逆解法 多项式解答多项式解答在常体力情况下，在常体力情况下，按应力求解平面问题，可归纳按应力求解平面问题，可归纳为求解一个应力函数为求解一个应力函数，它必须满足，它必须满足1.在区域内的相容方程在区域内的相容方程2.在边界上的应力边界条件在边界上的应力边界条件(假设全部为应力边界假设全部为应力边界条件条件)3.在多连体中，还须满足位移单值条件。在多连体中，还须满足位移单值条件。在在s上上求出应力函数求出应力函数 后，便可求出应力分量后，便可求出应力分量.然后再求应变分量和位移分量。然后再求应变分量和位移分量。120 2006.Wei Yuan. All rights r

76、eserved. 由于相容方程由于相容方程 是偏微分方程，是偏微分方程，它的通解不能写成有限项数的形式，一般不能直接它的通解不能写成有限项数的形式，一般不能直接求解问题。只能采取逆解法和半逆解法。求解问题。只能采取逆解法和半逆解法。所谓所谓逆解法逆解法，就是，就是(1)先设定满足先设定满足 的应力函数的应力函数； (2)根据根据 求出应力分量；求出应力分量； (3)在给定的边界形状下，根据应力在给定的边界形状下，根据应力边界条件，由应力反推出相应的面力，即边界条件，由应力反推出相应的面力，即反过来得知所选取的应力函数可以解决的问题。（可反过来得知所选取的应力函数可以解决的问题。（可解决的正是上

77、述面力对应的问题）解决的正是上述面力对应的问题）一一.逆解法逆解法121 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 下面用逆解法求解几个简单问题的解答。假定体力下面用逆解法求解几个简单问题的解答。假定体力可忽略不计可忽略不计( fx = fy = 0 )，应力函数取为多项式。，应力函数取为多项式。1.取应力函数为一次式取应力函数为一次式 = a + bx + cy应力函数应力函数 满足相容方程满足相容方程由由 得应力分量得应力分量不论弹性体为何形状，也不论坐标轴如何选择，由不论弹性体为何形状，也不论坐标轴如何选择，由应力边界条件应力边界条件 总是得出总是得出一次式

78、一次式 = a + bx + cy对应对应无体力，无面力，无应力的无体力，无面力，无应力的状态状态。把应力函数加上一个线性函数，不影响应力。把应力函数加上一个线性函数，不影响应力。122 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.取应力函数为二次式取应力函数为二次式 = ax2 + bxy + cy2应力函数应力函数 满足相容方程满足相容方程现分别考察每一项所能解决的问题。现分别考察每一项所能解决的问题。对应对应 = ax2，应力分量是，应力分量是(a)2axyO2a如图矩形板和坐标轴，当板内应力为如图矩形板和坐标轴，当板内应力为x = 0, y = 2a,

79、xy=yx = 0, 由应力边界条由应力边界条件可知，左右两边没有面力，上下两件可知，左右两边没有面力，上下两边有均布面力边有均布面力2a。可见，应力函数可见，应力函数 = ax2 能解决能解决矩形矩形板在板在 y 方向受均布力的问题方向受均布力的问题。123 2006.Wei Yuan. All rights reserved. b(b)bxyObb(c)2cxyO2c如图矩形板和坐标轴，当板内应力为如图矩形板和坐标轴，当板内应力为x = 0, y = 0, xy=yx =b, 由应力边界条由应力边界条件可知，左右上下两边分别有与面相件可知，左右上下两边分别有与面相切的面力切的面力 b。 可

80、见，应力函数可见，应力函数 = bxy 能解决能解决矩矩形板受均布剪力的问题形板受均布剪力的问题。对应对应 = bxy，应力分量是应力分量是对应对应 = cy2，应力分量是，应力分量是 应力函数应力函数 = cy2 能解决能解决矩形板在矩形板在 x方向受均布力的问题方向受均布力的问题。 = ax2 + bxy + cy2 表示表示常量的正应力和切应力。常量的正应力和切应力。124 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4.如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则其中的系数必须满足一定的条件。其中的系数必须满足一定的条

81、件。应力函数应力函数 满足相容方程满足相容方程对应对应 = ay3，应力分量是应力分量是Oyx对于图示矩形板和坐标轴对于图示矩形板和坐标轴当当 时，上下两边没有面力；时，上下两边没有面力；左右两边没有左右两边没有 y 方向面力方向面力,只有按直线变化的水平面力，而每一边的水平面力只有按直线变化的水平面力，而每一边的水平面力合成为一个力偶。合成为一个力偶。 可见，应力函数可见，应力函数 = ay3 能解决能解决矩形梁纯弯曲问题矩形梁纯弯曲问题。3.取应力函数为三次式取应力函数为三次式 = ay3125 2006.Wei Yuan. All rights reserved. Oyxh/2h/2ll

82、h5.例题例题例例1：图示矩形长梁：图示矩形长梁, lh, 试考察应力函数试考察应力函数 能解决什么样的受力问题。能解决什么样的受力问题。解：解：按逆解法求解按逆解法求解1.将将 代入相容方程，满足相容方程代入相容方程，满足相容方程2.将将 代入代入 得应力分量得应力分量126 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3.由边界形状和应力分量反推边界上的面力由边界形状和应力分量反推边界上的面力在主要边界在主要边界 y = h/2 上上因此，在上下边界上无面力，即因此，在上下边界上无面力，即在次要边界在次要边界 x =0, l 上上x=0 (负负 x 面面),x=

83、l (正正 x 面面),xyxyxFFFl 此应力函数可以解决悬臂梁在此应力函数可以解决悬臂梁在 x=0 处受集中力作处受集中力作用的问题。用的问题。127 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 二二. 半逆解法半逆解法半逆解法是针对实际问题来求解的，半逆解法的具半逆解法是针对实际问题来求解的，半逆解法的具体步骤如下：体步骤如下：逆解法没有针对具体问题进行求解逆解法没有针对具体问题进行求解, 而是找出满足相而是找出满足相容方程的应力函数容方程的应力函数, 来考察它们能解决什么问题。这来考察它们能解决什么问题。这种方法可以积累弹性力学的基本解答。种方法可以积累弹

84、性力学的基本解答。1. 根据弹性受力情况和边界条件等，假设部分或全根据弹性受力情况和边界条件等，假设部分或全部应力分量的函数形式；部应力分量的函数形式；2. 根据根据 由应力推出应力由应力推出应力函数函数 的形式；的形式；3.将将 代入相容方程，求出代入相容方程，求出 的具体表达式；的具体表达式；128 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4. 将将 代入代入 ，求出，求出对应的应对应的应力分量。力分量。5. 将应力代入边界条件将应力代入边界条件在在s上上考察它们是否满足全部边界条件考察它们是否满足全部边界条件(对于多连体，还须对于多连体，还须满足位移单值条

85、件满足位移单值条件)。如果所有的条件均能满足，上。如果所有的条件均能满足，上述解答就是正确的解答。否则，就要修改假设，重述解答就是正确的解答。否则，就要修改假设，重新进行求解。新进行求解。129 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3.2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲Oyxh/2h/2yMMh1xl设有矩形截面的长梁设有矩形截面的长梁(梁的长度梁的长度 l 深度深度h )，它的宽度，它的宽度远小于深度和长度远小于深度和长度(近似的平面应力情况近似的平面应力情况)，或远大于，或远大于深度和长度深度和长度(近似的平面应变情况近似的平面应变情况), 两端受相反的力

86、偶两端受相反的力偶而弯曲，体力不计。（取而弯曲，体力不计。（取=1）相应的应力分量为相应的应力分量为矩形截面梁纯弯曲问题矩形截面梁纯弯曲问题，可借助由，可借助由逆解法逆解法得出的应力得出的应力函数函数 = ay3 。显然，。显然， 满足相容方程满足相容方程130 2006.Wei Yuan. All rights reserved. Oyxh/2h/2yMMh1xl1.考察上下两个主要边界的边界条件考察上下两个主要边界的边界条件上下边都没有面力，上下边都没有面力，要求要求此边界条件满足。此边界条件满足。2.考察左右端次要边界的边界条件考察左右端次要边界的边界条件左右两端没有左右两端没有 y 向

87、的面力，分别要求向的面力，分别要求此边界条件也满足。此边界条件也满足。x = 0, l 为小边界，可以用圣维南原理，将关于为小边界，可以用圣维南原理，将关于x 的边的边界条件用主矢量和主矩的条件代替。界条件用主矢量和主矩的条件代替。这些应力分量是否能满足边界条件？如能满足，这些应力分量是否能满足边界条件？如能满足，a 取取什么值？什么值？131 2006.Wei Yuan. All rights reserved. h1yOxh/2h/2yMMxl将将 代入上两式代入上两式前一式总能满足，后一式要求前一式总能满足，后一式要求代入代入 得得注意到注意到得应力分量得应力分量与材力结果相同。与材力结

88、果相同。132 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3.3 位移分量的求出位移分量的求出以纯弯曲矩形梁为例，说明如何由应力分量求出位以纯弯曲矩形梁为例，说明如何由应力分量求出位移分量。（求解步骤）移分量。（求解步骤）h1yOxh/2h/2MMl将将代入代入得形变分量得形变分量1. 将应力分量分量代入物理方程将应力分量分量代入物理方程133 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2. 将形变分量代入几何方程将形变分量代入几何方程, 再积分求位移再积分求位移将将 代入代入得位移分量得位移分量h1yOxh/2h/2MMl将前二式积

89、分，得将前二式积分，得f1, f2 为待定函数，可通过第三式求出。为待定函数，可通过第三式求出。134 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 将上式代入将上式代入 ，得，得移项，得移项，得等式左边是等式左边是 y 的函数，而右边是的函数，而右边是 x 的函数，因此，的函数，因此，只可能两边都等于同一常数只可能两边都等于同一常数。于是有。于是有h1yOxh/2h/2MMl135 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 积分，得积分，得代入代入得位移分量得位移分量其中常数其中常数 , u0, v0表示刚体位移，由约束条件求得。表示刚

90、体位移，由约束条件求得。h1yOxh/2h/2MMl136 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3. 由约束条件确定由约束条件确定常数常数 , u0, v0如图简支梁，约束条件是如图简支梁，约束条件是MMyOxlA代入代入求出求出 , u0, v0，就得到简支梁的位移分量就得到简支梁的位移分量有有梁轴的挠度方程为梁轴的挠度方程为与材料力学的结果相同。与材料力学的结果相同。137 2006.Wei Yuan. All rights reserved. MMyOxl如图悬臂梁，如图悬臂梁，x=l 处，对于处，对于 h/2 y h/2, 要求要求 u = 0, v

91、 = 0在多项式解答中这条件是无法满足的。在工程实际中在多项式解答中这条件是无法满足的。在工程实际中这种完全固定的约束也是不大能实现的。这种完全固定的约束也是不大能实现的。现在，假定固定端的中点不移动，该点的水平线段现在，假定固定端的中点不移动，该点的水平线段也不转动。这样，约束条件是也不转动。这样，约束条件是代入代入有有138 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 求解得求解得得出悬臂梁的位移分量得出悬臂梁的位移分量MMyOxl梁轴的挠度方程为梁轴的挠度方程为与材料力学的结果相同。与材料力学的结果相同。对于平面应变情况下的梁，须把对于平面应变情况下的梁，须把

92、E换为换为 ，把，把 换为换为 。139 2006.Wei Yuan. All rights reserved. h1yOxh/2h/2MMl由由 可见，可见，不论约束情况如何不论约束情况如何(不论不论 , u0, v0取何值取何值)铅直线段的铅直线段的转角都是转角都是同一横截界面上同一横截界面上x是常数，因而是常数，因而是常量。是常量。 xyOPBAPAB 于是可见，同一截面上的各于是可见，同一截面上的各铅直线段的转角相同，说明横铅直线段的转角相同，说明横截面保持为平面。截面保持为平面。4. 对结果的讨论对结果的讨论140 2006.Wei Yuan. All rights reserved

93、. 由由 可见，梁的各纵向纤维可见，梁的各纵向纤维的曲率为的曲率为这是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。这是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。141 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3.4 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷设有矩形截面梁，深度为设有矩形截面梁，深度为h，长度为，长度为2l,，体力可以不，体力可以不计，受均布载荷计，受均布载荷q，由两端的反力，由两端的反力ql 维持平衡。维持平衡。(=1 )xylh/2h/2Oqlqlql此问题用此问题用半逆解法半逆解法，步骤如下：，步骤如下：1. 假设应力分量的函数形式假设应力分量的函数形式由材料

94、力学知：由材料力学知：弯应力弯应力x 主要是由弯矩主要是由弯矩 M 引起的，引起的，切应力切应力xy 主要是由剪力主要是由剪力Fs引起的，引起的，挤压应力挤压应力y 主要是由直接载荷主要是由直接载荷 q 引起的。引起的。因因q不随不随x变，因而可以假设变，因而可以假设y不随不随 x 变，也就是假变，也就是假设设 y 只是只是 y 的函数：的函数：y = f (y)142 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3. 由相容方程求解应力函数由相容方程求解应力函数将将 y = f (y) 代入代入对对 x 积分，得积分，得其中其中 f (y), f1(y), f2(

95、y) 都是待定的都是待定的 y 的函数。的函数。2. 推求应力函数的形式推求应力函数的形式将将 代入代入 得得有有143 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 这是这是 x 的二次方程，但相容方程要求它有无数多的根的二次方程，但相容方程要求它有无数多的根(全梁的全梁的 x 都应该满足它都应该满足它), 可见它的系数和自由项都必可见它的系数和自由项都必须等于零，即须等于零，即前两个方程要求前两个方程要求这里这里 f1(y) 的常数项被略去，这是因为这一项在的常数项被略去，这是因为这一项在 的表的表达式中成为达式中成为 x 的一次项，不影响应力分量。的一次项，不影

96、响应力分量。第三个方程要求第三个方程要求即即其中的一次项和常数项都被略去，因为它们不影响应其中的一次项和常数项都被略去，因为它们不影响应力分量。力分量。144 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 将将 代入代入得应力函数得应力函数4. 由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量将将 代入代入145 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xylh/2h/2Oqlqlql注意到注意到yz面是梁和载荷的对称面面是梁和载荷的对称面, 所以所以, 应力分布应对应力分布应对称于称于yz面。这样面。这样, x, y应该是应该是 x 的偶函数

97、的偶函数, 而而 xy 应该是应该是 x 的奇函数。的奇函数。E = F = G = 0于是，有于是，有146 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 5. 考察边界条件（确定待定系数考察边界条件（确定待定系数)通常梁的跨度远大于梁的深度，通常梁的跨度远大于梁的深度，梁的上下两个边界是主要边界。梁的上下两个边界是主要边界。在主要边界上应力边界条件必须在主要边界上应力边界条件必须完全满足；次要边界上如果边界完全满足；次要边界上如果边界条件不能完全满足，可引用圣维条件不能完全满足，可引用圣维南原理用三个积分条件来代替。南原理用三个积分条件来代替。xylh/2h/2O

98、qlqlql先来考虑上下两个主要边界条件：先来考虑上下两个主要边界条件：将将y, xy代入主要边界条件，得代入主要边界条件，得147 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xylh/2h/2Oqlqlql联立求解，得联立求解，得将上述结果代入右边三式，得将上述结果代入右边三式，得148 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xylh/2h/2Oqlqlql现在考虑左右两边的次要边界条件；现在考虑左右两边的次要边界条件；由于问题的对称性，只需考虑其由于问题的对称性，只需考虑其中一边，如右边。边界条件：中一边，如右边。边界条件：当

99、当 x=l 时，时，h/2 y h/2, x=0,这是不可能满足的，除非这是不可能满足的，除非 q=H=K=0149 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xylh/2h/2Oqlqlql应用圣维南原理，用三个积分条件代替边界条件。应用圣维南原理，用三个积分条件代替边界条件。将右边将右边x, xy 代入上式代入上式由前两式得：由前两式得：第三式自然满足。第三式自然满足。150 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xylh/2h/2Oqlqlql 代入并整理，得代入并整理，得各应力沿各应力沿y方向分布方向分布h/2h/2xyx

100、y151 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 6. 比较弹性力学和材料力学比较弹性力学和材料力学关于简支梁受均布载荷的解答关于简支梁受均布载荷的解答取梁宽取梁宽 =1 时，时，I = h3/12, S = h2/8 y2/2xylh/2h/2Oqlqlql代入右式：代入右式：152 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xylh/2h/2Oqlqlql长度远大于深度长度远大于深度( lh )的长梁，的长梁，应力各项的数量级：应力各项的数量级：弯应力弯应力x 的第一项与的第一项与 同阶大小同阶大小,为主要应力。为主要应力。与材

101、料力学解答相同。第二项是材料力学没有的，是与材料力学解答相同。第二项是材料力学没有的，是修正项，但只是修正项，但只是 q 级。级。切应力切应力xy 与与 同阶大小同阶大小, 为次要应力。为次要应力。与材料力学解答完全相同。与材料力学解答完全相同。挤压应力挤压应力y 的第一项与的第一项与 q 同阶大小同阶大小,为更次要应力。材为更次要应力。材料力学中不考虑。料力学中不考虑。153 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xylh/2h/2Oqlqlql由此可见，由此可见，弹性力学与材料力学弹性力学与材料力学解答解答的区别，只反映在最小的的区别，只反映在最小的q量量

102、级上，而级上，而 , ,量级的值完全量级的值完全相同。相同。 因此因此, 对于长梁对于长梁( 长度长度 ：深度：深度 4 ), 材料力学的解材料力学的解答虽是近似的答虽是近似的, 但已足够精确但已足够精确, 符合工程上的要求。符合工程上的要求。7. 弹性力学和材料力学解法上的区别弹性力学和材料力学解法上的区别弹性力学的解法：严格满足区域内的平衡微分方弹性力学的解法：严格满足区域内的平衡微分方程，几何方程和物体方程，以及边界上的全部边程，几何方程和物体方程，以及边界上的全部边界条件界条件(小边界上尽管应用了圣维南原理，应力边小边界上尽管应用了圣维南原理，应力边界条件是近似满足的，但只影响小边界附

103、近的局界条件是近似满足的，但只影响小边界附近的局部区域部区域)。154 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 材料力学的解方法材料力学的解方法: 在许多方面都作了近似处理，只在许多方面都作了近似处理，只能得到近似解答。能得到近似解答。例如，在几何条件中，材料力学引用了平面截面假例如，在几何条件中，材料力学引用了平面截面假设，由此导出位移，形变和应力沿横向均为线性分设，由此导出位移，形变和应力沿横向均为线性分布；在平衡条件中，材料力学考虑的是有限大部分布；在平衡条件中，材料力学考虑的是有限大部分的物体的物体( h dx b)的平衡条件，而不是微分体的平的平衡条件

104、，而不是微分体的平衡条件；材料力学中忽略了衡条件；材料力学中忽略了y 的影响，并且在主要的影响，并且在主要边界上没有严格考虑边界条件。这些都使得材料力边界上没有严格考虑边界条件。这些都使得材料力学的解答成为近似解答。学的解答成为近似解答。 一般地说，材料料力学的解法只适用于解决杆状结一般地说，材料料力学的解法只适用于解决杆状结构的问题，对于非杆状结构的问题只能用弹性力学构的问题，对于非杆状结构的问题只能用弹性力学的解法来求解。的解法来求解。155 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3.5 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷xyO1g2g设有楔形体设有楔形体,

105、 下端无限长下端无限长, 受到重力和液体压力受到重力和液体压力, 楔楔形体密度为形体密度为1, 液体密度为液体密度为2 , 试求应力分量。试求应力分量。解：解：采用半逆解法采用半逆解法1.应用量纲分析方法假设应力分量的应用量纲分析方法假设应力分量的函数形式函数形式(1)因应力与因应力与1g 和和2g 成正比，而应力量纲成正比，而应力量纲（L-1MT-2) 只比只比1g和和2g量纲量纲(L-2MT-2)高一次高一次幂的长度量纲，因此，应力只能是幂的长度量纲，因此，应力只能是1g和和2g与与x,y 的一次式相乘的一次式相乘, 1gx, 2gx, 1gy, 2gy的的组合组合, 应力只能是应力只能是

106、x,y的纯一次式。的纯一次式。156 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.此应力函数此应力函数 自然满足相容方程自然满足相容方程(2)由应力函数与应力分量的关系式由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次, 应是应是x,y的纯三次式。因此，假设的纯三次式。因此，假设3.将此应力函数将此应力函数 代入代入fx = 0, fy = 1g157 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4.考察边界条件考察边界条件xyO1g2g(1) x=0 时，应力边界条件：时，

107、应力边界条件：xyO1g2g将右式代入边界条件，得：将右式代入边界条件，得：解出解出 d ,c, 得得代入右式，得代入右式，得(2)右面是斜边界，它的边界线方程是右面是斜边界，它的边界线方程是斜面上无面力斜面上无面力158 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 右面斜边界应力边界条件：右面斜边界应力边界条件：将右式代入边界条件，得：将右式代入边界条件，得：由图可见由图可见xyO1g2gn将上式代入式将上式代入式(a), 解得解得159 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 将上式代入右式，得李维解答：将上式代入右式，得李维解答

108、：xyO1g2gnx图y图xy图各应力分量沿各应力分量沿 x 轴的变化轴的变化:160 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xyO1g2gnx图y图xy图各应力分量沿各应力分量沿 x 轴的变化轴的变化:x沿沿 x 轴没有变化轴没有变化, 此结果不能由材料力学公式求得。此结果不能由材料力学公式求得。y沿沿 x 轴按直线变化轴按直线变化, 在左面和右面它分别是：在左面和右面它分别是：与材料力学中偏心受压公式算得得结果相同。与材料力学中偏心受压公式算得得结果相同。xy沿沿 x 轴也按直线变化轴也按直线变化, 在左面和右面它分别是：在左面和右面它分别是：与等截面梁的

109、切应力变化规律不同。与等截面梁的切应力变化规律不同。161 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 例题例题 例例2：单位厚度的悬臂梁：单位厚度的悬臂梁, 受力如图受力如图, 体力不计体力不计, lh, 试试用应力函数用应力函数=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解应力分量。求解应力分量。MyOxlFNFSh/2h/2解：解：1.将将 代入相容方程，代入相容方程，显然满足显然满足2.将此应力函数将此应力函数 代入代入得应力分量得应力分量3.考察边界条件考察边界条件主要边界主要边界 y=h/2上，应精确满足：上，应精确满足：满足；满足；得得162 2006.Wei

110、 Yuan. All rights reserved. MyOxlFNFSh/2h/2在次要边界在次要边界 x=0上，应用圣维上，应用圣维南原理，用三个积分条件代南原理，用三个积分条件代替。注意替。注意 x=0 为负为负 x 面面解解(a),(b), 得得次要边界次要边界 x=l上，平衡方程和上述边界条件均已满足的上，平衡方程和上述边界条件均已满足的条件下，必然满足。条件下，必然满足。163 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 代入右式，得代入右式，得MyOxlFNFSh/2h/2164 2006.Wei Yuan. All rights reserved.

111、 xyO1g2gb/2b/2例例3：挡水墙的密度为：挡水墙的密度为1，厚度为厚度为b，密度为密度为2，求解应力分量。求解应力分量。提示：可假设提示：可假设 y=x f (y)解：解：用半逆解法用半逆解法1.假设应力分量的函数形式假设应力分量的函数形式y = x f ( y )2.推求应力函数的形式推求应力函数的形式其中其中 f (y), f1(y), f2(y) 都是待定的都是待定的 y 的函数。的函数。165 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3. 由相容方程求解应力函数由相容方程求解应力函数将将 代入代入 得得要使上式在任意的要使上式在任意的x处都成立

112、，必须处都成立，必须xyO1g2gb/2b/2166 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4. 由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量xyO1g2gb/2b/2 fx=1g, fy=0167 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 5.考察边界条件考察边界条件xyO1g2gb/2b/2主要边界主要边界 y=b/2 上上,应精确满足应精确满足代入右式，得代入右式，得代入右式，得代入右式，得代入右式，得代入右式，得168 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xyO1g2gb/2b/2对任意对任

113、意 x 此方程都成立，所以此方程都成立，所以联立联立 a, b, c, d 求解求解, 得得联立联立 e, f, 求解求解, 得得169 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 主要边界主要边界 x=0 上上, 用三个积分条件代替：用三个积分条件代替：xyO1g2gb/2b/2将将 联立联立求解，得求解，得170 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 将全部系数代入右式，得应力解答将全部系数代入右式，得应力解答:xyO1g2gb/2b/2171 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 例例4: 已

114、知已知(a) =Ay2 (a2 x2 ) + Bxy + C( x2+y2 ), (b) =Ax4 + Bx3y + Cx2y2+Dxy2+Ey4试问它们能否能成为平面应力问题的应力函数。试问它们能否能成为平面应力问题的应力函数。解：解：作为应力函数，必须满足相容方程作为应力函数，必须满足相容方程将将 代入代入(a)只有当只有当 A=0 时，时， 才能成为应力函数。才能成为应力函数。(b)只有满足只有满足 3( A+E )+ C = 0 时，时， 才能成为应力函数。才能成为应力函数。172 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 例例5: 矩形截面柱体，顶部受有

115、集中力矩形截面柱体，顶部受有集中力F和力矩和力矩M=Fb/2的作用，试用应力函数的作用，试用应力函数 =Ax3+Bx2 求解应力及位求解应力及位移。设在移。设在A点的位移和转角为零。点的位移和转角为零。xybbhFFb/2Ahb, =1解：解：1.将将 代入相容方程，代入相容方程，显然满足显然满足2.将此应力函数将此应力函数 代入代入3.考察边界条件考察边界条件主要边界主要边界 x=b 上上,应精确满足应精确满足满足满足173 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 次要边界次要边界 y=0 上上, 需满足三个积分条件需满足三个积分条件满足；xybbhFFb/2

116、Ahb, =1代入代入得应力解答得应力解答 上述上述 和应力已满足相容方程和全部边界条件，因和应力已满足相容方程和全部边界条件，因而是该问题的解。而是该问题的解。174 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4.求应变分量求应变分量xybbhFFb/2Ahb, =1将应变分量代入几何方程将应变分量代入几何方程5.求位移分量求位移分量将应力分量代入物理方程将应力分量代入物理方程175 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xybbhFFb/2Ahb, =1方程方程 两边对两边对x积分，得积分，得方程方程 两边对两边对x积分，得积

117、分，得将解出的将解出的u,v 代入代入 , 得得176 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xybbhFFb/2Ahb, =1显然，要使等式成立，等式两边只能显然，要使等式成立，等式两边只能为常数，设等式两边都等于为常数，设等式两边都等于，将解出的将解出的 f1(y), f2(x), 代入代入u, v, 得得177 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xybbhFFb/2Ahb, =1由刚体约束条件：由刚体约束条件：代入代入u, v, 得位移分量解答得位移分量解答178 2006.Wei Yuan. All rights

118、reserved. 例例6：矩形截面柱体，顶部受有集中力：矩形截面柱体，顶部受有集中力 F和力矩和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数的作用，不计体力，试用应力函数 =Ay2+Bxy+cxy3+Dy3 求解应力分量。求解应力分量。xyb/2b/2hAhb, =1M45oq解：解：1.将将 代入相容方程，代入相容方程，显然满足显然满足2.将此应力函数将此应力函数 代入代入3.考察边界条件考察边界条件主要边界主要边界 y=b/2 上上,应精确满足应精确满足满足满足得得179 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xyb/2b/2hAhb, =1M45oq次要边界次

119、要边界 x=0 上上, 三个积分条件三个积分条件:联立求解联立求解 (a), (b), 得得代入右式，得应力分量代入右式，得应力分量180 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4.1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程4.2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程4.3 极坐标中的应力函数及相容方程极坐标中的应力函数及相容方程 4.4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移4.6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力4.

120、7压力隧洞压力隧洞181 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4.1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程 对于有径向线和圆弧线围成的圆形、环形、楔形、对于有径向线和圆弧线围成的圆形、环形、楔形、扇形等的弹性体，宜用极坐标求解。因为用极坐标表扇形等的弹性体，宜用极坐标求解。因为用极坐标表示其边界非常方便，从而使边界条件的表示和方程的示其边界非常方便，从而使边界条件的表示和方程的求解得到很大的简化。求解得到很大的简化。 在极坐标中，平面内任一点在极坐标中，平面内任一点P 的位置，用径向坐标的位置，用径向坐标及环向坐标及环向坐标 来表示，来表示， 坐标线

121、坐标线(=常数常数)和和 坐标线坐标线(=常数常数)在不同的点有不同的方向；在不同的点有不同的方向； 坐标线是直线，坐标线是直线， 坐标线为圆弧曲坐标线为圆弧曲线，线， 坐标的量纲是坐标的量纲是L， 坐标的量坐标的量纲为纲为1。xyOP一一.用极坐标表示点的位置用极坐标表示点的位置182 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xyOddPABCxyOdffdPABC二二.用极坐标表示应力分量用极坐标表示应力分量取厚度为取厚度为1的薄板或长柱体的薄板或长柱体的微分体的微分体PABC, 在在xy平面内平面内, 此微分体是由两条径向线此微分体是由两条径向线(夹角为夹

122、角为d)和环向线和环向线(距离距离为为d)所围成。所围成。 : 径向正应力径向正应力 : 环向正应力或切向正应力环向正应力或切向正应力 = : 切应力切应力符号规定：符号规定：与直角坐标系同与直角坐标系同(代替代替x, 代替代替y)，即，即正正面上的应力以沿正坐标的方向为正，负面上的应力面上的应力以沿正坐标的方向为正，负面上的应力以沿负坐标的方向为正以沿负坐标的方向为正, 反之为负反之为负。f : 径向体力；径向体力；f : 环向体力环向体力 以沿正坐标的方向为正以沿正坐标的方向为正183 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xyOdffdPABC应力随坐标

123、变化，如图应力随坐标变化，如图列平衡方程之前，先计算列平衡方程之前，先计算PB, AC, BC及及PA的面积的面积:SPB = d 1, SAC = +d d 1,SBC = SAC = d 1微分体的体积：微分体的体积： d d 1列出径向的平衡方程，得列出径向的平衡方程，得由于由于d微小，微小，可可把把 取为取为 把把 取为取为1三三.极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程184 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xyOdffdPABC用用代替代替，并注意一阶微并注意一阶微量互相抵消，三阶微量可略量互相抵消，三阶微量可略去，再除以去，再除以dd，

124、得，得列出切向的平衡方程，得列出切向的平衡方程，得185 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 用用代替代替，进行同样简化，得进行同样简化，得xyOdffdPABC如果列出微分体的力矩方如果列出微分体的力矩方程，将得出程，将得出 ，又，又一次证明了切应力互等定一次证明了切应力互等定理。理。 = 这样，我们得到这样，我们得到极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程方程中包含方程中包含3个未知函数个未知函数 , , = 186 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4.2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方

125、程 : 径向线应变，径向线应变， : 环向线应变，环向线应变， : 切应变，即径向与环向两线段之间的直角的改变切应变，即径向与环向两线段之间的直角的改变在极坐标中在极坐标中u : 径向位移，径向位移，u : 环向位移。环向位移。xyOPdAABBPuCdxyOPdABd过任一点过任一点P(,), 分别沿正方分别沿正方向作径向和环向的微分线段，向作径向和环向的微分线段，PA=d, PB=d。一一. 形变分量和位移分量之间形变分量和位移分量之间的几何关系的几何关系1. 假定只有径向位移而没有环向位移假定只有径向位移而没有环向位移径向线段径向线段PA移到移到PA，环向线段环向线段PB移到移到PB，而

126、而P, A, B 三点的位移分别为三点的位移分别为187 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xyOPdAABBPuCd可见，径向线段可见，径向线段PA的线应变为的线应变为环向线段环向线段PB移到移到PB，过过P点的夹角作圆弧线点的夹角作圆弧线PC, PB与与PC的夹角的夹角是微小的，因此，略去高阶微量后，是微小的，因此，略去高阶微量后，得到得到PBPC，由此，环向线段的线应变为，由此，环向线段的线应变为此项可解释为：由于径向位移引起环向线段的伸长此项可解释为：由于径向位移引起环向线段的伸长应变。这一项是极坐标中才有的。应变。这一项是极坐标中才有的。188

127、2006.Wei Yuan. All rights reserved. 它表示，半径为它表示，半径为 的环向线段的环向线段PB=d，由于径向位由于径向位移移u 而移到而移到PC时，它的半径成为时，它的半径成为(+u), 长度成为长度成为PC=( +u )d，伸长值与原来只比，便是环向线应变。伸长值与原来只比，便是环向线应变。xyOPdAABBPuCd径向线段径向线段PA的转角为的转角为 =0环向线段环向线段PB的转角为的转角为可见，切应变为可见，切应变为189 2006.Wei Yuan. All rights reserved. dxyOPdAABBuDP2. 假定只有环向位移而没有径向位移

128、假定只有环向位移而没有径向位移径向线段径向线段PA移到移到PA，环向线段环向线段PB移到移到PB，而而P, A, B 三点的位移分别为三点的位移分别为作作 PD /PA ，则则PA的转角为的转角为，由由于于 是微小的，故略去高阶微量是微小的，故略去高阶微量后得到后得到 PAPA，由此得出径向线由此得出径向线段段PA的线应变为的线应变为 = 0环向线段环向线段PB的线应变为的线应变为190 2006.Wei Yuan. All rights reserved. dxyOPdAABBuDP径向线段径向线段PA的转角为的转角为环向线段环向线段PB的转角为的转角为这是因为这是因为, 变形前环向线切线垂

129、直于变形前环向线切线垂直于OP, 而变形后的环而变形后的环向线切线垂直于向线切线垂直于OP“, 两切线间的夹角等于圆心角两切线间的夹角等于圆心角POP”, 并且这个转角使原直角扩大并且这个转角使原直角扩大, 故切应变为负。故切应变为负。这项也是极坐标中才有的。这项也是极坐标中才有的。可见，切应变为可见，切应变为191 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3. 径向和环向都有位移径向和环向都有位移 将分别得到的只有径向位移而没有环向位移的结将分别得到的只有径向位移而没有环向位移的结果果, 和只有环向位移而没有径向位移的结果叠加和只有环向位移而没有径向位移的结果

130、叠加, 得得极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程dxyOPdAABBuDPxyOPdAABBPuCd192 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 二二. 极坐标中的物理方程极坐标中的物理方程在直角坐标中物理方程是代数方程，且其中在直角坐标中物理方程是代数方程，且其中x, y 的方的方向是正交的。在极坐标中，坐标向是正交的。在极坐标中，坐标 和和 的方程也是正的方程也是正交的，因此极坐标中的的物理方程与直角坐标中的交的，因此极坐标中的的物理方程与直角坐标中的物理方程具有同样的形式。物理方程具有同样的形式。极坐标中的平面应极坐标中的平面应力问题的物理方程力问题的物

131、理方程极坐标中的平面应极坐标中的平面应变问题的物理方程变问题的物理方程193 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4.3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程一一. 直角坐标中与极坐标变换关系直角坐标中与极坐标变换关系1.坐标变量的变换关系坐标变量的变换关系2.一阶导数的变换关系一阶导数的变换关系 设有函数设有函数(x,y)，我们可将我们可将 看成是看成是, 的函数，的函数，即即(,)；而而, 又是又是x, y 的函数。因此，可以认为的函数。因此，可以认为是通过中间变量是通过中间变量, 的关于的关于x,y 的复合函数，按照复的复合函数，按

132、照复合函数的求导公式，得合函数的求导公式，得194 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 其中其中, 对对x, y 的导数的导数得得一阶导数的变换公式一阶导数的变换公式将其写成算子形式将其写成算子形式195 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3. 二阶导数的变换关系二阶导数的变换关系196 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 二二. 极坐标中的相容方程极坐标中的相容方程将左边两项相加，得将左边两项相加，得由直角坐标中的相容方程由直角坐标中的相容方程得得 极坐标中的相容方程极坐标中的相容方

133、程得拉普拉斯算子变换式得拉普拉斯算子变换式即即197 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xyOdffdPABC三三. 用用 (, ) 表示应力分量表示应力分量 ， ， .如图，如把如图，如把x 轴和轴和y 轴分别转到轴分别转到 和和 的方向，使该微的方向，使该微分体的分体的 坐标成为坐标成为0，则，则x, y, xy 分别成为分别成为 , , 。 (不计体力不计体力)198 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 在极坐标系中在极坐标系中, 按按应力函数应力函数 求解时求解时, 应满足应满足(1)在在区域内的区域内的相容方程

134、相容方程4=0； (2)在边界上的在边界上的应力边界条应力边界条件件(假设全部为应力边界条件假设全部为应力边界条件) ；(3)如为多连体，还如为多连体，还需满足需满足位移单值条件位移单值条件。 用用 (, ) 表示应力分量表示应力分量 ， ， .199 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4.4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式OxyyyxxxybacA在一定的应力状态下，由已知的直角坐标中的应力分在一定的应力状态下，由已知的直角坐标中的应力分量求极坐标中的应力分量，或者由已知的极坐标中的量求极坐标中的应力分量，或者由已知的极坐标中的应力分量求直角坐

135、标中的应力分量，就需要建立两个应力分量求直角坐标中的应力分量，就需要建立两个坐标系中的应力关系式，即应力分量的坐标变换式。坐标系中的应力关系式，即应力分量的坐标变换式。一一.已知已知x, y, xy求求 , , 在弹性体中取出一个包在弹性体中取出一个包含含x面、面、y面和面和面且厚度面且厚度为为1的微小三角板的微小三角板A，ab为为x面面, ac为为y面面, bc为为面面200 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 设设bc=ds, 则则ab=dscos, ac=dssin由三角板由三角板A平衡条件平衡条件 F= 0, 得得用用xy 代替代替yx，进行简化，得

136、进行简化，得OxyyyxxxybacA同样，由三角板同样，由三角板A平衡条件平衡条件 F= 0, 得得201 2006.Wei Yuan. All rights reserved. OxyyxxyyxB类似地取出一个包含类似地取出一个包含x面、面、y面和面和 面且厚度为面且厚度为1的微的微小三角板小三角板B。由三角板由三角板B平衡条件平衡条件 F= 0, 得得同样，由三角板同样，由三角板B平衡条件平衡条件 F= 0, 得得得到：得到：综合以上结果，得到应力分量由直角坐标向极坐标综合以上结果，得到应力分量由直角坐标向极坐标的变换式：的变换式：202 2006.Wei Yuan. All righ

137、ts reserved. 已知已知x, y, xy求求 , , 二二. 已知已知 , , 求求x, y, xy203 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移轴对称：轴对称：指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。凡通过对称轴的任何面都是对称面。 若应力是绕若应力是绕 z 轴对称的，则在任一环向线上的各轴对称的，则在任一环向线上的各点，应力分量的数值相同，方向对称与点，应力分量的数值相同，方向对称与 z 轴。由此轴。由此可见，可见，绕绕 z 轴

138、对称的应力，在极坐标平面内应力分轴对称的应力，在极坐标平面内应力分量仅为量仅为 的函数，不随的函数，不随 而变；切应力而变；切应力 为零为零。 应力函数是标量函数，在轴对称应力状态下，应力函数是标量函数，在轴对称应力状态下，它只是它只是 的函数，即的函数，即 = ( )在此特殊情况下，应力公式在此特殊情况下，应力公式一一.轴对称应力的一般解答轴对称应力的一般解答204 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 简化为简化为相容方程相容方程简化为简化为轴对称问题的拉普拉斯算子可以写为轴对称问题的拉普拉斯算子可以写为代入相容方程成为代入相容方程成为这是一个四阶常微分方

139、程。这是一个四阶常微分方程。205 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 对上式积分四次，就得到对上式积分四次，就得到轴对称应力状态下应力函数轴对称应力状态下应力函数的通解的通解其中其中A，B，C，D是待定常数。是待定常数。将此式代入将此式代入得得轴对称应力的一般解答轴对称应力的一般解答206 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 二二. 与轴对称应力相对应的形变和位移与轴对称应力相对应的形变和位移对于平面应力的情况，将应力分量对于平面应力的情况，将应力分量代入物理方程代入物理方程得对应的得对应的形变分量形变分量可见，形变也是

140、轴对称的。可见，形变也是轴对称的。207 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 将形变分量的表达式代入几何方程将形变分量的表达式代入几何方程得得经积分整理得经积分整理得轴对称应力状态下对应的位移分量轴对称应力状态下对应的位移分量式中的式中的A, B, C, H, I, K都是待定系数，其都是待定系数，其中中H, I, K 代表刚体代表刚体位移分量。位移分量。208 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一般性解答，适用于任何轴对称应力问题

141、。其中的待定般性解答，适用于任何轴对称应力问题。其中的待定系数，可以通过应力边界条件和位移边界条件（在多系数，可以通过应力边界条件和位移边界条件（在多连体中还须考虑位移单值条件）来确定。连体中还须考虑位移单值条件）来确定。对于平面应变问题，只需将上述结论中的对于平面应变问题，只需将上述结论中的 E 换为换为 换为换为 一般而言，产生一般而言，产生轴对称应力状态的条件是，弹性体的轴对称应力状态的条件是，弹性体的形状和应力边界条件必须是轴对称的。如果位移边界形状和应力边界条件必须是轴对称的。如果位移边界条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的。条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的。209 2006.W

142、ei Yuan. All rights reserved. 4.6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力 设有圆环或圆筒，内半径为设有圆环或圆筒，内半径为r，外半径为，外半径为R，受内压，受内压力力q1及外压力及外压力q2 。 显然，应力分布应是轴对称的。显然，应力分布应是轴对称的。应当可求出其中的任意常数应当可求出其中的任意常数 A, B, C。1. 取应力分量表达式取应力分量表达式q1q2一一.圆环或圆筒受均布压力的应力解答圆环或圆筒受均布压力的应力解答210 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.内外的边界条件要求内外的边界条件要求q1q2 可见

143、，前两个条件是满足的，而可见，前两个条件是满足的，而后两个条件要求后两个条件要求 现在现在, 边界条件都已满足边界条件都已满足, 但上面但上面2个方程不能确定个方程不能确定3个常数个常数 A, B, C。 注意，我们现在讨论的是注意，我们现在讨论的是多连体多连体，所以，所以，须考察位须考察位移单值条件。移单值条件。211 2006.Wei Yuan. All rights reserved. q1q2这是上节得到的位移分量表达式这是上节得到的位移分量表达式在环向位移在环向位移 u 的表达式中，的表达式中， 项是多值的：项是多值的：例如例如 = 1 ，在在 = 1 时与时与 =1+2 时，时，环

144、向位移相差环向位移相差 在圆环或圆筒中，这是不可能的。于是在圆环或圆筒中，这是不可能的。于是由位移单值由位移单值条件可见必须条件可见必须 B = 03. 位移单值条件位移单值条件212 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 这样，如果这样，如果弹性体的形状和应力边界条件弹性体的形状和应力边界条件是轴对是轴对称的，称的，位移边界条件位移边界条件也是也是轴对称轴对称的，那么，轴对的，那么，轴对称应力的一般解答称应力的一般解答令令 B = 0 代入式代入式 求得求得213 2006.Wei Yuan. All rights reserved. q1q2得圆筒受均布压

145、力的得圆筒受均布压力的拉梅解答拉梅解答代入代入 整理后，整理后，二二.分别讨论内压力或外压力单独作用时的情况分别讨论内压力或外压力单独作用时的情况214 2006.Wei Yuan. All rights reserved. q11. 只有内压力只有内压力q1作用作用显然，显然， 总是压应力，总是压应力， 总是拉应力。总是拉应力。当圆环或圆筒的外半径趋于无限大时当圆环或圆筒的外半径趋于无限大时 (R) ，得，得到具有圆孔的无限大薄板，或具有圆形孔道的无到具有圆孔的无限大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性体，而上列解答成为限大弹性体，而上列解答成为 当当 远大于远大于r 处，应力很小，可以不计。这

146、个实例也处，应力很小，可以不计。这个实例也证实了圣维南原理，因为圆孔或圆形孔道的内压力是证实了圣维南原理，因为圆孔或圆形孔道的内压力是平衡力系。平衡力系。215 2006.Wei Yuan. All rights reserved. q22. 只有外压力只有外压力q2作用作用显然，显然， ， 都总是压应力。都总是压应力。对于单连体和多连体，位移单值条件都是必须满足的。对于单连体和多连体，位移单值条件都是必须满足的。单值条件单值条件实际是物体连续性条件的表现形式。即在实际是物体连续性条件的表现形式。即在连续体上，对于同一点的应力、形变和位移只可能连续体上，对于同一点的应力、形变和位移只可能有位移

147、唯一值，即应为单值。有位移唯一值，即应为单值。三三. 关于位移单值条件关于位移单值条件216 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 按位移求解时按位移求解时，通常取位移分量的解答为单值，通常取位移分量的解答为单值，然后带入几何方程，通过对为求导，得出的形变分然后带入几何方程，通过对为求导，得出的形变分量必然也是单值；再由物理方程量必然也是单值；再由物理方程(代数方程代数方程)求应力，求应力，应力必然也是单值的。故按位移求解时，应力必然也是单值的。故按位移求解时，位移单值位移单值条件通常是满足的。条件通常是满足的。 按应力求解时按应力求解时，先取应力解答为单值，

148、再代入物，先取应力解答为单值，再代入物理方程理方程(代数方程代数方程)，由应力求应变必然也为单值。，由应力求应变必然也为单值。但代入几何方程后通过积分求位移，这时，但代入几何方程后通过积分求位移，这时，在多连在多连体中常常会出现多值项。因此，须校核位移单值条体中常常会出现多值项。因此，须校核位移单值条件。件。而在单连体中，通过校核边界条件等以后，位而在单连体中，通过校核边界条件等以后，位移单值条件往往已经自然满足移单值条件往往已经自然满足。 所以，所以， 按应力求解时，对于多连体须校核位移的按应力求解时，对于多连体须校核位移的单值条件。单值条件。217 2006.Wei Yuan. All r

149、ights reserved. 4.7 压力隧洞压力隧洞设有圆筒，埋在无限大的弹性体中，受均布压力设有圆筒，埋在无限大的弹性体中，受均布压力q，例如，压力隧洞。例如，压力隧洞。OqE, E, rR 设圆筒和无限大弹性体的弹性常数分设圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为别为E, 和和E, 。 由于两者的材料性质不同由于两者的材料性质不同, 不符合均匀不符合均匀性假定性假定, 因此因此, 不能用同一个函数表示其不能用同一个函数表示其解答。这类问题称为解答。这类问题称为接触问题接触问题, 即两个即两个弹性体在边界上互相接触的问题弹性体在边界上互相接触的问题, 必须必须考虑交界面上的接触条件。考虑交界面

150、上的接触条件。 无限大弹性体，可以看作是内半径为无限大弹性体，可以看作是内半径为R而外半径为无而外半径为无限大的圆筒。限大的圆筒。218 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 显然，圆筒和无限大的弹性体的应力分布都是轴对显然，圆筒和无限大的弹性体的应力分布都是轴对称的。可以分别引用轴对称应力解答和位移解答。称的。可以分别引用轴对称应力解答和位移解答。OqE, E, rR1.考虑位移单值条件考虑位移单值条件 ( B=0 )取无限大弹性体的应力表达为取无限大弹性体的应力表达为2. 考虑边界条件和接触条件来求解考虑边界条件和接触条件来求解A, C, A ,C.取圆筒

151、的应力表达为取圆筒的应力表达为在圆筒内面，有边界条件在圆筒内面，有边界条件 ( ) =r = q一一. 圆筒及无限大的弹性体的应力分量表达式圆筒及无限大的弹性体的应力分量表达式219 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 在远离圆筒处，按圣维南原理，应当几在远离圆筒处，按圣维南原理，应当几乎没有应力，于是有乎没有应力，于是有OqE, E, rR ( ) = q ，( ) = 0.由此得由此得 2C = 0在圆筒和无限大的弹性体的接触面上在圆筒和无限大的弹性体的接触面上 ( ) =R = ( ) =R 代入右式，得代入右式，得我们得到了我们得到了3个关于个关于A

152、, C, A ,C.的方的方程，不能确定程，不能确定4个常数。个常数。由此得由此得220 2006.Wei Yuan. All rights reserved. OqE, E, rR注意到这是个平面应变问题，且注意到这是个平面应变问题，且 B = 0写出圆筒和无限大的弹性体的写出圆筒和无限大的弹性体的将此二式简化，得将此二式简化，得3. 考虑位移考虑位移221 2006.Wei Yuan. All rights reserved. OqE, E, rR在接触面上在接触面上, 圆筒和无限大的弹性体应圆筒和无限大的弹性体应有相同的位移，即有相同的位移，即 因这一方程在接触面的任意一点都应成立，也就

153、是因这一方程在接触面的任意一点都应成立，也就是在在 取任何值是都应成立，故方程两边的自由项必须取任何值是都应成立，故方程两边的自由项必须相等（相等（cos, sin 的系数也必须相等）。于是有的系数也必须相等）。于是有222 2006.Wei Yuan. All rights reserved. OqE, E, rR经简化经简化, 并注意到并注意到 ，得，得 2C = 0 2C = 0求出求出A, C, A ,C，代入右边表达式，得代入右边表达式，得圆筒及无限大的弹性体的应力分量表圆筒及无限大的弹性体的应力分量表达式达式223 2006.Wei Yuan. All rights reserve

154、d. 圆筒及无限大的弹性体的应力分量表达式圆筒及无限大的弹性体的应力分量表达式 OqE, E, rRn 1 时，应力分布图时，应力分布图 由于本题是轴对称问题，因此，关于由于本题是轴对称问题，因此，关于 = r 面上且应面上且应力等于力等于 0 的边界条件、的边界条件、 = R 边界上环向应力和位移边界上环向应力和位移的接触条件都是自然满足的。的接触条件都是自然满足的。224 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 二二. 一般的接触问题一般的接触问题 当两个弹性体当两个弹性体,变形前在某一边界变形前在某一边界s 上为互相接触，上为互相接触，变形后的接触可分为几

155、种情形：变形后的接触可分为几种情形：1. 完全接触完全接触变形后两弹性体在变形后两弹性体在s上仍保持连续。这时的接触条件上仍保持连续。这时的接触条件为：在为：在s上上变形后两弹性体在变形后两弹性体在s上法向仍保持连续，而切向产生上法向仍保持连续，而切向产生有摩擦阻力的相对滑移，则在有摩擦阻力的相对滑移，则在s上的接触条件为：上的接触条件为：其中：其中：f 为摩擦因素为摩擦因素 c 为凝聚力。为凝聚力。2. 有摩擦阻力的滑移接触有摩擦阻力的滑移接触225 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3. 光滑接触光滑接触变形后在变形后在s上法向保持连续，但切向产生无摩

156、擦阻力上法向保持连续，但切向产生无摩擦阻力的光滑移动，则在的光滑移动，则在s上的接触条件为：上的接触条件为：4. 局部脱离局部脱离变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成了自由面。在此部分脱开的边界上，有了自由面。在此部分脱开的边界上，有226 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 227 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 弹性力学与有限元弹性力学与有限元Elasticity and Finite Element MethodElasticity and Finite E

157、lement MethodChinaChina， Wuhan Wuhan FebruaryFebruary， 2008 2008228 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第六章第六章第六章第六章 用有限单元法解平面问题用有限单元法解平面问题单元分析单元分析整体分析整体分析概述概述229 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 概述概述有限单元法的发展有限单元法的发展有限单元法的分析过程概述有限单元法的分析过程概述有限单元法的特点有限单元法的特点概述概述230 2006.Wei Yuan. All rights reserve

158、d. u有限元法的情况和现状有限元法的情况和现状有限单元法的发展有限单元法的发展u有限元法的产生有限元法的产生u有限元法的发展有限元法的发展概述概述231 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 有有限限单单元元法法是是随随着着电电子子计计算算机机的的发发展展而而迅迅速速发发展展起起来来的的一一种种现现代代计计算算方方法法。它它是是5050年年代代首首先先在在连连续续体体力力学学领领域域-飞飞机机结结构构静静、动动态态特特性性分分析析中中应应用用的的一一种种有有效效的的数数值值分分析析方方法法，随随后后很很快快广广泛泛的的应应用用于于求求解解热热传传导导、电电磁

159、磁场场、流流体体力力学等连续性问题。学等连续性问题。力学分析方法力学分析方法理论分析（解析法理论分析（解析法) )试验分析试验分析计算机分析计算机分析( (数值法）数值法）概述概述232 2006.Wei Yuan. All rights reserved. z解析解的局限性解析解的局限性x存在问题：推导复杂存在问题：推导复杂x要求合适的试函数要求合适的试函数u有限元法的产生有限元法的产生 特点特点：只能求解方程性质比较简单，且几何边界相当规则的少数问题：只能求解方程性质比较简单，且几何边界相当规则的少数问题xyllqlql1yzh/2h/2概述概述233 2006.Wei Yuan. All

160、 rights reserved. z经济生产发展的要求经济生产发展的要求y实际发展的需要实际发展的需要l航空航天航空航天l土木结构土木结构l汽车工业汽车工业l机械工业机械工业u有限元法的产生有限元法的产生为了实现重大工程和工业产品的计算分析、模拟仿真与优化设计为了实现重大工程和工业产品的计算分析、模拟仿真与优化设计有限元法是支持工程科学家进行创新研究和工程师进行创新设计的、有限元法是支持工程科学家进行创新研究和工程师进行创新设计的、最重要的工具和手段最重要的工具和手段概述概述234 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 离散的概念离散的概念 z有限元发展的可

161、能条件有限元发展的可能条件 (a) continuum object,(b)a discrete approximation by inscribed regular polygons,概述概述235 2006.Wei Yuan. All rights reserved. (c) disconnected element,(d) generic element.概述概述236 2006.Wei Yuan. All rights reserved. n n = n sin(/n) Extrapolated by Wynn- Exact to 16 places1 0.00000000000000

162、02 2.0000000000000004 2.828427124746190 3.4142135623730968 3.06146745892071816 3.121445152258052 3.14141832793321132 3.13654849054593964 3.140331156954753 3.141592658918053128 3.141277250932773256 3.141513801144301 3.141592653589786 3.141592653589793Table 1.1. Rectification of Circle by Inscribed Po

163、lygons (“Archimedes FEM”)概述概述237 2006.Wei Yuan. All rights reserved. x高级语言的出现高级语言的出现x数值计算方法的发展数值计算方法的发展z计算机和软件的发展计算机和软件的发展概述概述238 2006.Wei Yuan. All rights reserved. l20世纪世纪40年代，年代，1941年年A.Hrennikoff用杆系结构来构造离散模型用杆系结构来构造离散模型离散化思想。离散化思想。l1943年年R.Courant第一次假设翘曲函数在一个人为划分的三角形单第一次假设翘曲函数在一个人为划分的三角形单元集合体的每个

164、单元上为简单的线性函数，求得元集合体的每个单元上为简单的线性函数，求得St.Venant扭转问题扭转问题的近似的近似有限单元法的基本思想。有限单元法的基本思想。l1960年年R.W.Clough教授在一篇题为教授在一篇题为“平面应力分析的有限单元法平面应力分析的有限单元法”的论文中首先使用有限单元法的论文中首先使用有限单元法（the Finite Element Method)一词。一词。l1956年年Turner、Clough等人在分析等人在分析飞机结构飞机结构时，将矩阵位移法时，将矩阵位移法的方法、原理推广应用于弹性力学平面问题，将一个弹性连续体假的方法、原理推广应用于弹性力学平面问题，将

165、一个弹性连续体假想地划分为一系列三角形的所谓单元。想地划分为一系列三角形的所谓单元。l德国德国J. H. Argyris教授发表了一组能量原理与矩阵分析的论文教授发表了一组能量原理与矩阵分析的论文lZienkiewicz, O. C. and Cheung, Y. K., The Finite Element Method in Engineering Science, McGraw-Hill, London, 1967.概述概述239 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 1943-Courant(Varitional methods)1943-Couran

166、t(Varitional methods)1956-Turner,Clough,Matrin and Topp(the direct stiffness methods)1960-Clongh(“Finite Element”,Plane problems)1970s-Applications on mainframe computers1980s-Microcomputers,pre-and postprocessors1990s-Analysis of large structural systems概述概述240 2006.Wei Yuan. All rights reserved. z

167、发展历程发展历程y应力元（应力解法）应力元（应力解法）y混合元（能量解法）混合元（能量解法）y有限元有限元y无限元无限元y位移元（位移解法）位移元（位移解法）概述概述241 2006.Wei Yuan. All rights reserved. yADINAySAPyNASTRANyABAQUSyANSYSyMARC1.1.通用软件的出现通用软件的出现u有限元法的情况和现状有限元法的情况和现状概述概述242 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 在在大大力力推推广广CAD技技术术的的今今天天，从从自自行行车车到到航航天天飞飞机机，所所有有的的设设计计制制造造都

168、都离离不不开开有有限限元元分分析析计计算算，FEA在在工工程程设设计和分析中将得到越来越广泛的重视。计和分析中将得到越来越广泛的重视。国国际际上上早早在在20世世纪纪50年年代代末末、60年年代代初初就就投投入入大大量量的的人人力力和和物物力力开开发发具具有有强强大大功功能能的的有有限限元元分分析析程程序序。其其中中最最为为著著名名的的是是由由美美国国国国家家宇宇航航局局（NASA）在在1965年年委委托托美美国国计计算算科科学学公公司司和和贝贝尔尔航航空空系系统统公公司司开开发发的的NASTRAN有有限限元元分分析析系系统统。该该系系统统发发展展至至今今已已有有几几十十个个版版本本，是是目前

169、世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。概述概述243 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 目目前前，世世界界各各地地的的研研究究机机构构和和大大学学发发展展了了一一批批规规模模较较小小但但使使用用灵灵活活、价价格格较较低低的的专专用用或或通通用用有有限限元元分分析析软软件件，主主要要有有德德国国的的ASKA、英英国国的的PAFEC、法法国国的的SYSTUS、美美国国的的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和和STARDYNE等公司的产品。等公司的产品

170、。概述概述244 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。证明这是一种非常有效的数值分析方法。有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。个交叉学科的问题。 例如当气流流过一个很

171、高的铁塔产生变形，而塔的例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动变形又反过来影响到气流的流动这就需要用固体力学和流体动这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓 流固耦合流固耦合 的问题。的问题。2.2.从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题概述概述245 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 分析学科领域.实体运动，承受压力，或实体间存在接触实体运动，承受压力，或实体间存在接触.施加热、高温或存在温度变化施加热、高温或

172、存在温度变化.恒定的磁场或磁场恒定的磁场或磁场.电流（直流或交流）电流（直流或交流）.气（液）体的运动，或受限制的气体气（液）体的运动，或受限制的气体/ /液体液体.以上各种情况的耦合以上各种情况的耦合结构结构热热磁磁流体流体电电耦合场耦合场概述概述246 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 线性理论已经远远不能满足设计的要求。线性理论已经远远不能满足设计的要求。 例例如如：航航天天和和动动力力工工程程的的高高温温部部件件存存在在热热变变形形和和热热应应力力，要要考考虑虑材材料料的的非非线线性性问问题题；诸诸如如塑塑料料、橡橡胶胶和和复复合合材材料料等等各各

173、种种新新材材料料的出现，只有采用非线性有限元算法才能解决。的出现，只有采用非线性有限元算法才能解决。非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和和ADINA等专长于等专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。程实践。3.3.由求解线性工程问题进展到分析非线性问题由求解线性工程问题进展到分析非线性问题概述概述247 2006.Wei Yu

174、an. All rights reserved. 随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速飞速随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而数数据准备和运算结果据准备和运算结果的表现问题却日益突出。在现在的工程的表现问题却日益突出。在现在的工程工作站上，求解一个包含工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以以上的精力都花在数据准备和结果分析上。上的精力都花在数

175、据准备和结果分析上。4.4.增强可视化的前置建模和后置数据处理功能增强可视化的前置建模和后置数据处理功能概述概述248 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。使用能很强的前置建模和后置数据处理模块。使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于

176、极值搜索和所需数据的列表输出便于极值搜索和所需数据的列表输出。 概述概述249 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 前处理前处理 概述概述250 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 后处理后处理 隧道衬砌和岩体的应力分布图隧道衬砌和岩体的应力分布图概述概述251 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 当当今今有有限限元元分分析析系系统统的的另另一一个个特特点点是是与与通通用用CAD软软件件的的集集成成使使用用， 即即：在在用用CAD软软件件完完成成部部件件和和零零件件的的造造型型设设计计后

177、后，自自动动生生成成有有限限元元网网格格并并进进行行计计算算，如如果果分分析析的的结结果果不不符符合合设设计计要要求求则则重重新新进进行行造造型型和和计计算算，直直到到满满意意为为止止，从从而而极极大大地地提提高高了了设设计计水水平平和和效效率率。当当今今所所有有的的商商业业化化有有限限元元系系统统商商都都开开发发了了和和著著名名的的CAD软软件件（例例如如Pro/ENGINEER、 Unigraphics、 SolidEdge、 SolidWorks、IDEAS、Bentley和和AutoCAD等等）的的接接口口。 5.5.与与CADCAD软件的无缝集成软件的无缝集成概述概述252 2006

178、.Wei Yuan. All rights reserved. 6.6.有限元方法在工业生产中的广泛应用有限元方法在工业生产中的广泛应用y机械加工机械加工y航空航天航空航天概述概述253 2006.Wei Yuan. All rights reserved. y土木结构土木结构y汽车工业汽车工业概述概述254 2006.Wei Yuan. All rights reserved. y核电能源核电能源y其它领域其它领域概述概述255 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 有限单元法的特点有限单元法的特点数值解法的类型数值解法的类型：在解析法的基础上直接进行近似数

179、值计算，如有限差分法。在解析法的基础上直接进行近似数值计算，如有限差分法。在力学模型上进行数值计算，如有限单元法在力学模型上进行数值计算，如有限单元法数值解法的产生数值解法的产生：l许多力学问题无法求得解析解答许多力学问题无法求得解析解答l许多工程问题也只需要给出数值解答许多工程问题也只需要给出数值解答概述概述256 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 有限单元法的基本思想有限单元法的基本思想l离散离散l分片插值分片插值变分法在整个求解域内用一个统一的试函数逼近真实函数变分法在整个求解域内用一个统一的试函数逼近真实函数有限单元法针对每一个单元选择试函数有限单

180、元法针对每一个单元选择试函数分片插值的思想是有限单元法与里兹法的一个重要区别分片插值的思想是有限单元法与里兹法的一个重要区别（图解）（图解）把连续系统（包括杆系、连续体、连续介质）分割成把连续系统（包括杆系、连续体、连续介质）分割成数目有限的单元数目有限的单元概述概述257 2006.Wei Yuan. All rights reserved. ox xy y实际分布曲线实际分布曲线c1整体试探函数整体试探函数c2分片差值函数分片差值函数一维函数的整体插值和分片插值一维函数的整体插值和分片插值概述概述258 2006.Wei Yuan. All rights reserved. l直接刚度法直

181、接刚度法l变分法变分法l加权残数法加权残数法l能量平衡法能量平衡法有限单元法的推理途径有限单元法的推理途径概述概述259 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 1、物理概念清晰、物理概念清晰。有限元法一开始就从力学角度进行有限元法一开始就从力学角度进行简化，易于掌握，便于初学者入门。简化，易于掌握，便于初学者入门。2、可以从不同的水平上建立起对该法的解。、可以从不同的水平上建立起对该法的解。它既可从它既可从通俗易懂的结构力学方法出发，阐述其基本原理并通俗易懂的结构力学方法出发，阐述其基本原理并进行公式推导，也可以按严格的数学逻辑来阐释。进行公式推导，也可以按严

182、格的数学逻辑来阐释。3、适应性强，应用范围广、适应性强，应用范围广目前，它几乎适应于求解目前，它几乎适应于求解所有的连续介质和场的问题。所有的连续介质和场的问题。4、已经出现了许多大型结构分析通用程序，可以直接、已经出现了许多大型结构分析通用程序，可以直接应用。应用。如如SAP，ANSYS，NASTRAN，ADINA等。等。有限单元法的优点有限单元法的优点概述概述260 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 学习有限元法所需的理论基础学习有限元法所需的理论基础l学科理论学科理论理论力学、材料力学、结构力学、理论力学、材料力学、结构力学、弹性力学、流体力学、传热

183、学等弹性力学、流体力学、传热学等l数学基础数学基础线性代数、变分原理、加权余量法线性代数、变分原理、加权余量法l计算机基础计算机基础计算机的一般知识、算法语言、计计算机的一般知识、算法语言、计算机的使用和编程算机的使用和编程概述概述261 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 有限单元法分析过程概述有限单元法分析过程概述结构离散化结构离散化单元分析单元分析整体分析整体分析概述概述262 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 有限元分析有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）

184、进行模拟。利用简单而又统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。未知量去逼近无限未知量的真实系统。定义定义基本概念基本概念概述概述263 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 物理系统举例 几何体几何体 载荷载荷 物理系统物理系统结构结构热热电磁电磁概述概述264 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 有限元模型 有限元模型有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。是真实系统理想化的数学抽象。真实系统真实系统有限

185、元模型有限元模型概述概述265 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 节点和单元节点节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。存在相互物理作用。单元单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的有限元模型由一些简单形状的单元单元组成，单元之间通过组成，单元之间通过节点节点连连接，并承受一定接，并承受一

186、定载荷载荷。载荷载荷载荷载荷概述概述266 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 信息是通过单元之间的公共节点传递的。信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元分离但节点重叠的单元A和和B之间没有信息传递之间没有信息传递（需进行节点合并处理）（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元具有公共节点的单元之间存在信息传递之间存在信息传递 . . . .AB. . . . . . . . .AB. . . .1 node2 nodes节点和单元 概述概述267 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 节点和单元 尽管梯子的

187、有限元模型低于尽管梯子的有限元模型低于100100个方程（即个方程（即“自由度自由度”），然而在今天一个小的），然而在今天一个小的 ANSYSANSYS分析就可能有分析就可能有50005000个个未知量，矩阵可能有未知量，矩阵可能有2525，000000，000000个刚度系数。一台奔个刚度系数。一台奔腾腾PCPC机在几分钟内可求解机在几分钟内可求解5000500050005000的矩阵系统，而过的矩阵系统，而过去则需要几天时间。去则需要几天时间。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。每个单元的特性是

188、通过一些线性方程式来描述的。概述概述268 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 自由度自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性用于描述一个物理场的响应特性。结构结构 DOFs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 方向方向 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ自由度（DOFs）概述概述269 2006.Wei Yuan. All rights reserved. u结构的离散化结构的离散化将将某某个个工工程程结结构构离离散散为为由由各各种种单单元元组组成成的的计计算算模模型型，这这一步称作

189、单元剖分。一步称作单元剖分。离离散散后后单单元元于于单单元元之之间间利利用用单单元元的的节节点点相相互互连连接接起起来来；单单元元节节点点的的设设置置、性性质质、数数目目等等应应视视问问题题的的性性质质，描描述述变形形态的需要和计算进度而定。变形形态的需要和计算进度而定。用用有有限限元元分分析析计计算算所所获获得得的的结结果果只只是是近近似似的的。如如果果划划分分单单元元数数目目非非常常多多而而又又合合理理，则则所所获获 得得的的结结果果就就与与实实际际情情况相符合。况相符合。概述概述270 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 1.单元类型选择单元类型选择离

190、散化首先要选定单元类型，这包括离散化首先要选定单元类型，这包括单元形状单元形状、单元结点单元结点数与数与结点自由度数结点自由度数等三个方面的内容等三个方面的内容水坝水坝概述概述271 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 1D2D3D常用单元的形状常用单元的形状概述概述272 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 概述概述273 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 线单元线单元:Beam(梁梁)单元是用于单元是用于螺栓螺栓(杆杆)，薄壁管件，薄壁管件，C形截面构件，形截面构件，角钢或者狭长薄

191、膜构件角钢或者狭长薄膜构件(只有膜只有膜应力和弯应力的情况应力和弯应力的情况)等模型。等模型。Spar (杆杆)单元是用于单元是用于弹簧，螺弹簧，螺杆，预应力螺杆和薄膜桁架杆，预应力螺杆和薄膜桁架等等模型模型。Spring 单元是用于单元是用于弹簧，螺杆，弹簧，螺杆，或细长构件，或细长构件，或或 通过刚度等效通过刚度等效替代复杂结构等模型替代复杂结构等模型。概述概述274 2006.Wei Yuan. All rights reserved. X-Y 平面单元平面单元: 在整体笛卡尔在整体笛卡尔X-Y平面内（模型必须建在此面内），平面内（模型必须建在此面内），其其中任何一种单元类型只允许有平面

192、应力、平面应变中任何一种单元类型只允许有平面应力、平面应变 、轴对轴对称、和称、和/或者谐结构特性。或者谐结构特性。OKNJMPLIIJK,L,OPNMTriangular OptionY(or Axial)X (or Radial)平面应力或应变平面应力或应变:概述概述275 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 平面应力平面应力 分析是用来分析分析是用来分析诸如承受面内载荷的诸如承受面内载荷的平板平板、承受压力或远离中心载荷的承受压力或远离中心载荷的薄圆盘薄圆盘等结构等结构。平面应力平面应力概述概述276 2006.Wei Yuan. All rights

193、 reserved. 平面应变分析平面应变分析是用于分析那种是用于分析那种一个方向的尺寸（指定为总体一个方向的尺寸（指定为总体Z方向）远远大于其它两个方向方向）远远大于其它两个方向的尺寸，并且垂直于的尺寸，并且垂直于Z轴的横截轴的横截面是不变的。面是不变的。平面应变平面应变概述概述277 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 假定三维实体模型是由假定三维实体模型是由XY面内的横截面内的横截面绕面绕Y轴旋转轴旋转360o 形成的（管，锥体，形成的（管，锥体，圆板圆板, 圆顶盖，圆盘等）。圆顶盖，圆盘等）。4对称轴必须和整体对称轴必须和整体 Y 轴重合。轴重合。4

194、不允许有负不允许有负 X 坐标。坐标。4Y 方向是轴向，方向是轴向，X方向是径向，方向是径向， Z方向是周向方向是周向 (hoop) 。4周向位移是零；周向应变和应力十周向位移是零；周向应变和应力十分明显。分明显。4只能承受轴向载荷（所有载荷）。只能承受轴向载荷（所有载荷）。Hoop轴对称轴对称概述概述278 2006.Wei Yuan. All rights reserved. Shell (壳壳)单元用于单元用于薄面薄面板板或或曲面模型。曲面模型。壳单元分析应用的基本原壳单元分析应用的基本原则是则是每块面板的主尺寸不每块面板的主尺寸不低于其厚度的低于其厚度的10倍。倍。壳单元壳单元:概述概

195、述279 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 用于那些由于几何、材料、用于那些由于几何、材料、载荷或分析结果要求考虑的细载荷或分析结果要求考虑的细节等原因造成节等原因造成无法采用更简单无法采用更简单单元进行建模的结构单元进行建模的结构。四面体模型使用四面体模型使用CAD建模往建模往往比使用专业的往比使用专业的FEA分析建模分析建模更容易，也偶尔得到使用。更容易，也偶尔得到使用。KRLQOPMNJIXYZTetrahedron meshBrick mesh三维实体单元三维实体单元:概述概述280 2006.Wei Yuan. All rights reserv

196、ed. 其它可供选择的单元类型其它可供选择的单元类型建立三维实体模型需要作出下列选择：建立三维实体模型需要作出下列选择： 使用四面体单元划分网格使用四面体单元划分网格4 采用简便方法建立实体模型采用简便方法建立实体模型。4 选用二次单元或者选用二次单元或者 p单元。单元。或或 者者 使用块单元划分单元网格使用块单元划分单元网格4选用块单元网格建立实体模型选用块单元网格建立实体模型。通常需要花费更多通常需要花费更多时间和精力。时间和精力。 划分子区域划分子区域 连接处理连接处理 延伸延伸4 采用任何块单元。采用任何块单元。概述概述281 2006.Wei Yuan. All rights res

197、erved. 专用单元专用单元 包括包括接触接触单元单元 - 用于构用于构件间存在接触面的结构建模件间存在接触面的结构建模，如涡轮如涡轮盘和叶片，螺栓头部和法兰，电触头，盘和叶片，螺栓头部和法兰，电触头，以及以及O-圈等等。圈等等。 做好接触分析要求有这方面的知识做好接触分析要求有这方面的知识和经验和经验。JIGAPM or M/2CXYZFSLIDEK1K2M or M/2专用单元专用单元:概述概述282 2006.Wei Yuan. All rights reserved. CutoutsCracksentrant cornersVicinity of concentrated (poin

198、t)loads, and sharp contact areas网格的加密网格的加密2.单元划分单元划分概述概述283 2006.Wei Yuan. All rights reserved. Load transfer(bonded joints,welds, anchors,reinforcing bars, etc.)Abrupt thickness changesMaterial interfaces概述概述284 2006.Wei Yuan. All rights reserved. GoodBadElements with good and bad aspect ratios.单元形

199、态应尽可能接近相应的正多边形或正多面体单元形态应尽可能接近相应的正多边形或正多面体 概述概述285 2006.Wei Yuan. All rights reserved. llustration of the rule that elements should not cross material interfaces.同一单元由同一种材料构成同一单元由同一种材料构成概述概述286 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 单元结点应与相邻单元结点相连接，不能置于相邻单元边界上单元结点应与相邻单元结点相连接，不能置于相邻单元边界上 网格划分应尽可能有规律，以利于计

200、算机自动生成网格。网格划分应尽可能有规律，以利于计算机自动生成网格。概述概述287 2006.Wei Yuan. All rights reserved. v1.选择位移模式选择位移模式位移法：选择节点位移作为基本未位移法：选择节点位移作为基本未 知量称为位移法；知量称为位移法；力力 法：选择节点力作为基本未法：选择节点力作为基本未 知量时称为力法；知量时称为力法；混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。未知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广

201、有限单元法中位移法应用范围最广。u单元分析单元分析概述概述288 2006.Wei Yuan. All rights reserved. v2.分析单元的力学性质分析单元的力学性质 根据根据 单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚建立力和位移的方程式，从而导出单元刚 度矩度矩阵，这是有

202、限元法的基本步骤之一阵，这是有限元法的基本步骤之一。概述概述289 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 分析单元的力学特征分析单元的力学特征 单元应变矩阵单元应变矩阵BB单元应力矩阵单元应力矩阵S单元刚度矩阵单元刚度矩阵K单元刚度方程单元刚度方程概述概述290 2006.Wei Yuan. All rights reserved. v3.计算等效节点力计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元 传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一

203、个单元中去的。力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代是用等效的节点力来代 替所有作用在单元上得替所有作用在单元上得力。力。概述概述291 2006.Wei Yuan. All rights reserved. u整体分析整体分析利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程程 1.1.单元组

204、集单元组集概述概述292 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.求解未知节点位移求解未知节点位移 引入边界条件引入边界条件可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。解线性方程组求出位移，然后求出单元应力。解线性方程组求出位移，然后求出单元应力。概述概述293 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 要求和特点要求和特点z有限元的基本原理和方法有限元的基本原理和方法z发展有限元方法发展有限元方法z程序实践程序实践y理解掌握有限元的基本思想和方法理解掌握有限元的基本思想和方法y实

205、际调试和处理教学程序实际调试和处理教学程序y能正确使用通用程序能正确使用通用程序y构造新的单元构造新的单元y解决新的问题解决新的问题y引入新的数值方法引入新的数值方法概述概述294 2006.Wei Yuan. All rights reserved. Part of a two-dimensional FE mesh has been set up as indicated in Figure E1.2.Region ABCD is still unmeshed. Draw a transition mesh within that region that correctly merges

206、with the regular grids shown, uses 4-node quadrilateral elements (quadrilaterals with corner nodes only), and avoids triangles. Note: There are several (equally acceptable) solutions.EXERCISE 1概述概述295 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 概述概述296 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第一节第一节第一节第一节 基本量及基本

207、方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示 采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力平面应力问题问题的公式。297 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第一节第一节第一节第一节 基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示面力位移函数应变应力结点位移列阵结点力列阵 基本物理量基本物理量：体力298 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第一节第一节第一节第一节 基本量及基本

208、方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示物理方程 其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是FEM中应用的方程：中应用的方程：几何方程299 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第一节第一节第一节第一节 基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示 结点虚位移， 对应的虚应变。 在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。ij虚功方程其中300 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第二节第二节第二节第二

209、节 有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念 以下来导出FEMFEM。 1. 结构离散化结构离散化将连续体变换为离散 化结构； FEMFEM的概念的概念，可以简述为：用结力方法求解用结力方法求解弹力问题弹力问题。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结力方法进行求解。301 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第二节第二节第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念 结力研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a）。弹力研究的对象，是连续体（图（b）

210、)。图 6-2302 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第二节第二节第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念 将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构（图（c）：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓离散化结构离散化结构。303 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第二节第二节第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念 与 相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单

211、元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。例如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。图（c）图（a）304 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第二节第二节第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念2.应用结构力学方法应用结构力学方法( (位移法位移法) )进行求解进行求解: : 分析步骤如下：分析步骤如下： 仿照桁架的结力位移法，来求解图（c）的平面离散化结构。其中应注意，三角形单元内部仍是连续体，应按弹力方法进行分析。305 2006.Wei Yuan. All rights reserv

212、ed. 第二节第二节第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念 （2) 应用插值公式, 由单元结点位 移 ，求单元的位移函数（1）取各结点位移 为基 本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用 来表示。这个插值公式称为单元的位移模式，表示为306 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第二节第二节第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念（5）应用虚功方程，由单元的应力 ，求出 单元的结点力单元的结点力，表示为（3）应用几何方程，由单元的位移函数d，求出单元的应变单元的应变，表示为

213、（4）应用物理方程，由单元的应变 ，求 出 单元的应力单元的应力，表示为307 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第二节第二节第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念 结点对单元的作用力，作用 于单元，称为结点力，以正标向为正。 单元对结点 的作用力，与 数 值相同,方向相反， 作用于结点。308 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第二节第二节第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功等效原则移置到结点上，化

214、为结点荷结点荷 载载，表示为 309 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第二节第二节第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念各单元移置到i 结点上的结点荷载 其中 表示对围绕i 结点的单元求和；(7) 对每一结点建立平衡方程对每一结点建立平衡方程。各单元对i 结点的结点力作用于结点i上的力有： 为已知值, 是用结点位移表示的值。通过求解联立方程 ，得出各结点位移值，并从而求出各单元的应变和应力。310 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第二节第二节第二节第二节 有限单元法的概念有限

215、单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念 整体分析： 建立结点平衡方程组，求解各结点 的位移。2.应用结构力学方法求解离散化结构, 对单元进行分析：求出 （1）单元的位移模式， （2）单元的应变和应力列阵， （3）单元的结点力列阵， （4）单元的结点荷载列阵。1. 将连续体变换为离散化结构。归纳起来，FEMFEM分析的主要内容分析的主要内容：311 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第二节第二节第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的概念 思考题1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连续

216、体来分析的。试考虑后者在用结构力学方法求解时，将会遇到什么困难？2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单元形状，如四边形单元？ 312 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性FEM是取结点位移 为基本未知数的。但其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公式求应变、应力时，必须首先解决：如何由单元的结点位移 来求出单元的位移函数 应用插值公式，可由 求出位移d。这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为位移模式位移模式。3

217、13 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性位移假设位移假设： 设各点的位移，即位移场为设各点的位移，即位移场为其中其中为待定系数，由为待定系数，由节点坐标和节点位移节点坐标和节点位移确定。确定。u位移模式位移模式单元内各点位移的变化规律单元内各点位移的变化规律(a)314 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛

218、性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性将位移写成矩阵形式将位移写成矩阵形式：在节点上满足：在节点上满足：315 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性写成矩阵形式写成矩阵形式：解线性代数方程组，得解线性代数方程组，得得(b)316 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的

219、收敛性单元的位移模式与解答的收敛性N 称为形（态）函数矩阵。(c)317 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性 A为三角形 的面积（图示坐标系中， 按逆时针编号），其中318 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性. .形函数的性质形函数的性质. .若若

220、则则319 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性 三结点三角形单元的位移模式，略去了二次以上的项，因而其误差量级是 且其中只包含了 的一次项，所以在单元中 的分布如图（a）所示， 的分布如图 所示。 (a)(b)(c)图 6-51320 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的

221、位移模式与解答的收敛性 FEM中以后的一系列工作，都是以位移模为基础的。所以当单元趋于很小时，即 时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了 保证保证FEMFEM收敛性收敛性, ,位移模式应满足下列位移模式应满足下列条件：条件： 321 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。 （2）位移模式必须能反映单元的常量应变。 因为当单元 时，单元中的位移和应 变都趋近于基本量刚体位移和常量 位移。

222、322 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性可见刚体位移项在式（a）中均已反映。与刚体位移相比，将式（a）写成323 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。 在三角形单元内部

223、，位移为连续； 在两单元边界ij 上， 之间均为线 性变化，也为连续。对式（a）求应变，得可见常量应变也已反映。324 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元边界上单元边界上, ,形函数的值只与该边界的两个结点形函数的值只与该边界的两个结点的坐标有关的坐标有关, ,与另一结点坐标无关与另一结点坐标无关. .以以i、j边为例：边为例：i、j边的直线方程为边的直线方程为由此性质可知：单元间的位移是协调的。由此性质可知：单元间

224、的位移是协调的。在在i、j边上边上2 21 1325 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性为了保证FEM的收敛性，（1）和（2）是必要条件，而加上（3）就为充分条件。326 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第三节第三节第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性 思考题1. 应用泰勒级数公式来选取位移模

225、式，为什么必须从低次项开始选取？2. 试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能进行了。 327 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第四节第四节第四节第四节 单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵其中，单元中的位移函数单元中的位移函数已用位移模式表示为328 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第四节第四节第四节第四节 单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应

226、力列阵单元的应变列阵和应力列阵 应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：329 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第四节第四节第四节第四节 单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵S称为应力转换矩阵应力转换矩阵，写成分块形式为再应用物理方程，求出单元的应力列阵：B 称为应变矩阵应变矩阵，用分块矩阵表示，330 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第四节第四节第四节第四节 单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵 对

227、于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）单元。应变和应力的误差量级是 其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。 331 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第四节第四节第四节第四节 单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵思考题1.如果在位移模式中取到泰勒级数中的二次幂项，略去 高阶小量，试考虑位移、应变和应力的误差量级。 332 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的

228、节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵 现在来考虑其中一个单元：图 6-7 在FEM中，首先将连续体变换为离散化连续体变换为离散化结构的模型结构的模型。333 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵（2）单元与周围的单元在边界上已没有联 系，只在结点 互相联系。（1）将作用于单元上的各种外荷载，按静 力等效原则移置到结点上去，化为等 效结点荷载。故单元内已没有外荷载。334 2006.Wei Yua

229、n. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵假想将单元与结点i 切开，则 其数值与 相同，而方向相反。以沿正坐标向为正。对单元而言，这是作 用于单元上的外力。 单元作用于结点的力单元作用于结点的力，为 结点作用于单元上的力结点作用于单元上的力，称为结点力结点力，335 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲

230、度矩阵按虚功方程，在虚位移上，外力的虚功等于外力的虚功等于 应力的虚功应力的虚功。而其内部有应力作用， 考察已与结点切开后的单元 ，则此单元上作用有外力结点力 ，应用虚功方程，求单元的结点力：336 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵 假设发生一组结点虚位移 则单元内任一点（x,y）的虚位移为单元内任一点（x,y）的虚应变为代入虚功方程：在单元中，外力（结点力 ）在虚位移（结点虚位移 ）上的虚功，等于应力 在虚应变 上的虚功，即

231、 337 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵式(b)是由应力求结点力的一般公式。因为 是独立的任意的虚位移，虚功方程对任意的 均应满足， 得出其中 与 无关，故式(a) 成为代入 (b)338 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵式（c）是由结点位移求结点力的一般公

232、式，k k 称为单元的劲度矩阵其中再将应力公式代入上式，得339 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵对于三角形单元，B矩阵内均为常数， 有代入B，D，得出k如书中（6-37）及（6-38）所示。340 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵（1） 是66的方阵， 中每

233、一个元素都表示发生单元结点位移时所引起的结点力。（2）由反力互等定理， 所以 是对称矩阵，以对角线为对称轴。单元劲度矩阵单元劲度矩阵k k的性质的性质：（3）当单元作刚体平移时，如 ui=uj=um=1，三角形内不产生应力和应变，结点力也为0。341 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵（4）由（3）可导出行列式| |=0。（5） 的元素与 单元的形状和方位等 有关，但与单元的大小和刚体的平动及 作 度转动无关。 因此, 中每一行

234、（或列）的元素之和为零（其中第一、三、五元素之和或二、四、六元素之和也为0）。342 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵例：如图所示为一平面应力状态的直角三角形单元，例：如图所示为一平面应力状态的直角三角形单元，试求（试求（a）形状函数矩阵）形状函数矩阵;（b）应变矩阵）应变矩阵B;（c）应力矩阵应力矩阵S（d）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵 。yxjbam(0,0)i(a,0)（0,b)343 2006.Wei Yuan. All

235、 rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵解解（a）（b）应变矩阵）应变矩阵B344 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵345 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元

236、的节点力列阵与劲度矩阵（C）应力矩阵）应力矩阵S式中式中S=DB346 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵347 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵由于由于所以所以（d）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵348 2006.Wei Yuan. All rights rese

237、rved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵349 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第五节第五节第五节第五节 单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵单元的节点力列阵与劲度矩阵 从例题中可以看出，将单元边界上的应力向结点移置，化为作用于结点上的力，正好就是结点力。在FEM中，单元边界之间的联系和相互作用力，都向结点简化，归结成为结点的铰结和结点力。 思考题试求出书中例题的位移模式。350 2006.Wei Yuan. A

238、ll rights reserved. 第六节第六节第六节第六节 等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载在FEM中，与结力相似，须将作用于单元中的外荷载向结点移置，化为等效结点荷载等效结点荷载，351 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第六节第六节第六节第六节 等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载（2）变形体静力等效原则在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。 刚体静力等效原则只从运动效应来考虑，得出移置荷载不是唯一的解；变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模式下，其结果是唯一的，且也满足了前者条件的。 在FEM中

239、，采用变形体的静力等效原则。 1. 移置原则移置原则（1）刚体静力等效原则使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也相同。352 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第六节第六节第六节第六节 等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载 2. 集中力的移置公式集中力的移置公式 原荷载 作用于单元中任一点 为单位厚度上的作用力；移置荷载 作用于结点 假设发生一组结点虚位移 ，则 点的虚位移为 使移置荷载的虚功等于原荷载的虚功： 353 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第六节第六节第六节第六节 等效节点荷载等效节点

240、荷载等效节点荷载等效节点荷载 对于任意的虚位移 ，虚功方程都必须满足，得 3. 单元边界单元边界 上面力上面力 的移置公式的移置公式 应用式 ，将 代之为 并在边界 上积分，得 354 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第六节第六节第六节第六节 等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载 应用式 ，将 代之为 并对单元域A积分，得 当位移模式为线性函数时，由虚功方程得出的移置荷载，与按刚体静力等效原则得出的结点荷载相同。4. 单元内体力单元内体力 的移置公式的移置公式 355 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第

241、六节第六节第六节第六节 等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载（1）y方向的重力方向的重力W(2)Ij边承受边承受x方向的均布面力方向的均布面力q(3)Jm边承受边承受x方向的线性分布方向的线性分布u线性位移模式下的载荷移置线性位移模式下的载荷移置356 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第六节第六节第六节第六节 等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载y0ximjlqjlmqiy0xs357 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第六节第六节第六节第六节 等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载等效节点荷载

242、思考题思考题当单元采用线性位移模式时，试列出图所示个单元的等效节点荷载列阵当单元采用线性位移模式时，试列出图所示个单元的等效节点荷载列阵xyimjPL/2L/2iijmqL/2L/2ijmxq1q2Lijmy358 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析在单元分析中，从单元的结点位移在单元分析中，从单元的结点位移求位移分布求位移分布求应变求应变求应力求应力求结点力，为求结点力，为单元的内力单元的内力分析分析；外荷载移置到结点荷载，为；外荷载移置到结点荷载，为单元的外力单元的外力分

243、析分析。下面考虑下面考虑整体分析整体分析。假设将结点假设将结点i与周围的单元切开，则围绕与周围的单元切开，则围绕i结点的结点的每个单元，每个单元， 对对i 结点有结点力结点有结点力( ( ）的）的作用作用, 也有外荷载移置的结点荷载（也有外荷载移置的结点荷载（ ）的）的作用。作用。359 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析例1 列出图示结构i 结点的平衡条件。360 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分

244、析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析 i i 结点的平衡条件结点的平衡条件为 其中 是对围绕i 结点的单元求和。 对某一个单元 ，361 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析代入式代入式 ，可表示为，可表示为 在式在式 中，中， 是单元内部的结点编号是单元内部的结点编号， 称为称为局部编号；局部编号； 是整体结构的结点编号是整体结构的结点编号，称为称为整体编号整体编号。 将式将式 按整体结点编号排列，得按整体结点编号排列，得整个结整个结构的平衡方程组。构的平衡方程组。

245、362 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析其中 整体结点位移列阵， 整体结点荷载列阵， 整体劲度矩阵， 中元素 是相同整体编号的单元劲度矩阵元素 叠加而成。 考虑结构的约束条件后，从式 求出 ，就可以求出各单元的位移和应力。363 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析位移边界条件的处理位移边界条件的处理边界约束情况边界约束情况（1 1）基础支承结构）基础支承结

246、构（2 2）具有对称轴的结构）具有对称轴的结构（3 3）具有给定位移边界的结构）具有给定位移边界的结构364 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析一、对角元素改一、对角元素改1法法依自由度展开依自由度展开365 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析366 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体

247、分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析二、乘大数法二、乘大数法367 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析三、降阶法三、降阶法已知的节点位移向量已知的节点位移向量368 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析例2p1m2m原结构原结构自有端受均布力作用的悬臂梁，梁厚自有端受均布力作用的悬臂梁，梁厚369 2006.Wei Yuan. All rights

248、reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析y0xjmi1单元内部编号单元内部编号y0xjmi2单元内部编号单元内部编号P/2x离散体系整体编号离散体系整体编号1234yP/2370 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析单元单元局部结点编号局部结点编号整整体体结结点点编编号号一、划分单元并准备原始数据一、划分单元并准备原始数据ijm312134结点坐标为结点坐标为结点结点坐标坐标坐坐标标值值xy1234002021013

249、71 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析二、计算单元刚度矩阵二、计算单元刚度矩阵单元单元：单元单元：（3） （1）（1） （3）（2） （4）（2）（4）（1）（3）（1）（3）整体编号整体编号372 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析三、集成整体刚度矩阵三、集成整体刚度矩阵（3）（1）（2）（3）（4）（2）（1）（4）整体编号整体编号373 2006.W

250、ei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析（1）（2）（3）（4）（2）（1）（3）（4）整体编号整体编号374 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析375 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析四、处理荷载，生成整体刚度方程四、处理荷载，生成整体刚度方程整体结点载

251、荷列阵整体结点载荷列阵376 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析对称整体刚度方程整体刚度方程377 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析五、引进位移边界条件求解节点位移五、引进位移边界条件求解节点位移378 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析

252、六、应力计算六、应力计算P/2x1234yP/2379 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第七节第七节第七节第七节 结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析结构的整体分析380 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第八节第八节第八节第八节 解题的具体步骤解题的具体步骤解题的具体步骤解题的具体步骤 单元的划分单元的划分单元的划分单元的划分 有限单元法的具体计算步骤有限单元法的具体计算步骤，主要是，主要是 1、划分单元网格，对单元和结点编号。、划分单元网格，对单元和结点编号。 2、选定直角坐标系，按程序要求填写选定直角坐标

253、系，按程序要求填写和输入有关信息。读者须要注意：直角坐标和输入有关信息。读者须要注意：直角坐标系应与书中规定的方向一致，单元内的系应与书中规定的方向一致，单元内的ijm的的局部编局部编号应按书中规定的右手规则编号。号应按书中规定的右手规则编号。381 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第八节第八节第八节第八节 解题的具体步骤解题的具体步骤解题的具体步骤解题的具体步骤 单元的划分单元的划分单元的划分单元的划分否则会使三角形的面积出现负号等问题。否则会使三角形的面积出现负号等问题。3、使用已编好的程序进行上机计算。事先须、使用已编好的程序进行上机计算。事先须将

254、有限单元法的公式，计算方法和步骤都将有限单元法的公式，计算方法和步骤都编入程序。编入程序。4、对成果进行整理、分析。对成果进行整理、分析。 对第对第1 1和第和第4 4步的工作，也尽可能让计算机步的工作，也尽可能让计算机执行，以减少人工的工作量。如自动划分执行，以减少人工的工作量。如自动划分网格，整理成果等网格，整理成果等。 382 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第八节第八节第八节第八节 解题的具体步骤解题的具体步骤解题的具体步骤解题的具体步骤 单元的划分单元的划分单元的划分单元的划分 关于关于单元的划分：注意几点单元的划分：注意几点, ,（1 1）单

255、元大小问题）单元大小问题（2 2）单元在不同部位的合理布置问题）单元在不同部位的合理布置问题（3 3）三角形三个内角最好较接近）三角形三个内角最好较接近（4 4）利用对称性和反对称性）利用对称性和反对称性（5 5）厚度突变之处和材料不同之处）厚度突变之处和材料不同之处（6 6）载荷作用（集中力或突变分布载荷）处）载荷作用（集中力或突变分布载荷）处（7 7）水利闸坝工程问题）水利闸坝工程问题（8 8）结构具有凹槽或孔洞等应力集中处等。结构具有凹槽或孔洞等应力集中处等。383 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第九节第九节第九节第九节 计算成果的整理计算成果的

256、整理计算成果的整理计算成果的整理 对于结点位移的成果，可以直接采用。对于结点位移的成果，可以直接采用。 三结点三角形单元的应力的成果，由三结点三角形单元的应力的成果，由于采用的是线性位移模式，不但应力的精度于采用的是线性位移模式，不但应力的精度 在有限单元法中，位移的精度较高，其在有限单元法中，位移的精度较高，其误差量级是，即与单元尺度的二次幂误差量级是，即与单元尺度的二次幂成正比。应力的误差量级是，即与单成正比。应力的误差量级是，即与单元的大小成正比。元的大小成正比。 384 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第九节第九节第九节第九节 计算成果的整理计算

257、成果的整理计算成果的整理计算成果的整理 较低，而且还产生了所谓应力的波动性应力的波动性。即在相邻的两单元中，如果一个单元的应力比真解低，则相邻单元的应力会比真解高，如图。 图 6-9385 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第九节第九节第九节第九节 计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理 应力的波动性在三结点三角形单元中较为显着。原因是，由于计算出的应力的精度较低。假设单元的应力成果为 ，其中 为真解，为误差。则由于在i，j结点都列出了平衡方程并令其满足，从而使相邻的单元的应力趋近于。这就产生了应力的波动性。 386 2006.Wei Y

258、uan. All rights reserved. 第九节第九节第九节第九节 计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理 为了提高应力的精度，解决应力波动性问题，可以采用两种应力成果的整理方法： 一般地讲，两相邻单元平均法的精度较好，因为它涉及的区域范围较小。（1）两相邻单元平均法。（2）绕结点平均法。387 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第九节第九节第九节第九节 计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理1、两单元平均法、两单元平均法0 0132ABCDEF（1）以相邻单元应力的平均值作为其边中点的应力）以相邻单元应力的平

259、均值作为其边中点的应力（2）用外插值法求边界单元中点的应力）用外插值法求边界单元中点的应力388 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第九节第九节第九节第九节 计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理2、绕节点平均法、绕节点平均法01234ABECFD边界线边界线内节点：表征性较好内节点：表征性较好边界点：宜用外差值公式边界点：宜用外差值公式每一单元均是常应力，相邻单元应力阶梯状变化每一单元均是常应力，相邻单元应力阶梯状变化389 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第九节第九节第九节第九节 计算成果的整理

260、计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理xy0123390 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第九节第九节第九节第九节 计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理此外，在受面力边界线附近，由于应用了静力等效原理将面力简化为结点荷载，因而得出的应力误差较大。可采用向外插值的方法（例抛物线插值）来解决。 391 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第九节第九节第九节第九节 计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理计算成果的整理 为了提高应力的精度，可以采用两种方为了提高应力的精度，可以采用两种方法。法。一是

261、加密网格一是加密网格，减少单元的尺寸，以，减少单元的尺寸，以提高应力的精度。提高应力的精度。二是可以采用较多结点二是可以采用较多结点的单元的单元，并使位移模式中包含一些高幂次并使位移模式中包含一些高幂次的项，从而提高位移和应力的精度。一般的项，从而提高位移和应力的精度。一般在位移模式中若包含较高次幂的项，不但在位移模式中若包含较高次幂的项，不但可使位移和应力的精度提高，而且应力的可使位移和应力的精度提高，而且应力的波动性和边界应力的精度低等问题也可得波动性和边界应力的精度低等问题也可得到改善。到改善。 392 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第十节第十节

262、第十节第十节 计算实例计算实例计算实例计算实例 1. 楔形体受自重及齐顶水压力。楔形体受自重及齐顶水压力。 2. 简支梁受均布荷载。简支梁受均布荷载。 3. 圆孔附近的应力集中圆孔附近的应力集中。 书中应用三结点三角形单元，计算了书中应用三结点三角形单元，计算了下列例题：下列例题：393 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第十节第十节第十节第十节 计算实例计算实例计算实例计算实例（2）边界面的应力边界面的应力,应采用向外插值的方法应采用向外插值的方法 求出。求出。 在整理应力成果时，读者应注意，在整理应力成果时，读者应注意，应用三角形单元时，应用三角形单元

263、时，（1）采用两单元平均法和绕结点平均法的）采用两单元平均法和绕结点平均法的 应力成果比较接近，但前者的精度略应力成果比较接近，但前者的精度略 好于后者。好于后者。394 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第十一节第十一节第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程 在在FEMFEM中，将连续体变换为离散化结中，将连续体变换为离散化结构之后，有构之后，有两种导出两种导出FEMFEM公式的主要方公式的主要方法法： 395 2006.Wei Yuan.

264、 All rights reserved. 第十一节第十一节第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程（2）建立单元的位移模式，求出单元中的 位移分布，1.按结力方法导出按结力方法导出FEMFEM公式公式（1）取结点位移为基本未知数；（3）由几何方程求出单元的应变，（4）由物理方程求出单元的应力，396 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第十一节第十一节第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分

265、原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程（5）由虚功方程求出单元的结点力，（6）由虚功方程求出单元的结点荷载 ，（7）建立结点平衡方程组，397 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第十一节第十一节第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程（1）变分原理中的极小势能原理是2. 按变分法导出按变分法导出FEMFEM公式公式 保留上述（1）-（4）步骤，然后应用极小势能原理导出FEM基本方程。对于平面问题，398 2006.Wei

266、Yuan. All rights reserved. 第十一节第十一节第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程对于连续体,变分的宗量是位移函数 变分方程 可表示为总势能 对 的导数等于0，即399 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第十一节第十一节第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程变分宗量由 变换成（2）将经典变分原理应用到离

267、散化结构，则总势能、形变势能和外力势能，可以用单元的势能之和来表示400 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第十一节第十一节第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程其中 为三角形单元的面积。应用前面记号,内力势能为401 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第十一节第十一节第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有

268、限单元法基本方程外力势能为 总势能为其中 为三角形单元的受面力边界。引用前面记号402 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第十一节第十一节第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程故总势能极小值条件 变换为（3）对于离散化结构，泛函数 的宗量变 换为 则式(n) 成为引用矩阵运算公式，403 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第十一节第十一节第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出

269、有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程 其中404 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第十一节第十一节第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程 代入式(o) ，得出与结力方法导出的相同方程， 从物理意义上讲，将连续体的经典变分原 理(g) 或 (i) 应用到离散化结构，成为式(p) 。405 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第十一节第十一节第十一节第十一节

270、应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程应用变分原理导出有限单元法基本方程 比较物理意义：比较物理意义：式式( (g g) )表示表示总势能的整体极值条件总势能的整体极值条件; ;式式( (p p) )表示表示总势能在所有结点处的极值条件总势能在所有结点处的极值条件。 凡是与微分方程对应的变分原理存在凡是与微分方程对应的变分原理存在的任何问题，均可应用变分法导出的任何问题，均可应用变分法导出FEMFEM。406 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 习题课习题课习题课习题课例题1 平面问题中采用的四

271、结点矩阵单元，如图所示。该单元的结点位移列阵是 ba407 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 习题课习题课习题课习题课采用的位移模式是其中的系数 ,由四个结点处的位移值,应等于结点位移值 的条件求出。ab408 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 习题课习题课习题课习题课读者试检查其收敛性条件是否满足？并估计位移和应力的误差量级。409 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 习题课习题课习题课习题课 例题2 平面问题中采用的六结点三角形单元，如图所示。 该单元的结点位移列阵为 其位移模式

272、取为 410 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 习题课习题课习题课习题课 可以相似地表示。然后由六个结点处的条件求出 读者试检查其位移模式的收敛性，并估计其位移和应力的误差量级。411 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 习题课习题课习题课习题课 例题3 在空间问题中，采用的最简单的单元，是如图所示的四结点四面体单元，其位移模式是412 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 习题课习题课习题课习题课试考虑如何求出其系数 并检查位移模式的收敛性条件,并估计其位移和应力的误差量级。413 2

273、006.Wei Yuan. All rights reserved. 习题课习题课习题课习题课 例题4 图（a）所示的深梁，在跨中受集中力F的作用，若取 试用有限单元法求解跨中的位移。414 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 习题课习题课习题课习题课415 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 习题课习题课习题课习题课解： 1.将图 划分网格，化为离散化结构，如图（b）所示。由于结构具有对称性，可取 1/2 部分进行分析，如 所示。（a）图（c）416 2006.Wei Yuan. All rights reserved.

274、 习题课习题课习题课习题课 2. 中，只有两个未知结点位移 其余的结点位移均为零。 未知的结点位移列阵是 对应的结点荷载列阵是 3.下面我们直接来建立对应于未知结点 位移的平衡方程式，图（c）417 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 习题课习题课习题课习题课 4.对于三角形单元，按照结点的局部编号 结点力一般公式是418 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 习题课习题课习题课习题课当 且结点的局部编号如图 时，单元 的单元劲度矩阵均如书中 所示。 对于 单元，结点的局部编号与整体编号的关系是 将书中 的k和结点编号代入式

275、 ，有419 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 当 且结点的局部编号如图 时，单元 的单元劲度矩阵均如书中 所示。 对于 单元，结点的局部编号与整体编号的关系是 将书中 的k和结点编号代入式 ，有习题课习题课习题课习题课420 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 其中 由上式，得出 I单元中 不存在，而习题课习题课习题课习题课421 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 对于 单元，结点的局部编号与整体编号 的关系是 。再将书中 的k代入式（c），得习题课习题课习题课习题课422 200

276、6.Wei Yuan. All rights reserved. 其中 由上式，可得 单元 的结点力 5.将各单元的结点力代入式 得 从上两式解出结点位移值，习题课习题课习题课习题课423 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 显然，位移习题课习题课习题课习题课424 2006.Wei Yuan. All rights reserved. （一）本章的学习重点及要求有限单元法的两种主要导出方法： (1)结构力学方法结构力学方法首先将结构离散化，把连续体变换为离散化结构，再应用结构力学方法求解。这种导出方法，采用了工程技术人员熟悉的结构力学方法，它的物理概念清晰

277、，易为工程技术人员理解和接受。故在书中主要用这种方式导出有限单元法。本章小结本章小结本章小结本章小结425 2006.Wei Yuan. All rights reserved. (2)变分方法变分方法同样将连续体化为离散结构，再将连续体中的变分原理推广应用到离散化结构，从而导出有限单元法。这种导出方法是连续体上的经典变分法的推广，导出方法简单，应用也非常广泛。有限单元法的多数文献是采用变分方法导出的。除此之外，加权余量法等也可以导出有限单元法。本章小结本章小结本章小结本章小结426 2006.Wei Yuan. All rights reserved. （二）本章内容提要 1.有限单元法是2

278、0世纪中期发展起来的弹性力学数值解法。它是解决各种力学问题和进行结构分析的非常有效的数值方法，具有极大的通用性和灵活性，可以编制通用程序上机进行计算，能够解决各种复杂工程问题的分析并达到所需的精度。 本章小结本章小结本章小结本章小结427 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.弹性力学中的有限单元法，是将连续体变换为离散化结构，然后应用结构力学方法求解，或者应用变分法求解。本章小结本章小结本章小结本章小结428 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3.有限单元法中的公式，可以用统一的形式表示： 单元的位移模式 单元的应变

279、列阵 单元的应力列阵 单元的结点力列阵 本章小结本章小结本章小结本章小结429 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 单元的结点荷载列阵 结点平衡方程组对于各种问题和各种单元，都可以用上述公式表示，只是各矩阵中的具体元素不同而已。本章小结本章小结本章小结本章小结430 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4.位移模式表示单元中的位移分布形式。它是应用插值公式，由结点位移值，求出单元中的位移函数表达式。 为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式必须满足下列条件：（1）必须反映单元的刚体位移； （2）必须反映单元的常量应变； （

280、3）尽可能反映位移的连续性。本章小结本章小结本章小结本章小结431 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 5.单元中的应变列阵和应力列阵，可以根据单元中的位移函数（位移模式），分别应用几何方程和物理方程求出。6.单元中的结点力列阵，是内力向结点简化的结果；单元中的结点荷载列阵，是外力向结点简化的结果。它们都可以应用虚功方程导出。 本章小结本章小结本章小结本章小结432 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 7.应用结构力学方法导出有限单元法的基本方程时，结点的平衡方程组 表示离散化结构中，各结点的平衡条件。应用变分方法导出有限

281、单元法的基本方程时，式 表示弹性体总势能在各结点处的极小值条件。本章小结本章小结本章小结本章小结433 2006.Wei Yuan. All rights reserved. （三）FEM的说明1.有限单元法可以应用于各种弹性结构的问题，如 杆系结构桁架，刚架，梁等，常采用 两铰接 点杆件单元，两刚结点杆件单元梁单元等。平面问题平面应力问题和平面应变问题，常采用三结点三角形单元，六结点三角形单元，四结点矩形单元，平面等参数单元等。本章小结本章小结本章小结本章小结434 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 空间问题空间体问题，常采用四结点四 面体单元，八结点六面体单元，空间等参数单元等。 薄板弯曲问题采用板单元。 薄壳问题采用壳体单元。 组合结构综合采用 上述各种单元， 对组合结构进行分析。本章小结本章小结本章小结本章小结435 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.有限单元法可以应用于各种非线性力学问题，如物理非线性问题（弹塑性问题等），几何非线性问题（大挠度问题等），接触非线性问题，土力学和岩石力学等问题。 3.在国内外，已经有许多通用的有限单元法程序，可供分析结构时使用。本章小结本章小结本章小结本章小结436