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1、第十一十一章坐标平面上的直线11.3.311.3.3两条直线的位置关系两条直线的位置关系11.5.111.5.1坐标平面上的直线拓展坐标平面上的直线拓展直线系方程直线系方程一、直线系与直线系方程一、直线系与直线系方程含有某种共同属性的一类直线的集合，称为含有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系所有直线的方程的一般形式称为直线系所有直线的方程的一般形式称为直线系直线系. 直线系方程直线系方程.平行系平行系共点系共点系二、平行系方程二、平行系方程已知直线已知直线1.平行于该直线的直线系平行于该直线的直线系2.垂直于该直线的直线系垂直于该直线的直线系方程：方程：方程：方程：其中其中m叫作参变量叫
2、作参变量(参数参数)三、共点系方程三、共点系方程1.过定点过定点 的直线系的直线系2.过直线过直线方程：方程：(不含直线不含直线 )与直线与直线交点交点的直线系方程：的直线系方程：(不含直线不含直线 )例例1.求与直线求与直线 垂直，且与坐标轴垂直，且与坐标轴围成的三角形周长为围成的三角形周长为24的直线的方程的直线的方程.解：设所求直线方程为解：设所求直线方程为则其与坐标轴交于点则其与坐标轴交于点根据条件：根据条件：解得解得，因此所求直线方程为：，因此所求直线方程为：或或例例2. 求经过两直线：求经过两直线：平行的直线方程平行的直线方程.的交点，且与的交点，且与分析分析：常规的构造性解法是求
3、出：常规的构造性解法是求出 的交点的交点.解法一解法一：利用过交点的直线系方程，设所求直线：利用过交点的直线系方程，设所求直线方程为方程为整理得整理得平行于直线平行于直线 ，解得，解得所求直线方程为所求直线方程为例例2. 求经过两直线：求经过两直线：平行的直线方程平行的直线方程.的交点，且与的交点，且与解法二解法二：利用平行系方程，设所求直线方程为：利用平行系方程，设所求直线方程为两两相交且三线共点：两两相交且三线共点：解得解得 ，故所求方程为，故所求方程为例例3.直线直线恒过定点，求该定点的坐标恒过定点，求该定点的坐标.解：解： 整理得整理得，直线恒过定点，直线恒过定点上式表示过直线上式表示
4、过直线与直线与直线交点的直线系方程交点的直线系方程.因此联立直线方程因此联立直线方程解得解得解法二：取解法二：取 取取，解得，解得，解得，解得直线直线交于点交于点因此原直线恒过定点因此原直线恒过定点例例3.直线直线恒过定点，求该定点的坐标恒过定点，求该定点的坐标.课堂练习课堂练习2.求经过直线求经过直线1.求与直线求与直线 平行且过点平行且过点 的的直线方程直线方程.与与交点且与交点且与 轴平行的直线方程轴平行的直线方程.3.已知已知的顶点的顶点边上的高所边上的高所在直线方程分别为在直线方程分别为求求边上的高所在直线的方程边上的高所在直线的方程.课堂练习答案课堂练习答案1.2. 解：设方程为解
5、：设方程为3. 解：解：三边上的高交于垂心，三边上的高交于垂心， 故设所求方程为：故设所求方程为：该直线过点该直线过点 ，解得，解得所求方程为所求方程为整理为整理为根据题意有根据题意有 ，所求直线方程为，所求直线方程为课外阅读材料课外阅读材料过定直线交点的直线系方程过定直线交点的直线系方程直线直线与与设其交点为设其交点为则定直线的点法向式方程为：则定直线的点法向式方程为：已知任意过点已知任意过点相交，相交，的直线的点法向式方程为：的直线的点法向式方程为：现证明现证明 的方程可以写为：的方程可以写为：基本定理，存在基本定理，存在 使得使得代入代入中，整理得：中，整理得：即直线即直线l 的方程可以
6、表示为：的方程可以表示为：课外阅读材料课外阅读材料过定直线交点的直线系方程过定直线交点的直线系方程证：三条直线的法向量分别为证：三条直线的法向量分别为显然显然 不平行，取其为基底，则根据平面向量不平行，取其为基底，则根据平面向量即即证毕证毕直觉小游戏的方程，如何求直线的方程，如何求直线 分线段分线段 的比？的比？如图，已知定点如图，已知定点 及直线及直线测下你的思维是测下你的思维是构造性构造性的还是的还是非构造性非构造性的的？如图，已知定点如图，已知定点 及直线及直线构造性构造性解法：先求直线解法：先求直线 与直线与直线 的交点的交点 坐标坐标.非构造性非构造性解法：先设分点解法：先设分点再把坐标代入直线再把坐标代入直线 的方程中的方程中.再计算再计算测下你的思维是测下你的思维是构造性构造性的还是的还是非构造性非构造性的的？的方程，如何求直线的方程，如何求直线 分线段分线段 的比？的比？直觉小游戏
