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1、第五章 剛體運動當我們不再考慮物體為一質點，而是一當我們不再考慮物體為一質點，而是一有限大小的實體時，以粒子為考量中心有限大小的實體時，以粒子為考量中心所推論出的運動定律將不再足以描述此所推論出的運動定律將不再足以描述此物體的運動狀態與變化。物體的運動狀態與變化。不一樣的運動不一樣的運動 轉動轉動每點的位移每點的位移都不一樣都不一樣?每點的速度每點的速度也都不一樣也都不一樣連每點的加速連每點的加速度都是不一樣度都是不一樣?During a rotation What could be the same? The angular displacement- New Displacement Va
2、riable q qq q從不同角度去探討轉動運動從不同角度去探討轉動運動在此我們只考慮不會變形的物體，也就在此我們只考慮不會變形的物體，也就是說，物體內任意兩點間的距離保持一是說，物體內任意兩點間的距離保持一定，我們稱具有此特性的物體為剛體。定，我們稱具有此特性的物體為剛體。S = r q q r=常數常數Srq qq q = 角位移角位移 Angular Displacement轉動動力學中的新參數轉動動力學中的新參數I若已給出質點的運動軌跡，則可採用弧座標若已給出質點的運動軌跡，則可採用弧座標S來來確定質點位置。若確定質點位置。若S為為運動軌道上一固定點運動軌道上一固定點P Po o到到
3、質點質點P P的弧長（軌道長度），則的弧長（軌道長度），則S將因質點的運動將因質點的運動而隨時間改變而隨時間改變S=S(t)質點的位置向量可視為質點的位置向量可視為S的函數的函數r=rt(s)=r(s)在純轉動運動中，質點的位置向量為在純轉動運動中，質點的位置向量為單位單位：rad（弧度）弧度） 旋轉旋轉出來的弧長除以旋轉半徑，出來的弧長除以旋轉半徑，即即 q q(t)q q(t)=s(t)/r轉一圈轉一圈=1rev=360=2p pr/r rad=2p p rad旋轉旋轉n(2p p) rad回到原角位置回到原角位置(Angular Position)旋轉軸方向旋轉角度為正方向角位移角位移（
4、Angular Displacement）轉動動力學中的新參數轉動動力學中的新參數II位移對時間的一次微分為速度，所以有位移對時間的一次微分為速度，所以有而向量而向量為質點運動沿為質點運動沿S S增加方向的增加方向的切線單位向量，切線單位向量，為為位置（時間）的函數。位置（時間）的函數。其中其中為位移大小為位移大小w w= 角速度角速度 dq q /dt 單位單位 ：rad/s角速度角速度(Angular Velocity) )在純轉動運動中，質點的在純轉動運動中，質點的速度為速度為其方向以右手來定義（如上圖）其方向以右手來定義（如上圖）轉動動力學中的新參數轉動動力學中的新參數III速度對時間
5、的一次微分為加速度速度對時間的一次微分為加速度r r為曲率半徑為曲率半徑n n為法線向量為法線向量等式中第一項為切線加速度，第二項為法線加等式中第一項為切線加速度，第二項為法線加速度。其中速度。其中以純轉動運動為例以純轉動運動為例r = r = ds/dq q=d(rq q)/dq q=r 切線加速度為切線加速度為法線加速度為法線加速度為角加速度角加速度(Angular Acceleration) )轉動運動中的運動方程轉動運動中的運動方程（一）（二）（三）在純轉動運動中，我們找到了相對於線性運動中位移、在純轉動運動中，我們找到了相對於線性運動中位移、速度與加速度的新參數。由於之間的對應關係一
6、樣，速度與加速度的新參數。由於之間的對應關係一樣，故於線性運動中所導出的運動學方程，也應相對的存故於線性運動中所導出的運動學方程，也應相對的存在於純轉動運動的新參數之中。在於純轉動運動的新參數之中。Example: CD PlayerOn a compact Disc, audio information is stored in a series of pits and flat areas on the surface of the disc that represent ones and zeros. The length of each one or zero is the same
7、everywhere on the disc, and we wish that they pass the laser-lens system in same time period. Find the angular speed of the disc when information is been read from (a) the innermost first track (b) the outermost final track (In typical CD player, the information passes by the laser-lens system in a
8、constant speed of 1.3 m/s)The innermost first trackThe outermost final trackExample: CD Player (continue)The maximum playing time of a standard music CD is 74 minutes and 33 seconds. How many revolutions does the disc make during that times?Assuming the angular velocity is decreasing steadilyThe ang
9、ular accelerationWhats the total length of track moves past the objective lens during this time?Example: 離心機離心機為訓練太空人能夠忍受發射脫離地球引力範圍時為訓練太空人能夠忍受發射脫離地球引力範圍時所需承受的加速度，太空人訓練中心多以離心機所需承受的加速度，太空人訓練中心多以離心機來模擬。若離心機中太空人訓練位置距旋轉中心來模擬。若離心機中太空人訓練位置距旋轉中心15公尺，（一）需多大的角速度方能使太空人感公尺，（一）需多大的角速度方能使太空人感受到約受到約11倍的重力加速度？倍的重力加
10、速度？訓練時為等速運轉，故太空人所感受到的為法訓練時為等速運轉，故太空人所感受到的為法線加速度線加速度Example: 離心機離心機 （續）（續）（二）在此狀況下，於訓練艙中之太空人的線性（二）在此狀況下，於訓練艙中之太空人的線性速度約為多少？速度約為多少？線性速度與角速度的關係為線性速度與角速度的關係為（三）若此訓練機於兩分鐘的時間內，等加速的（三）若此訓練機於兩分鐘的時間內，等加速的由靜止到（一）中結果的速度，問其切線加速度由靜止到（一）中結果的速度，問其切線加速度約為多少？約為多少？切線加速度為切線加速度為h線性運動的動能形式為線性運動的動能形式為 mv2/2而而物體的總動能為各個質點動
11、能的物體的總動能為各個質點動能的線性相加總和線性相加總和所以所以 Ki = miv2/2 K = Ki = miv2/2 = mir2w w2/2一新的物理量於轉動運動中扮演著線性運動中一新的物理量於轉動運動中扮演著線性運動中質量的角色質量的角色 Moment of InertiaI = mir2 = r2dm將之表達成轉動運動的參數形式可得將之表達成轉動運動的參數形式可得K = mir2 w w2/2 = I w w2/2 與線性動能的形式相比較與線性動能的形式相比較 mv2/2轉動運動的動能轉動運動的動能Example: Flywheel利用現代科技技術，我們能夠建造一先將能量利用現代科技
12、技術，我們能夠建造一先將能量以轉動動能的形式儲存在飛輪系統，然後用以以轉動動能的形式儲存在飛輪系統，然後用以驅動行駛的汽車。假設一圓柱形飛輪的總質量驅動行駛的汽車。假設一圓柱形飛輪的總質量為為75kg，半徑為半徑為25cm。若該飛輪以若該飛輪以85000 rev / min的速度旋轉，問其儲存多少能量？的速度旋轉，問其儲存多少能量？在預期的效率之下，此儲存能量能使一小型汽在預期的效率之下，此儲存能量能使一小型汽車行駛車行駛250milesExample: Uniform Solid CylinderSolution轉動慣量的計算轉動慣量的計算物體的轉動慣量並非為一物體的轉動慣量並非為一常數常數
13、，而是與轉動軸的位置與方向有關而是與轉動軸的位置與方向有關Some Rotational InertiasSolid CylinderI = MR2/2Solid SphereI = 2MR2/5I = M (a2 +b2) /12 Solid Cylinder I = MR2/4 +ML2 /12Thin SphereI = 2MR2/3平行軸定理平行軸定理若旋轉軸通過物體質心的轉動慣量為已知，則若旋轉軸通過物體質心的轉動慣量為已知，則平行於此方向的任何轉動慣量為平行於此方向的任何轉動慣量為ICM 為通過物體質心的轉動慣量為通過物體質心的轉動慣量M 為物體的總質量為物體的總質量D 為兩轉動軸
14、之間的距離為兩轉動軸之間的距離平行軸定理（證明）平行軸定理（證明）令轉動軸方向為令轉動軸方向為Z軸，且定質心所在的軸，且定質心所在的XY平面平面以質心為原點，而另一轉軸通過此平面於以質心為原點，而另一轉軸通過此平面於(a,b)Example: 一均勻長棒（如右一均勻長棒（如右圖所示）的總質量為圖所示）的總質量為M，若若旋轉軸垂直於棒長方向且通旋轉軸垂直於棒長方向且通過質心，求其轉動慣量？過質心，求其轉動慣量？若旋轉軸方向不變，但移至長棒的一端，求其轉若旋轉軸方向不變，但移至長棒的一端，求其轉動慣量為何？動慣量為何？或由平行軸定理或由平行軸定理q qdqdqdr令轉軸的方向為令轉軸的方向為Z軸軸
15、，轉動運動時轉動運動時由功的定義由功的定義 dW = F dr = Fx dx + Fy dydr = r dq q, dx = -r sinq q dq q = -ydq qdy = r cosq q dq q = xdq qdW = Fx dx + Fy dy = x Fy -y Fx dq = r F dq = t t dqdW = Fx dx + Fy dy = x Fy -y Fx dq = r F dq = t t dqt=t= r F扮演類似於改變線性運動動能時，力所扮演的扮演類似於改變線性運動動能時，力所扮演的角色。我們稱之為角色。我們稱之為力矩力矩(torque)轉動運動時動
16、能的改變轉動運動時動能的改變將直角座標位移量轉換為轉動運將直角座標位移量轉換為轉動運動的新參數動的新參數q q力矩力矩由力矩的定義，其方向可由由力矩的定義，其方向可由右手定則決定，而大小為右手定則決定，而大小為式子中式子中d為為r於垂直於於垂直於F方方向上的分量，俗稱為向上的分量，俗稱為力臂力臂注意事項注意事項： （一）力矩的單位雖與功一樣（一）力矩的單位雖與功一樣，但卻但卻為完全不一樣的觀念為完全不一樣的觀念。（。（二）二）參考轉軸需先確定參考轉軸需先確定之後之後，力矩的定義方有意義力矩的定義方有意義。力矩為一向量力矩為一向量，故總力矩為各個力矩之向量和故總力矩為各個力矩之向量和Exampl
17、e: （一）一）求求淨力矩淨力矩（二）二）若若F1=5.0N ,R1=1.0m ,F2=15.0N, R2=0.5m，其旋轉方向其旋轉方向為？為？淨力矩為正值，由右手定則，其旋轉方向淨力矩為正值，由右手定則，其旋轉方向為逆時鐘旋轉為逆時鐘旋轉力矩與角加速度力矩與角加速度一物體的旋轉如右圖所一物體的旋轉如右圖所示。對每一個微小體積示。對每一個微小體積元而言，皆滿足元而言，皆滿足該體積元所受的力矩為該體積元所受的力矩為雖然物體中每一體積元的切線加速度不一樣，雖然物體中每一體積元的切線加速度不一樣，但是其角加速度卻都一樣（對剛體而言）但是其角加速度卻都一樣（對剛體而言）Example: Rotati
18、ng Rod固定點固定點mg一質量為一質量為m長度為長度為L的均勻長的均勻長棒，固定一端而另一端則可棒，固定一端而另一端則可自由轉動。問於水平靜止位自由轉動。問於水平靜止位置釋放時，其起始角加速度置釋放時，其起始角加速度與自由端切線加速度為何？與自由端切線加速度為何？力矩為力矩為角加速度為角加速度為端點切線加速度為端點切線加速度為為何端點切線加速度會大於為何端點切線加速度會大於g ?HW:可可否比自否比自由落替由落替更快更快?Example:Atwoods Machine阿特伍德機如右圖所阿特伍德機如右圖所示。若繩子的質量可示。若繩子的質量可忽略，兩滑輪的半徑忽略，兩滑輪的半徑為為R，轉動慣量
19、為轉動慣量為I。求加速度？求加速度？線性運動滿足牛頓定律線性運動滿足牛頓定律轉動運動滿足牛頓定律轉動運動滿足牛頓定律將將(1)(2)式結果代入式結果代入轉動運動時動能的改變轉動運動時動能的改變( (續）續）由於外力作用於物體使之旋轉所作的功為由於外力作用於物體使之旋轉所作的功為依此定義，功與轉動動能的關係為依此定義，功與轉動動能的關係為此關係式為前述定義之總結此關係式為前述定義之總結Example: Rotating Rod（續續）固定點固定點mg重力位能轉變為轉動動能重力位能轉變為轉動動能前述例題中的長棒自水前述例題中的長棒自水平靜止位置釋放時，問平靜止位置釋放時，問於最低點時該棒的角速於最低點時該棒的角速度為何？度為何？Example: 一系統如右圖所示。求一系統如右圖所示。求物體運動速度與下滑高度的關係物體運動速度與下滑高度的關係重力位能轉變為轉動動能重力位能轉變為轉動動能
