《北师大版高中数学必修一：4.1.1ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版高中数学必修一：4.1.1ppt课件（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数 学 精 品 课 件北 师 大 版第四章函数应用1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在问题引航引航1.1.函数的零点是如何定函数的零点是如何定义的的? ?函数零点附近的函数函数零点附近的函数值符号有何特点符号有何特点? ?2.2.函数与方程存在怎函数与方程存在怎样的关系的关系? ?如何探如何探寻函数的零函数的零点点? ?1.1.函数的零点函数的零点(1)(1)概念：函数概念：函数y=f(x)y=f(x)的零点是函数的零点是函数y=f(x)y=f(x)的图像与横轴的的图像与横轴的交点的交点的_._.(2)(2)意义：意义：f(x)f(x)的零点就是方程的零点就是方程_._.2.2.函数
2、零点的判断函数零点的判断函数函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内至少有一个零点的条件：内至少有一个零点的条件：(1)(1)若若y=f(x)y=f(x)的图像在的图像在a,ba,b上是上是_._.(2)_0.(2)_0,f(b)0,则函数函数f(x)f(x)在区在区间a,ba,b上不存在零点上不存在零点.(.() )2.2.做一做：做一做：( (请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线上上) )(1)(1)已知二次函数已知二次函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x+3.+2x+3.在区在区间-2,1-2,1上的零点是上的零点是; ;f(-2)=f(-2)=,f(1)=,f
3、(1)=, ,f(-2)f(-2)f(1)f(1)0(0(“ ”或或“= =”).).(2)(2)函数函数f(x)=(x+1)(x-2)(x+3)f(x)=(x+1)(x-2)(x+3)的零点的零点为. .(3)(3)已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的的图像与像与x x轴有有3 3个不同交点个不同交点, ,则函数函数y=f(x)y=f(x)有有个零点个零点. .【解析解析】1.(1)1.(1)错误错误. .因为若因为若y=f(x)y=f(x)有零点有零点, ,则存在实数则存在实数c,c,使使f(c)=0,f(c)=0,但但c c不一定为不一定为0.0.(2)(2)错误错误. .函数函数
4、f(x)=x-1f(x)=x-1的零点是的零点是1,1,不是不是(1,0).(1,0).(3)(3)正确正确. .因为因为y=2y=2x x00恒成立恒成立, ,所以函数所以函数y=2y=2x x无零点无零点. .(4)(4)若若f(a)f(a)f(b)0,f(b)0,则函数在区间则函数在区间a,ba,b上也可能存在零点上也可能存在零点, ,如如f(x)=xf(x)=x2 2,x-1,1.,x-1,1.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.(1)2.(1)由由f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x+3=0+2x+3=0得得x=-1x=-1或或x=3.x=3.函数函数
5、f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x+3+2x+3在区间在区间-2,1-2,1上的零点是上的零点是-1;-1;f(-2)=-5,f(1)=4,f(-2)f(-2)=-5,f(1)=4,f(-2)f(1)0.f(1)0.答案：答案：-1-1-5-54 4 (2)(2)解方程解方程f(x)=0f(x)=0得得x=-1x=-1或或x=2x=2或或x=-3.x=-3.答案：答案：-1,2,-3-1,2,-3(3)(3)函数的零点就是图像与函数的零点就是图像与x x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标, ,故有故有3 3个零点个零点. .答案：答案：3 3【要点探究要点探究】知知识点点1 1 函数的零点
6、函数的零点对函数零点的两点函数零点的两点说明明(1)(1)函数的零点是一个函数的零点是一个实数数, ,当函数的自当函数的自变量取量取这个个实数数时, ,其其函数函数值等于零等于零, ,它不是一个点它不是一个点. .(2)(2)求零点就是求方程求零点就是求方程f(x)=0f(x)=0的的实数根或者求函数数根或者求函数y=f(x)y=f(x)的的图像与像与x x轴交点的横坐交点的横坐标. .【知识拓展知识拓展】函数零点的三种等价关系函数零点的三种等价关系方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图像与的图像与x x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)y=f(
7、x)有零点有零点. .【微思考微思考】函数的零点就是函数函数的零点就是函数图像与像与x x轴的交点的交点吗? ?提示：提示：不是不是. .函数的零点是个实数函数的零点是个实数, ,而函数图像与而函数图像与x x轴的交点是轴的交点是个点的坐标个点的坐标. .【即时练即时练】函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-5x+6-5x+6与与x x轴的交点是的交点是, ,零点是零点是. .【解析解析】令令f(x)=0,f(x)=0,即即x x2 2-5x+6=0,-5x+6=0,解得解得x x1 1=2,x=2,x2 2=3,=3,所以函数所以函数f(x)f(x)与与x x轴的交点是轴的交点是(2,0)
8、,(3,0),(2,0),(3,0),函数零点是函数零点是2,3.2,3.答案：答案：(2,0),(3,0)(2,0),(3,0)2,32,3知知识点点2 2 函数零点的判断方法函数零点的判断方法对函数零点判断方法的四点函数零点判断方法的四点说明明(1)(1)存在性：存在性：“若若f(a)f(a)f(b)0,f(b)0,则在区在区间(a,b)(a,b)内方程内方程f(x)=0f(x)=0至至少有一个少有一个实数解数解”指出了方程指出了方程f(x)=0f(x)=0的的实数解的存在性数解的存在性, ,并不能并不能判断具体有多少个解判断具体有多少个解. .(2)(2)唯一性：若唯一性：若f(a)f(
9、a)f(b)0,f(b)0,且且y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内是内是单调的的, ,那那么么, ,方程方程f(x)=0f(x)=0在在(a,b)(a,b)内有唯一内有唯一实数解数解. .(3)(3)成立条件的成立条件的严密性：缺少条件密性：缺少条件“在在a,ba,b上是上是连续曲曲线”则不成立不成立, ,如如f(x)= ,f(x)= ,有有f(-1)f(-1)f(1)0,f(1)0,但没有零点但没有零点. .(4)(4)不可逆性：不可逆性：对函数零点的判断方式反函数零点的判断方式反过来不成立来不成立. .【微思考微思考】(1)(1)若若f(a)f(a)f(b)0,f(b)0,
10、则函数函数y=f(x)y=f(x)在区在区间(a,b)(a,b)内一定存在零内一定存在零点点吗? ?提示：提示：不一定不一定. .因为函数因为函数y=f(x)y=f(x)的图像在闭区间的图像在闭区间a,ba,b上未必上未必是连续曲线是连续曲线. .如函数如函数f(x)= f(x)= 在区间在区间-1,1-1,1上有上有f(-1)f(-1)f(1)0,f(1)0,但是由其图像知函数但是由其图像知函数f(x)f(x)在区间在区间(-1,1)(-1,1)内无内无零点零点. .(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)在区在区间a,ba,b上存在零点上存在零点, ,则f(a)f(a)f(b)0f(b)0
11、,f(3)=0,f(4)0,所以有所以有f(3)f(3)f(4)=0,f(4)=0,但但3 3是函数是函数f(x)f(x)的一个零的一个零点点. .【即时练即时练】若函数若函数f(x)f(x)的的图像在像在R R上上连续不断不断, ,且且满足足f(0)0,f(2)0,f(0)0,f(2)0,则下列下列说法正确的是法正确的是( () )A.f(x)A.f(x)在区在区间(0,1)(0,1)上一定有零点上一定有零点, ,在区在区间(1,2)(1,2)上一定没有零上一定没有零点点B.f(x)B.f(x)在区在区间(0,1)(0,1)上一定没有零点上一定没有零点, ,在区在区间(1,2)(1,2)上一
12、定有零上一定有零点点C.f(x)C.f(x)在区在区间(0,1)(0,1)上一定有零点上一定有零点, ,在区在区间(1,2)(1,2)上可能有零点上可能有零点D.f(x)D.f(x)在区在区间(0,1)(0,1)上可能有零点上可能有零点, ,在区在区间(1,2)(1,2)上一定有零点上一定有零点【解析解析】选选C.C.根据零点的判断方法根据零点的判断方法, ,由于由于f(0)f(0)f(1)0, f(1)0,f(2)0,所以所以f(x)f(x)在区间在区间(0,1)(0,1)上一定有零点上一定有零点, ,在区间在区间(1,2)(1,2)上无法确定是否存在零点上无法确定是否存在零点. .如图所示
13、如图所示, ,图图有零点有零点, ,但图但图无零点无零点. .【题型示范型示范】类型一型一 函数零点个数的判断函数零点个数的判断【典例典例1 1】(1)(1)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+x-1+x-1的零点个数是的零点个数是( () )A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.D.无数无数(2)(2)已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的的图像在区像在区间a,ba,b上是上是连续不断的不断的, ,且且满足足f(a)f(a)f(b)0(a,bR,ab),f(b)0(a,bR,ab),则函数函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内内( () )A.A.有且只有一个零点有且只有一
14、个零点 B.B.至少有一个零点至少有一个零点C.C.无零点无零点 D.D.无法确定有无零点无法确定有无零点(3)(3)判断函数判断函数f(x)= f(x)= 的零点个数的零点个数. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中的函数是什么函数中的函数是什么函数? ?如何判断其零点个如何判断其零点个数数? ?2.2.题题(2)(2)中函数中函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上满足上满足f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,则则y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)上只有一个零点吗上只有一个零点吗? ?3.3.如何判断题如何判断题(3)(3)中的函数的零点个数中的函数的零
15、点个数? ?【探究提示探究提示】1.1.题题(1)(1)中的函数是二次函数中的函数是二次函数, ,可借助判别式的符可借助判别式的符号判断其零点个数号判断其零点个数. .2.2.不一定不一定. .函数函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上满足上满足f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,=1+4=50,则方程则方程x x2 2+x-1=0+x-1=0有两有两个不同实根个不同实根, ,即使即使f(x)=0f(x)=0成立的实数成立的实数x x有有2 2个个. .(2)(2)选选B.B.函数函数y=f(x)y=f(x)在定义域内连续在定义域内连续, ,且满足且满足f(a)f(a)f(b)0,
16、f(b)0f(b)0”, ,结论又如何又如何? ?【解析解析】选选C.C.因为函数因为函数f(x)f(x)在在a,ba,b上单调且连续上单调且连续, ,所以其图像至多与所以其图像至多与x x轴有一个交点轴有一个交点. .又因为又因为f(a)f(a)f(b)0,f(x)f(b)0,f(x)在在(a,b)(a,b)内必无零点内必无零点. .【方法技巧方法技巧】判断函数零点个数的三种常用方法判断函数零点个数的三种常用方法(1)(1)直接法：用计算器或计算机计算并描点作出函数直接法：用计算器或计算机计算并描点作出函数f(x)=g(x)-h(x)f(x)=g(x)-h(x)的图像的图像, ,由图像、函数
17、的单调性及零点的判断由图像、函数的单调性及零点的判断方法作出判定方法作出判定. .(2)(2)转化法：由转化法：由f(x)=g(x)-h(x)=0,f(x)=g(x)-h(x)=0,得得g(x)=h(x),g(x)=h(x),在同一坐标系在同一坐标系下作出下作出y y1 1=g(x)=g(x)和和y y2 2=h(x)=h(x)的叠合图的叠合图, ,利用图像判定方程根的个数利用图像判定方程根的个数. .(3)(3)单调性法：利用单调性法：利用f(a)f(b)0f(a)f(b)2,a2,则函数函数f(x)f(x)的零点个数是的零点个数是( () )A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C
18、.3 D.4【解析解析】选选C.C.令令h(x)=xh(x)=x2 2-a,g(x)=- ,-a,g(x)=- ,因为因为h(1)=1-a-1,h(1)=1-a-1,而而g(1)=-1,g(1)=-1,所以所以h(1)h(1)2)+ -a(a2)有三个零点有三个零点. .【补偿训练】已知函数已知函数f(x)= f(x)= 则该函数零点函数零点的个数的个数为( () )A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4【解析解析】选选C.C.当当x0x0时时, ,由由f(x)=0f(x)=0得得x=-4,x=-4,当当x0x0时时, ,由由f(x)=0f(x)=0得得x=4x=4或或x
19、=0.x=0.综上所述综上所述, ,函数共有函数共有3 3个零点个零点. .类型二型二 判断函数零点所在的区判断函数零点所在的区间【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013重重庆高考高考) )若若abc,abc,则函数函数f(x)=(x-a)(x-b)+f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)两个零点分两个零点分别位于区位于区间( () )A.(a,b)A.(a,b)和和(b,c)(b,c)内内 B.(-,a)B.(-,a)和和(a,b)(a,b)内内C.(b,c)C.(b,c)和和(c,+)(c,+)内内 D
20、.(-,a)D.(-,a)和和(c,+)(c,+)内内(2)(2014(2)(2014抚州高一州高一检测) )根据表格中的数据根据表格中的数据, ,可以断定函数可以断定函数f(x)=ef(x)=ex x-x-2-x-2的一个零点所在的区的一个零点所在的区间是是( () )A.(-1,0)A.(-1,0)B.(0,1)B.(0,1)C.(1,2)C.(1,2)D.(2,3)D.(2,3)x x-1-10 01 12 23 3e ex x0.370.371 12.722.727.397.3920.0920.09x+2x+21 12 23 34 45 5【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中
21、如何根据函数表达式与中如何根据函数表达式与a,b,ca,b,c的大小关的大小关系系, ,寻找零点所在的区间寻找零点所在的区间? ?2.2.题题(2)(2)中如何根据对应值表寻找题中如何根据对应值表寻找题(2)(2)函数函数f(x)=ef(x)=ex x-x-2-x-2的零点的零点所在的区间所在的区间? ?【探究提示探究提示】1.1.检验检验f(a),f(b),f(c)f(a),f(b),f(c)的符号的符号, ,然后作出判断然后作出判断. .2.2.借助对应值表中提供的有关借助对应值表中提供的有关e ex x与与x+2x+2的对应数值的大小关系作的对应数值的大小关系作出判断出判断. .【自主解
22、答自主解答】(1)(1)选选A.A.因为因为abc,ab0,f(a)=(a-b)(a-c)0,f(b)=(b-c)(b-a)0,f(b)=(b-c)(b-a)0,所以所以f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,f(b)f(c)0,即函数的两个零点分别位于区间即函数的两个零点分别位于区间(a,b)(a,b)和和(b,c)(b,c)内内. .(2)(2)选选C.C.由题表可知由题表可知f(1)=2.72-30,f(1)=2.72-30,所以所以f(1)f(1)f(2)0,f(2)0,所以所以f(x)f(x)在区间在区间(1,2)(1,2)上存在零点上存在零点. .【方法技巧方法
23、技巧】判断函数零点所在区间的三个步骤判断函数零点所在区间的三个步骤(1)(1)代：将区间的端点值代入函数解析式代：将区间的端点值代入函数解析式, ,并求出相应函数值并求出相应函数值. .(2)(2)判：把所得函数值相乘判：把所得函数值相乘, ,并判断符号并判断符号. .(3)(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数, ,则该区间内则该区间内无零点无零点, ,若符号为负若符号为负, ,则该区间内至少有一个零点则该区间内至少有一个零点. .【变式训练变式训练】(2014(2014景德镇高一检测景德镇高一检测) )下列区间中，函数下列区间中，函数f(x)
24、=lg x+xf(x)=lg x+x的零点所在区间为的零点所在区间为( )( )A.(1A.(1，2) B.( 2) B.( ，1)1)C.( ) D.(0C.( ) D.(0， ) )【解析解析】选选C.C.因为因为= =易知函数易知函数f(x)f(x)为定义域上的增函数为定义域上的增函数, ,所以所以f(x)f(x)的零点所在区间为的零点所在区间为【补偿训练】设x x0 0是方程是方程lnx+x=4lnx+x=4的解的解, ,且且x x0 0(k,k+1),kZ,(k,k+1),kZ,则k=k=. .【解析解析】令令f(x)=lnx+x-4,f(x)=lnx+x-4,且且f(x)f(x)在
25、在(0,+)(0,+)上是增加的上是增加的, ,因为因为f(2)=ln2+2-40,f(2)=ln2+2-40.f(3)=ln3-10.所以所以f(x)f(x)在在(2,3)(2,3)内有解内有解, ,所以所以k=2.k=2.答案：答案：2 2【拓展拓展类型型】一一元二次方程区元二次方程区间根根问题【备选例例题】(1)(1)已知函数已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+1(ab),f(x)=(x-a)(x-b)+1(ab),且且m,nm,n是是方程方程f(x)=0f(x)=0的两个根的两个根(mn),(mn),则实数数a,b,m,na,b,m,n的大小关系可能是的大小关系可能是( () )A
26、.mabn B.amnb C.manb D.ambnA.mabn B.amnb C.manb D.ambn(2)(2)已知二次函数已知二次函数f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+4,-2ax+4,求下列条件下求下列条件下, ,实数数a a的取的取值范范围. .零点均大于零点均大于1;1;一个零点大于一个零点大于1,1,一个零点小于一个零点小于1.1.【解析解析】(1)(1)选选B.B.由函数由函数f(x)=(x-a)(x-b)+1,f(x)=(x-a)(x-b)+1,可得可得f(a)=f(b)=1.f(a)=f(b)=1.又又m,nm,n是方程是方程f(x)=0f(x)=0的两个根的两个根
27、, ,故可画出函数的大故可画出函数的大致图像如图：致图像如图：所以应该有所以应该有amnb.amnb.(2)(2)因为方程因为方程x x2 2-2ax+4=0-2ax+4=0的两根均大于的两根均大于1,1,结合二次函数的单结合二次函数的单调性与零点存在定理调性与零点存在定理, ,得得 解得解得2a .2a .因为方程因为方程x x2 2-2ax+4=0-2ax+4=0的一个根大于的一个根大于1,1,一个根小于一个根小于1,1,结合二次结合二次函数的单调性与零点存在定理函数的单调性与零点存在定理, ,得得f(1)=5-2a0,f(1)=5-2a .a .【方法技巧方法技巧】解决一元二次方程根的分
28、布问题的方法解决一元二次方程根的分布问题的方法(1)(1)首先画出符合题意的草图首先画出符合题意的草图, ,转化为函数问题转化为函数问题. .(2)(2)结合草图考虑三个方面：结合草图考虑三个方面：与与0 0的大小关系的大小关系;对称轴与对称轴与所给端点值的关系所给端点值的关系;端点的函数值与零的关系端点的函数值与零的关系. .(3)(3)写出由题意得到的不等式写出由题意得到的不等式( (组组).).(4)(4)由得到的不等式由得到的不等式( (组组) )去验证图像是否符合题意去验证图像是否符合题意. .这类问题充分体现了函数与方程的思想这类问题充分体现了函数与方程的思想, ,也体现了方程的根
29、就也体现了方程的根就是函数的零点是函数的零点. .在写不等式在写不等式( (组组) )时时, ,要注意条件的完备性要注意条件的完备性. .【易错误区易错误区】忽忽视零点的存在判断方法的使用条件致零点的存在判断方法的使用条件致误【典例典例】函数函数f(x)=x+ f(x)=x+ 的零点的个数的零点的个数为( () )A.0 B.1 C.2 D.3A.0 B.1 C.2 D.3【解析解析】选选A.A.函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为x|x0x|x0, ,当当x0x0时时,f(x)0;,f(x)0;当当x0x0时时,f(x)0,f(x)0,但此函数在定义域内的图像不连续但此函数在定义域内
30、的图像不连续, ,所以函数没有零点所以函数没有零点, ,故选故选A.A.【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析选选B B忽视阴影处函数的定义域为忽视阴影处函数的定义域为x|x0,x|x0,仅凭借特仅凭借特殊值殊值, ,就得出此函数有一个零点的错误结论就得出此函数有一个零点的错误结论【防范措施防范措施】理解零点的存在判断方法成立的条件理解零点的存在判断方法成立的条件零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图像是连续不断的曲线上的图像是连续不断的曲线; ;二是二是f(a)f(a)f(b)0.f(b)0,f(b)0,f(a)0,f(b)0,则函数函数f(x)f(x)在区在区间(a,b)(a,b)内内( () )A.A.一定有零点一定有零点 B.B.一定没有零点一定没有零点C.C.可能有两个零点可能有两个零点 D.D.至多有一个零点至多有一个零点【解析解析】选选C.C.如图如图1 1所示所示, ,函数函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有两个零点内有两个零点, ,如图如图2,2,没有零点没有零点, ,如图如图3 3有一个零点有一个零点, ,结合选项结合选项, ,可知可知C C正确正确. .
