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1、 应用近世代数应用近世代数 多媒体课件多媒体课件孔荫莹孔荫莹广东财经大学数学与统计学院广东财经大学数学与统计学院广东财经大学数学与统计学院广东财经大学数学与统计学院数学可以把灵活引导到真理。数学可以把灵活引导到真理。苏格拉底（苏格拉底（苏格拉底（苏格拉底（Socrate,Socrate,Socrate,Socrate,前前前前469469469469年年年年前前前前399399399399年）年）年）年）数学是科学的大门和钥匙。数学是科学的大门和钥匙。-R.-R.-R.-R.培根培根培根培根(Roger Bacon, 1214-1294)(Roger Bacon, 1214-1294)(Rog
2、er Bacon, 1214-1294)(Roger Bacon, 1214-1294)Histories make men wise; poets, witty; the mathermatics, subtile; natural philosophy, deep; moral, grave; logic and rhetoric, able to contend- F.F.培根（培根（培根（培根（Francis Bacon 1561Francis Bacon 156116261626） 第二章 二、子群的指数和拉格朗日定理二、子群的指数和拉格朗日定理三、小结与思考三、小结与思考 一、子群
3、的陪集一、子群的陪集第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 子群的陪集和拉格朗日定理一、一、 子群的陪集子群的陪集机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、子群的陪集、子群的陪集 1 1）定义）定义1 1 设设是一个群，是一个群， 则则 称为称为的一个左陪集（的一个左陪集（left cosetleft coset），）， 称为称为的一个右陪集（的一个右陪集（right cosetright coset）. . 例例1 1 是是的子群，的子群， 因为因为是可交换群，故是可交换群，故 的左陪集和右陪集的左陪集和右陪集相等，且每一个陪集正好与一个同余类对应相等，且每一个陪集正好与一个同余类对应. .
4、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即 例例2 设设中子群中子群，则的左陪集有，则的左陪集有机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、陪集的性质、陪集的性质 一般而言，陪集一般而言，陪集称为以称为以为代表元的陪集，为代表元的陪集， 同一个陪集可以有不同的代表元同一个陪集可以有不同的代表元. .即表明陪集中的任何即表明陪集中的任何 一个元素都可作为代表元一个元素都可作为代表元. . （4 4）对任何对任何有有或或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即构成的一个划分构成的一个划分. .的全体左陪集的全体左陪集 （5 5）由划分与等价关系的对应，子群在中可确定由划分与等价关系的对应，子群在中可
5、确定 两个等价关系：两个等价关系：相应的商集为相应的商集为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如，设例如，设 则则的全体左陪集为的全体左陪集为相应的商集相应的商集二、二、 子群的指数和拉格朗日定理子群的指数和拉格朗日定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、子群的指数、子群的指数 定理定理1 设设是群，是群， 则存在则存在到到的双射的双射. .建立建立到到的双射：的双射： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2 设设是群，是群， 在在中的左（右）陪集中的左（右）陪集 个数称为个数称为在在中的指数（中的指数（index），记为），记为定理定理2 （Lagrange（拉格朗日）定理）（
6、拉格朗日）定理） 设设是有限群，是有限群， 则则LagrangeLagrange（拉格朗日）定理的推论：（拉格朗日）定理的推论： （1）设）设是有限群，是有限群， 则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 （2）当）当时，时， 对任何对任何有有因而有因而有（3）若）若，则，则 阶循环群），阶循环群）， 即素数阶群必为循环群即素数阶群必为循环群. . 定理定理3 设设是有限群，是有限群， 是是的两个有限子群，的两个有限子群， 则有则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3 确定确定中的所有子群中的所有子群. . 中的所有子群为：中的所有子群为： 例例4 4 确定所有可能的确定所有可能的4 4阶群阶群. .所有所有4 4阶群只有两种可能：阶群只有两种可能：4 4阶循环群或阶循环群或KleinKlein四元群四元群. .三、三、 小结与思考小结与思考机动 目录 上页 下页 返回 结束
