第二章实数理论

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1、第二章 实数理论郇中丹2006-2007年度第一学期1为什么要讲实数理论以往教材上关于实数处理的方式:以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定义以公理化方式定义实数来回避直接定义实数上述处理方式的缺陷:分割和基本列的方式定义需要引入一系列的工具，并且与中小学教材脱节公理化的方式使得学生困惑: 实数变的难以理解了应当与中小学教材衔接并讲清实数: 讲清十进小数2实数理论1 数系理论发展简史2 定义实数遇到的困难3 我们如何定义实数4 有理数系的性质5 实数定义6 实数的完备性7 实数的运算性质8 记号和实数的进一步性质31 数系理论发展简史有趣的现象实数理论简史引入实数的方法数系理论4有趣

2、的现象数的使用几乎与人类的历史一样长, 有人通过观察推断: 动物有数感. 在人类文明史中, 数的概念是逐步扩展开来的. 然而数的严格意义上的理论直到在十九世纪后半叶才完成. 虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等建立数系理论为了完善数学分析理论建立数系理论是要保证数学的真实性,非欧几何的出现,几何失去了其真实性;数学在哲学意义上的真实性应当建立在算术基础上 (Gauss 1817)5实数理论是指以有理数系为基础建立实数理论以往的直观想法: 有理数的极限, 然而必须先存在才能谈极限William R. Hamilton, 1833, 1835提出无理数

3、的第一个处理, 以时间作为实数的基础.提出用将有理数分成两类的方法定义无理数Weierstrass (1857), Mray (1869) Dedekind (1872), Cantor (1873) (来源于Kline IV P46-47)6引入实数的方法Weierstrass: 有自然数出发定义正有理数,然后用无穷多个有理数集合定义实数Dedekind: 有理数分割Canter: 有理数基本列等价类7数系理论欧几里德的几何原本中的比例理论以及讨论了现在有理数中的相关结果,但是在比例线段的术语下讨论的.Muller 1855一般算术和Grassmann 1861算术中有讨论, 但是讲得不清楚

4、Peano 1889算术原理新方法引入Peano公理系统解决了这个问题。他用了许多符号: , 和N0表示自然数集。82 定义实数遇到的困难如何从有限小数过渡到无限小数基本想法都是利用有理数序列逼近(极限),这就有两个问题引入序列和极限等相关的概念即便如此, 也要先定义清楚作为极限的实数虽然知道实数的众多性质, 如何写出一个逻辑上正确、清晰和不难接受的实数理论仍然有待努力93 我们如何定义实数与中学实数定义衔接，用十进小数定义实数系，然后建立相关的性质建立实数的序建立实数的完备性利用有理数的运算和实数的完备性定义实数的运算104 有理数系的性质自然数系及其运算有理数系的建立有理数的运算性质有理数

5、的序性质和稠密性质有理数的不完备性11自然数系及其运算已经完成了逻辑地引入自然数系N=0,1, 2,的过程(上一章引入的)加法运算就是数数,乘法运算就是一类特殊数数的方法.减法: 对小的数加多少的到大的数除法: 分组带余除法: 确定组数和余数归纳法是论证工具12有理数系Q的建立有理数可以看成是由为了在自然数系中加、减、乘和除封闭而得到的最小集合自然数到有理数的逻辑扩展: 由自然数及其笛卡尔积建立整数使得加、减、乘封闭; 由整数及其笛卡尔积建立有理数使得加、减、乘和除封闭自然数到有理数的直观扩展: 引入负数和所有正整数份数13有理数的运算性质加法和乘法满足交换律: a+b=b+a, ab= ba

6、与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c乘法与加法之间满足分配律: a(b+c)= ab+ac0是加法零元: a: a+0=a1是乘法单位元: a: a1=a每个数a有负数-a: a+(-a)=0每个非零数a有倒数1/a: a(1/a)=114有理数序的三歧性和稠密性有理数序的三歧性: a,bQ, 则ab中有且仅有一种情形成立序与加法和乘法的关系:a,b,cQ, ab a+cb+ca,b,cQ且c0, ab acbc记号: ab表示ab或a=b有理数的稠密性: a,bQ, ab, cQ: acb15有理数的不完备性上界: 设AQ, A, 若bQ使得aA, ab, 就

7、称b为A的一个上界, 并且说A是有上界的上确界:设AQ, A, bQ叫做A的上确界, 如果(1) b是A的上界, (2) cc上确界的惟一性序的完备性: 任何有上界的集合都有上确界有理数的不完备性: 存在有理数有上界而没有上确界的非空子集: 例如aQ | a0, a20,x(n)0,9;k0,nk, x(n)0, x(k)叫作x的第k位小数, 记作xk ;x也写成: x=x+0.x1x2记x= 0.x1x2叫作x的小数部分n0, sn(x)=x+0.x1x2xn叫作x的n位小数(舍值)近似, 也记s0(x)=x18有理数的十进小数表示如果aZ, 自然地对应x: x(0)=a, k0, x(k)

8、=0aQ, 如果a有十进小数表示: a=p+0.a1an, 对应的x: x(0)=p,0kn, x(k)=ak, kn, x(k)=0.称之为有限小数, 用Qf表示R中所有有限小数的集合.R中的其他数叫无限小数.aQ, 其十进小数是无限的, 则其十进小数是循环小数, 有引入有理数十进小数方式, 其十进小数不会有9循环(习题), 如此a=p+0.a1an 自然对应x: x(0)=p,k0, x(k)=ak注意这里用到整数部分而可能引起的与中学十进小数表示的差异19实数的序实数序的定义: x,yR, xy, 如果nN:x(n) 0时, kx注: 当x,y是有限小数时, 与有理数中的序一致实数的序具

9、有三歧性: x,yR, 则xy中有且仅有一种情形成立证明: 任取x,yR, 若x=y, 由整数序的三歧性, 不会有xy成立; 若xy, 则nN:x(n)y(n), 有归纳法,可设n是满足这一性质的最小自然数, 因而由实数序的定义和整数序的三歧性可得有且仅有xy中的一个成立.206 实数的完备性实数集的上界和上确界实数的完备性实数完备性的推论常用记号和名词21实数集的上界和上确界上界: 设AR, A, 若bR使得aA, ab, 就称b为A的一个上界, 并且说A是上有界的上确界:设AR, A, bR叫做A的上确界, 如果(1) b是A的上界, (2) cc 事实1: 确界的惟一性事实2: 整数子集

10、具有完备性，并且上确界在所讨论的集合中22实数的完备性(I)R的非空有上界的子集必有上确界.证明: 设AR非空且有上界. 取定A的一个上界z. 下面归纳地构造A的上确界b.1. 考虑整数集合A0=x(0) | xA, 则x(0)z(0). 由整数序的完备性, A0有在其中的上确界b0. 即存在xA, x(0)=b0. 很自然地, b0R.若b0是A的上界,取b=b0就得到了上确界.否则考虑整数集A0=x(1)|xA, xb0 且A0有上界923实数的完备性(II)2.然后重复上面的步骤做下去，在第k步得到b0+0.b1bk满足下列性质:xA, x(0)b0, xA满足x(0)=b0;h=0,

11、k-1, Ah=x(h+1)| xA, xb0+0.b1bhh=1, k-1, bh+1是Ah的上确界并且xA满足x(n)=bn, n=0,h若b0+0.b1bk是A的上界,令b=b0+0.b1bk.就得到了上确界,否则考虑整数集Ak=x(k+1)|xA, xb0 +0.b1bk 其有上界9, 设bk+1为Ak的上确界,则xA满足x(h)=bh, h=1, k+1. 由归纳法就得到24实数的完备性(III)3. 下列两种可能性之一必成立: (1) A有有限小数上确界b=b0+0.b1bn; (2) 得到b: NZ, b(0) =b0Z, k0, b(k)=bk0,9,有无限多个bk 0, 满足

12、xA, x(0)b0, xA满足x(0)=b0;hN, Ah=x(h+1)| xA, xb0+0.b1bhh N, bh+1是Ah的上确界并且xA满足x(n)=bn, n=0,h 下面证明, 由b可以构造出A的上确界.25实数的完备性(IV)4. 考虑两种情形: (1) 存在k0, nk, bk= 9, 如果k1, bk-1 1, 取b= b0+0.b1bk-1+1.为简单这里仅给出k=1时的证明, k1情形的证明留作习题.由xA, x(0)b0b=b(0)可得b是A的上界.下面证明b是A的上确界, 任取cR, cb, 如果c(0)c(0),则xc. 如果c(0)=b0, 由m0, c(m)c

13、. 因此b是A的上确界.26实数的完备性(V)6. 假设(2)成立, 则bR. 令b=b. 首先说明b是上界. 用反证法, 若b不是A的上界,则xA, xb, 这就存在k0, jb(k)=bk,这与bk的取法矛盾.证明b是A的上确界: 任取cR, cb,则存在k0, jk, c(j)=b(j)=bj, c(k)c. 这就得到b是A的上确界.这样实数的完备性就建立了. #27实数完备性的推论实数集的下界和下确界:设AR, A, 若bR使得aA, ab, 就称b为A的一个下界, 并且说A是下有界的设bR是AR的下界, 如果cb, aA, a0, 而nk, x(n)=0. 负元-x定义为: k=0时

14、, (-x)(0)=-x(0), (-x)(n)=0k0时, (-x)(0)=-x(0)-1, (-x)(k)=10- x(k); n1,k-1, (-x) (n) =9-x(n); nk, x(n)=0;即k=0时-x=-x; k0时-x=-x-1+0.(9-x1)(9-xk-1)(10-xk)若x为无穷小数, 负元-x定义为: (-x)(0)=-x(0)-1, n0, (-x)(n)=9-x(n).定义: 设x,yR. 定义x与y的差x-y为x+(-y).命题1: xR, -(-x)=x, x+(-x)=0.33实数的符号和绝对值符号函数sgn: xR, 若x0, sgn(x)=1; 若x

15、0时, x的倒数定义为: 1/x=supsn1/(sn(x)+10-n)|nN; 当x 0时, x的倒数为: 1/x=-1/|x|.除法: 对于x, yR, y0, 定义x与y的商为xy=x1/y.命题 2: xR, x0, x1/x=1.36实数的运算性质加法和乘法满足交换律: a+b=b+a, ab= ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c乘法与加法之间满足分配律: a(b+c)= ab+ac0是加法零元: a: a+0=a1是乘法单位元: a: a1=a每个数a有负数-a: a+(-a)=0每个非零数a有倒数1/a: a(1/a)=137实数序的三歧性和

16、稠密性实数序的三歧性: a,bR, 则ab中有且仅有一种情形成立序与加法和乘法的关系:a,b,cR, ab a+cb+ca,b,cR且c0, ab acbc记号: ab表示ab或a=b实数的稠密性: a,bR, ab, cRQ, dQ, acd0, a22是Q中的有上界的非空集合, 但在Q中没有上确界.2.设x,yR. 证明sn(x)+sn(y) | nN, 且有上界x+y+2.3. 证明: xR, -(-x)=x, x+(-x)=0.4. 证明实数的稠密性: a,bR, ab, cRQ, dQ, acd0, xA, 使得x b-e.下确界: aR为集合A的下确界当且仅当: e 0, xA,

17、使得x0, xA, 使得xM.无下界: 非空集合A无下界当且仅当: M0, xA, 使得x-M.44记号区间: a, bR, ab,有限开区间: (a,b)=xR | axb有限闭区间:a,b=xR | a x b有限半开区间: a,b)=xR | a x a, (-,a) =xR | xa, R= (-,+), a,+) =xR | xa, (-,a 邻域: aR, (a-e,a+e)=xR | |x-a| e称为a的e邻域(简称邻域)空心邻域: aR, (a-e,a+e)a=xR|0|x-a|e称为a的e空心邻域(简称空心邻域)45实数集的分离性命题1. 设 A, BR非空. 如果aA,

18、bB, 都有ab, 则c满足: aA, bB, acb.证明: 取定bB, 由aA, ab可知A有上界,由完备性, c=sup AR. 在利用B的每个点都是A的上界和c是A的最小上界, 就有bB, cb.#46闭区间套闭区间套: 非空闭区间族M叫作闭区间套, 如果D1, D2M, D1D2与D2D1中必有一个成立.闭区间套引理: 任何闭区间套的所有闭区间一定有公共点, 即这些闭区间的交集不空.证明: 设M是个闭区间套. 1. 先证明M中的任何闭区间的左端点小于M中任何闭区间的右端点. 任取a,b, c,dM, 要证ad. 若a,bc,d, abd; 若c,da,b, ac0, a,bM, b-

19、ae, 就称M为收缩闭区间套.收缩闭区间套引理: 收缩闭区间套(的所有闭区间)只有一个公共点证明: 用反证法证明, 如果存在两个不同的公共点x,y, 设x0).由收缩闭区间套定义, a,bM, b-ae,由x,ya,b, e=y-xb-ae,#命题: 任何闭区间套的闭区间都能利用其端点定义一个序, 使得序号小的包含序号大的.48习题四 (I)1. 证明:任何闭区间套的闭区间都能利用其端点定义一个序, 使得序号小的包含序号大的.2. 证明确界的惟一性、上确界是最小上界和下确界是最大下界.3. 证明: a, bR, 如果ab与ab同时成立, 则a=b.49习题四 (II)4. 设A, B是R的非空子集. 证明:(1) 若AB, 则sup A sup B;(2) 若xA, yB满足xy,则sup A sup B; 特别若A=xa | aI和B=ya | aI满足xaya,则sup A sup B; (3) inf A=-sup(-A), sup A=-inf (-A), 其中-A=-x | x A;(4) infxa| aI+infya | aIxa+ ya | aI supxa | aI+supya | aI. 5. xR, x=supsn(x) | nN. sn(x) A A若bR 50