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1、二项式定理二项式定理一、基本知识点0n1n11rnrrnna Cnab Cnab Cnb(n N)1、二项式定理：(a b)n Cn2、几个基本概念1 二项展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式2 项数：二项展开式中共有n1项r(r0,1,2,n)叫做二项展开式中第r 1项的二项式系数3 二项式系数：Cnrnrrab(r 0,1,n)4 通项：展开式的第r 1项,即Tr1 Cn3、展开式的特点2n1 系数都是组合数,依次为 C1n,Cn,Cn,Cnn指数的特点a 的指数 由 n0。b 的指数由 0n升幂。a 和 b 的指数和为 n。展开式是一个恒等式,a,b 可取任意的复数,n 为任
2、意的自然数。4、二项式系数的性质：1 对称性:在二项展开式中,与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即2 增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n是偶数时,中间一项取得最大值C当n是奇数时,中间两项相等且同时取得最大值C=C012k kC Cn n C Cn n C Cn n C Cn n C C 2n n1 / 4n12nn nn nn12nCnmCnnmn2n3 二项式系数的和：2C0n+Cn+3=C1n+Cn+=2n-1奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即二项式定理的常见题型二项式定理的常见题型一一、求二项展开式求二项展开式1 1 (a b)n 型的展开式
3、型的展开式例 1求(3 x 1x)4的展开式；a2 2 (a b)n 型的展开式型的展开式例 2求(3 x 1x)4的展开式；3 3二项式展开式的二项式展开式的 逆用逆用 例 3计算13Cn9Cn 27Cn. (1)n3ncn；二二、通项公式的应用通项公式的应用1 1确定二项式中的有关元素确定二项式中的有关元素ax99)的展开式中x3的系数为,常数a的值为例 4已知(x24123n2 2确定二项展开式的常数项确定二项展开式的常数项例 5( x 31x)10展开式中的常数项是3 3求单一二项式指定幂的系数求单一二项式指定幂的系数例 6(x219)展开式中x9的系数是2x三三、求几个二项式的和求几
4、个二项式的和 积的展开式中的条件项的系数积的展开式中的条件项的系数例 7(x 1) (x 1)2 (x 1)3(x 1)4 (x 1)5的展开式中,x2的系数等于（x21)(x 2)7的展开式中,x3项的系数是例 82 / 4四四、利用二项式定理的性质解题利用二项式定理的性质解题1 1求中间项求中间项例 9求x 3。2 2求有理项求有理项例 10求( x 31x)10的展开式中有理项共有项；1x)10的展开式的中间项；3 3求系数最大或最小项求系数最大或最小项（1 1） 特殊的系数最大或最小问题特殊的系数最大或最小问题例 11在二项式(x 1)11的展开式中,系数最小的项的系数是；（2 2）
5、一般的系数最大或最小问题一般的系数最大或最小问题例 12求( x 124x)8展开式中系数最大的项； 3 3 系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项例 13在x y)7的展开式中,系数绝对值最大项是 _；五五、利用利用 赋值法赋值法 求部分项系数求部分项系数, ,二项式系数和二项式系数和例 14若(2x3)4 a0a1xa2x2a3x3a4x4,则(a0 a2 a4)2 (a1 a3)2的值为；例 15设(2x 1)6 a6x6 a5x5. a1x a0,则a0a1a2.a6；六、利用二项式定理求近似值例 16求0.9986的近似值,使误差小于0.001；七七、利用二项式定理证明整除问题利用二项式定理证明整除问题3 / 4例 17求证：51511能被 7 整除。4 / 4
