bA第03章 连续时间系统滑模变结构控制

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1、第第第第3 3章章章章 连续时间系统滑模变结构控制连续时间系统滑模变结构控制连续时间系统滑模变结构控制连续时间系统滑模变结构控制 3.1 3.1 滑动模态滑动模态滑动模态滑动模态到达条件到达条件到达条件到达条件 3.2 3.2 等效控制等效控制等效控制等效控制及及及及滑动模态运动方程滑动模态运动方程滑动模态运动方程滑动模态运动方程 3.3 3.3 滑模变结构控制滑模变结构控制滑模变结构控制滑模变结构控制匹配条件匹配条件匹配条件匹配条件及及及及不变性不变性不变性不变性 3.4 3.4 滑模变结构控制器滑模变结构控制器滑模变结构控制器滑模变结构控制器设计基本方法设计基本方法设计基本方法设计基本方法

2、 3.5 3.5 基于比例切换基于比例切换基于比例切换基于比例切换的滑模变结构控制的滑模变结构控制的滑模变结构控制的滑模变结构控制 3.6 3.6 基于趋近律基于趋近律基于趋近律基于趋近律的滑模变结构控制的滑模变结构控制的滑模变结构控制的滑模变结构控制 3.7 基于准滑动模态基于准滑动模态的滑模变结构控制的滑模变结构控制 若系统初始状态点若系统初始状态点若系统初始状态点若系统初始状态点 处在切换面处在切换面处在切换面处在切换面 之外，之外，之外，之外，则要求系统的运动必须趋向切换面，且在有限时间内则要求系统的运动必须趋向切换面，且在有限时间内则要求系统的运动必须趋向切换面，且在有限时间内则要求

3、系统的运动必须趋向切换面，且在有限时间内到达切换面，即满足到达条件。否则，系统就无法启到达切换面，即满足到达条件。否则，系统就无法启到达切换面，即满足到达条件。否则，系统就无法启到达切换面，即满足到达条件。否则，系统就无法启动滑动模态运动。动滑动模态运动。动滑动模态运动。动滑动模态运动。 一般滑动模态的一般滑动模态的一般滑动模态的一般滑动模态的到达条件到达条件到达条件到达条件为为为为 即即即即 其中其中 为切换函数为切换函数 3.1 3.1 滑动模态到达条件滑动模态到达条件滑动模态到达条件滑动模态到达条件(3.1.1)(3.1.2) 由于状态由于状态 离切换面可以任意远离切换面可以任意远, 故

4、到达条件式故到达条件式(3.1.1)也称为也称为广义广义(全局全局)到达条件到达条件。 3.1 3.1 滑动模态到达条件滑动模态到达条件滑动模态到达条件滑动模态到达条件 为了保证在有限时刻到达，避免渐近趋近的情况出为了保证在有限时刻到达，避免渐近趋近的情况出现。可对式现。可对式(3.1.1)进行修正，取为进行修正，取为 其中其中为为任意小正数。任意小正数。(3.1.3)通常将式通常将式(3.1.1)表达成表达成李雅普诺夫函数型到达条件李雅普诺夫函数型到达条件 (3.1.4)满足上述到达条件的滑模变结构控制系统，其状态满足上述到达条件的滑模变结构控制系统，其状态的运动轨迹都将在有限时间内到达切换

5、面，并启动的运动轨迹都将在有限时间内到达切换面，并启动滑动模态运动。滑动模态运动。 3.2.1 等效控制等效控制 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 3.2 3.2 等效控制及滑动模态运动方程等效控制及滑动模态运动方程等效控制及滑动模态运动方程等效控制及滑动模态运动方程如果达到理想的滑动模态如果达到理想的滑动模态，则则其中其中 为为控制控制输输入入， 为时间为时间。 即即 或或 (3.2.1) (3.2.2) 式式(3.2.2)中中 称为系统在滑动模态区内的等效控称为系统在滑动模态区内的等效控制，一般用制，一般用 表示。表示。 3.2.1 3.2.1 等效控制等效控制等效控制等效控制例如，对

6、于线性系统例如，对于线性系统取切换函数为取切换函数为设系统进入滑动模态后的等效控制为设系统进入滑动模态后的等效控制为 ， (3.2.3) (3.2.4) 则由则由式式(3.2.3)有有 (3.2.5) 若矩若矩阵阵满满秩，秩， 则可解出等效控制则可解出等效控制 (3.2.6) 3.2.2 3.2.2 滑动模态运动方程滑动模态运动方程滑动模态运动方程滑动模态运动方程 将等效控制将等效控制 代入系统的状态方程式代入系统的状态方程式(3.2.1)，可得系统滑动模态运动方程可得系统滑动模态运动方程 将式将式(3.2.6)代入式代入式(3.2.3) 可得线性系统的可得线性系统的滑动模滑动模态运动方程态运

7、动方程如下如下：(3.2.7) 为单为单位矩位矩阵阵。(3.2.8) 其中其中 3.3 3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性滑模变结构控制匹配条件及不变性滑模变结构控制匹配条件及不变性滑模变结构控制匹配条件及不变性 不变性：实现滑动模态运动不依赖于外部扰动和参数不变性：实现滑动模态运动不依赖于外部扰动和参数摄动的性质，也可叫鲁棒性、自适应性。是滑模变结摄动的性质，也可叫鲁棒性、自适应性。是滑模变结构控制受到重视的最主要原因。构控制受到重视的最主要原因。 对于线性系统，不变性的成立需满足滑动模态的对于线性系统，不变性的成立需满足滑动模态的匹配条件。对于扰动和摄动的作用的不同情况，分三匹配条件。

8、对于扰动和摄动的作用的不同情况，分三种情况予以讨论：种情况予以讨论： （1）当系统受到外干扰时）当系统受到外干扰时 (3.3.1) 其中其中 表示系统所受的外干扰。表示系统所受的外干扰。滑动模态运动不受干扰影响的充要条件为滑动模态运动不受干扰影响的充要条件为 (3.3.2) 3.3 3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性滑模变结构控制匹配条件及不变性滑模变结构控制匹配条件及不变性滑模变结构控制匹配条件及不变性 假如式假如式(3.3.2)满足，则系统可化为满足，则系统可化为其中有其中有 ，通过设计控制律，通过设计控制律 可实现对干扰的完可实现对干扰的完全补偿。全补偿。条件式条件式(3.3.2)称

9、为称为干扰和系统的完全匹配条件干扰和系统的完全匹配条件。 （2）当系统存在不确定性时）当系统存在不确定性时 (3.3.3) (3.3.4)滑动模态与不确定性无关的充分必要条件为滑动模态与不确定性无关的充分必要条件为 (3.3.5)假如式假如式(3.3.5)满足，则系统可化为满足，则系统可化为 3.3 3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性滑模变结构控制匹配条件及不变性滑模变结构控制匹配条件及不变性滑模变结构控制匹配条件及不变性 (3.3.6)其中有其中有 。通过设计控制律可实现对不确定性。通过设计控制律可实现对不确定性的完全补偿。的完全补偿。 条件式条件式(3.3.5)称为称为不确定性和系统的

10、完全匹配条件不确定性和系统的完全匹配条件。 （3）当系统同时存在外干扰和不确定性时）当系统同时存在外干扰和不确定性时 (3.3.7)若同时满足匹配条件式（若同时满足匹配条件式（3.3.2）和（）和（3.3.5），则），则系统可化为系统可化为 (3.3.8)通过设计控制律实现同时对不确定性和外干扰的完通过设计控制律实现同时对不确定性和外干扰的完全补偿。全补偿。 3.4 3.4 滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法1. 1. 设计切换函数，使得所确定的滑动模态运动渐近稳设计切换函数，使得所确定的滑动模态运动渐近稳设计切换函

11、数，使得所确定的滑动模态运动渐近稳设计切换函数，使得所确定的滑动模态运动渐近稳定且具有良好的动态品质。定且具有良好的动态品质。定且具有良好的动态品质。定且具有良好的动态品质。 1) 1) 二阶单输入系统（规范空间）二阶单输入系统（规范空间）二阶单输入系统（规范空间）二阶单输入系统（规范空间） 线性切换函数为线性切换函数为线性切换函数为线性切换函数为 由于选择由于选择 和和 为状态，所以，只有为状态，所以，只有 时，时，在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点，即在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点，即保证了系统为渐近稳定。保证了系统为渐近稳定。 【注注】规范空间规范空间：以状态和状态变化率

12、为坐标构成的空间以状态和状态变化率为坐标构成的空间 (3.4.1) 3.4 3.4 滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法而选择不同的而选择不同的 值时，切换面上的状态运动轨迹趋值时，切换面上的状态运动轨迹趋向原点的速度是不同的，向原点的速度是不同的， 越大，对于相同的越大，对于相同的 ， 的变化率越大，从而趋近速度越快。的变化率越大，从而趋近速度越快。 图图3.4.1，切换函数的参数分别选取，切换函数的参数分别选取 和和 作出图示说明。作出图示说明。图图3.4.1 3.4 3.4 滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构

13、控制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法2) 2) 高阶单输入系统（一般状态空间）高阶单输入系统（一般状态空间）高阶单输入系统（一般状态空间）高阶单输入系统（一般状态空间） 线性切换函数为线性切换函数为线性切换函数为线性切换函数为 参数参数 的确定是至关重要的，所的确定是至关重要的，所设计的参数必须使系统在切换面上的滑动模态运设计的参数必须使系统在切换面上的滑动模态运动是渐近稳定的。动是渐近稳定的。 一般地，考虑如下系统：一般地，考虑如下系统： (3.4.2) (3.4.3) 3.4 3.4 滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构控

14、制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法2. 设计控制律，使到达条件得到满足，从而在切换设计控制律，使到达条件得到满足，从而在切换面上形成滑动模态区。面上形成滑动模态区。 下面给出几种常用的控制结构形式下面给出几种常用的控制结构形式 通过通过Ackermann公式来求解其参数，具体方法如下：公式来求解其参数，具体方法如下：其中其中为期望选取的特征值。为期望选取的特征值。 (3.4.4) 3.4 3.4 滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法滑模变结构控制器设计基本方法 1) 常值切换控制（常值切换控制（bang-bang控制）控制） (3.4.

15、5)其中其中 为待求常数。为待求常数。 2) 函数切换控制函数切换控制 (3.4.6)这是以等效控制为基础的控制结构形式。这是以等效控制为基础的控制结构形式。 3) 比例切换控制比例切换控制 其中，其中， ， 和和 为常数。为常数。 (3.4.7) 3.5 3.5 基于比例切换的滑模变结构控制基于比例切换的滑模变结构控制基于比例切换的滑模变结构控制基于比例切换的滑模变结构控制1.控制对象控制对象2. 【例例3.5.1】考虑如下被控对象模型：考虑如下被控对象模型：(3.5.1)其中，其中， ， 。相应状态空间模型方程为：相应状态空间模型方程为：其中，其中， ， 。即有即有(3.5.2)(3.5.

16、3) 3.5 3.5 基于比例切换的滑模变结构控制基于比例切换的滑模变结构控制基于比例切换的滑模变结构控制基于比例切换的滑模变结构控制2. 控制器设计（以位置跟踪系统为例）控制器设计（以位置跟踪系统为例） 设位置给定信号为设位置给定信号为 ，将系统的位置误差，将系统的位置误差 和和位置误差变化率位置误差变化率 作为状态变量，即：作为状态变量，即： 取切换函数为取切换函数为根据比例切换控制方法，取控制律为根据比例切换控制方法，取控制律为(3.5.4)(3.5.5)(3.5.6)其中其中 和和 为大于零的常数。为大于零的常数。 3.6 3.6 基于趋近律的滑模变结构控制基于趋近律的滑模变结构控制基

17、于趋近律的滑模变结构控制基于趋近律的滑模变结构控制 系统运动包括趋近运动和滑动模态运动两个过程。系统运动包括趋近运动和滑动模态运动两个过程。根据滑模变结构控制原理，滑动模态到达条件仅保证状根据滑模变结构控制原理，滑动模态到达条件仅保证状态运动点由状态空间中任意初始位置在有限时间内到达态运动点由状态空间中任意初始位置在有限时间内到达切换面，而对于趋近运动的具体轨迹未做任何限制，切换面，而对于趋近运动的具体轨迹未做任何限制，若若采用趋近律的方法，则可以改善趋近运动的动态品质采用趋近律的方法，则可以改善趋近运动的动态品质。 在在2.3.4节中介绍了常见的几种趋近律。节中介绍了常见的几种趋近律。 3.

18、6.1 基于趋近律的调节系统基于趋近律的调节系统 1. 控制器的设计控制器的设计 系统的状态方程如下：系统的状态方程如下：(3.6.1) 3.6.1 基于趋近律的调节系统基于趋近律的调节系统采用趋近律的控制方式，设切换函数为采用趋近律的控制方式，设切换函数为从而从而 其中其中slaw代表趋近律，例如，采用指数趋近律，则有代表趋近律，例如，采用指数趋近律，则有 其中其中 和和 皆为正实数。皆为正实数。将式将式(3.6.1)代入代入(3.6.3)中，即有中，即有 (3.6.2) (3.6.3) (3.6.4) (3.6.5) 从而可以得到控制作用如下：从而可以得到控制作用如下： (3.6.7) 3

19、.6.1 基于趋近律的调节系统基于趋近律的调节系统2. 实例实例 【例例3.6.1】选择被控对象为选择被控对象为(3.6.8)其中其中 ， 。即有即有(3.6.9)采用指数趋近律为例。选择切换函数为采用指数趋近律为例。选择切换函数为 取取 ，即，即 。指数趋近律为。指数趋近律为 ，其中取，其中取 ， 。 3.6.1 基于趋近律的调节系统基于趋近律的调节系统将将 的值代入的值代入(3.6.7)式式 ，可得控制律式，可得控制律式为为(3.6.10)采用采用Matlab的的M语言建立仿真程序，可得到直观结果。语言建立仿真程序，可得到直观结果。滑模变结构控制滑模变结构控制MATLAB仿真仿真，刘金琨，

20、清华大学出版社，2005。 趋近律参数选择原则趋近律参数选择原则： 以如下指数趋近律为例：以如下指数趋近律为例：指数趋近律是趋近效果比较好的一种趋近律。在趋指数趋近律是趋近效果比较好的一种趋近律。在趋近过程中，指数趋近律的趋近速度是变化的，具有近过程中，指数趋近律的趋近速度是变化的，具有既可以加快趋近时间又也可以削弱抖振的优点。既可以加快趋近时间又也可以削弱抖振的优点。 (3.6.11)3.6.1 基于趋近律的调节系统基于趋近律的调节系统 当状态运动点远离切换面时，趋近速度主要当状态运动点远离切换面时，趋近速度主要取决于取决于 项。而当到达切换面附近时，由于项。而当到达切换面附近时，由于 变得

21、很小，趋近速度则主要取决于变得很小，趋近速度则主要取决于 项的大项的大小。常将小。常将 值取得较大，使状态点快速趋近切换值取得较大，使状态点快速趋近切换面；而将面；而将 值取得较小，从而使切换面附近的趋值取得较小，从而使切换面附近的趋近速度较小，这样就可以保证系统以较小的速度近速度较小，这样就可以保证系统以较小的速度到达切换面，削弱了抖振。到达切换面，削弱了抖振。3.6.2 基于趋近律的位置跟踪系统基于趋近律的位置跟踪系统1. 控制器设计控制器设计 系统状态方程如下系统状态方程如下 (3.6.12)其中其中 此时的系统称为滑模变结构控制系统的此时的系统称为滑模变结构控制系统的简约型简约型，对，

22、对于任意能控系统，均可以选择适当的状态变换将系于任意能控系统，均可以选择适当的状态变换将系统转换为简约型。此处，设定上式中的统转换为简约型。此处，设定上式中的 ， ，即系统为单输入二阶系统。即系统为单输入二阶系统。 3.6.2 基于趋近律的位置跟踪系统基于趋近律的位置跟踪系统则则 (3.6.13)设给定信号为设给定信号为 ，则误差为，则误差为 误差变化率为误差变化率为 (3.6.14)设设 ，误差向量为误差向量为 ，则切换函数为，则切换函数为 即有即有 (3.6.15) (3.6.16)3.6.2 基于趋近律的位置跟踪系统基于趋近律的位置跟踪系统采用趋近律采用趋近律slaw，将式，将式(3.6

23、.13)代入式（代入式（3.6.16）中，）中，得控制律为得控制律为 (3.6.17)2. 实例实例 【例例3.6.2】选择被控对象为选择被控对象为(3.6.18)其中其中 ， 。即有即有(3.6.19)按照控制器的设计步骤设计控制系统。按照控制器的设计步骤设计控制系统。 3.6.2 基于趋近律的位置跟踪系统基于趋近律的位置跟踪系统误差为误差为 误差变化率为误差变化率为 (3.6.21) 切换函数为切换函数为取取 ， 从而，由式从而，由式(3.6.15)得系统控制作用得系统控制作用为为 (3.6.20) (3.6.22) (3.6.23)slaw取为指数趋近律：取为指数趋近律：3.6.2 基于

24、趋近律的位置跟踪系统基于趋近律的位置跟踪系统 (3.6.23)其中其中 ， 。 3.7 3.7 基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制 1 准滑动模态定义准滑动模态定义 所谓准滑动模态，是指系统的运动轨迹被限制在所谓准滑动模态，是指系统的运动轨迹被限制在切换面的某一切换面的某一 邻域内的模态。邻域内的模态。从相轨迹方面来说，从相轨迹方面来说，具有理想滑动模态的控制是使一定范围内的状态点均具有理想滑动模态的控制是使一定范围内的状态点均被吸引至切换面。而准滑动模态控制则是使一定范围被吸引至切换面。而准滑动模态控制则是

25、使一定范围内的状态点均被吸引至切换面的某一内的状态点均被吸引至切换面的某一 邻域内。通常邻域内。通常称此邻域为滑动模态切换面的边界层。称此邻域为滑动模态切换面的边界层。 在在边边界界层层内内，准准滑滑动动模模态态不不要要求求满满足足滑滑动动模模态态的的存存在在条条件件。因因此此，准准滑滑动动模模态态不不要要求求在在切切换换面面上上进进行行控控制制的的切切换换。它它可可以以是是在在边边界界层层上上进进行行结结构构变变换换的的 控制系统，也可以是根本不进行结构变换的连续状态控制系统，也可以是根本不进行结构变换的连续状态反馈控制系统。反馈控制系统。 准滑动模态控制在实现上的这种差别，使它从根准滑动模

26、态控制在实现上的这种差别，使它从根本上本上避免或削弱了抖振（作用）避免或削弱了抖振（作用），从而在实际中得到，从而在实际中得到了广泛的应用。了广泛的应用。 在连续系统中，常用的准滑动模态控制有以下两在连续系统中，常用的准滑动模态控制有以下两种方法。种方法。 (1) 用饱和函数用饱和函数 代替理想滑动模态控制作用代替理想滑动模态控制作用中的符号函数中的符号函数 。 3.7 3.7 基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制 3.7 3.7 基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模

27、变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制 其中其中 称为称为“边界层边界层”。饱和函数如图。饱和函数如图3.7.1所示。所示。 图图3.7.1(3.7.1) 3.7 3.7 基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制 控制律中采用饱和函数代替符号函数，其控制作用在控制律中采用饱和函数代替符号函数，其控制作用在本质上已变为：在边界层外，采用切换控制；在边界本质上已变为：在边界层外，采用切换控制；在边界层内采用线性化反馈控制。层内采用线性化反馈控制。， (2) 将继电特性连续化，用连续函数将继电特性连续化，用连续函数 取

28、代符号函取代符号函数数其中其中 是很小的正常数。是很小的正常数。2. 2. 实例实例实例实例 【例例3.7.1】仍选择被控对象为仍选择被控对象为(3.7.2)其中其中 ， 。即有即有 3.7 3.7 基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制 (3.7.3)(3.7.4) 按照按照3.6节控制器的设计步骤设计一个基于准节控制器的设计步骤设计一个基于准滑动模态的位置跟踪滑模变结构控制系统。滑动模态的位置跟踪滑模变结构控制系统。 由式由式(3.6.22)得系统控制作用为得系统控制作用为(3.7.5) 3.7 3.7 基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制基于准滑动模态的滑模变结构控制 slaw取为指数趋近律：取为指数趋近律： (3.7.6)其中其中 ， 。 现采用饱和函数取代控制作用中的符号函数，现采用饱和函数取代控制作用中的符号函数，即可实现准滑动模态下的滑模变结构控制。即可实现准滑动模态下的滑模变结构控制。 作用：准滑动模态下的滑模变结构控制具有削弱作用：准滑动模态下的滑模变结构控制具有削弱 抖振的效果抖振的效果