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1、概率的公理化定义及性质概率的公理化定义及性质1统计概率统计概率古典概率古典概率几何概率几何概率概率公理化定义概率公理化定义2 在学习几何和代数时，我们已经知道在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础公理是数学体系的基础. 数学上所说的数学上所说的“公理公理”，就是一些不加证明而公认的前提，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容一步的内容.3 即即通过规定概率应具备的通过规定概率应具备的基本性质来定义概率基本性质来定义概率. 下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义. 1933年，前苏联数学家柯
2、年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的尔莫哥洛夫给出了概率的公理公理化定义化定义. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，极为简单， 但在此基础上建立起了概率论但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦的宏伟大厦.4设设E是随机试验是随机试验 ,是它的样本空间是它的样本空间,若对于若对于E的每一个事件的每一个事件A都赋予一个实数都赋予一个实数 P (A),它满足以下它满足以下三个条件三个条件： () 对于每一事件对于每一事件A有有:( 3 ) 可列可加性：可列可加性： 公理化定义公理化定义则称则称 P(A) 为事件为事件A发生的概率发生的概率非负性非负性规范性规
3、范性. 概率的定义：概率的定义：( 2 ) 5公理公理1说明，任一事件的概率介于说明，任一事件的概率介于0与与1之间；之间；公理公理2说明，必然事件的概率为说明，必然事件的概率为1；公理公理3说明，对于任何说明，对于任何互不相容（互斥）互不相容（互斥）的的事件序列，这些事件至少有一个发生的概事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和率正好等于它们各自概率之和.6 由概率的三条公理，我们可以推导由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质出概率的若干性质. 下面我们就来给出下面我们就来给出概率的一些简单性质概率的一些简单性质.7即不可能事件的概率为即不可能事件的概率为0 .
4、 性质性质1 8 性质性质2 对于两两互不相容的事件对于两两互不相容的事件 A1,A2,An(即当即当ij时时,有有AiAj=),有有有限可加性9 性质性质3在概率的计算上很有用，如果在概率的计算上很有用，如果正面计算事件正面计算事件A的概率不容易，而计算其的概率不容易，而计算其对立事件对立事件 的概率较易时，可以先计算的概率较易时，可以先计算 ，再计算，再计算P(A). 性质性质3 对任一事件对任一事件A，有，有10例例1 设有产品设有产品50件件,其中其中3件次品件次品,其余为其余为合格品合格品,今从中任意抽取今从中任意抽取4件件,求至少一件求至少一件次品的概率次品的概率?11例例2 将一
5、颗骰子抛掷将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次次，问至少出一次“6”点的概率是多少？点的概率是多少？令令 事件事件A=至少出一次至少出一次“6”点点A发生发生出出1次次“6”点点出出2次次“6”点点出出3次次“6”点点出出4次次“6”点点直接计算直接计算A的概率较麻烦的概率较麻烦, 我们先来计算我们先来计算A的对立事件的对立事件=4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的概率的概率.12于是于是 =0.518 因此因此 = =0.482由于将一颗骰子抛掷由于将一颗骰子抛掷4次次,共有共有 =1296种等可能结果种等可能结果,而导致事件而导致事件 =4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的结果数有
6、的结果数有 =625种种 13例例3 有有r 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天的天的任何一天是等可能的，试求事件任何一天是等可能的，试求事件“至少有两至少有两人同生日人同生日”的概率的概率. 为求为求P(A), 先求先求P( )解：令解：令 A=至少有两人同生日至少有两人同生日 = r 个人的生日都不同个人的生日都不同则则14 性质性质4 如果如果 ，则有，则有15 性质性质5 对于任意两个事件对于任意两个事件A，B，则有，则有16 性质性质6 对于任意两个事件对于任意两个事件A，B，则有，则有17 推广推广1 对于任意三个事件对于任意三个事件A，B，C，则有，则有18 推
7、推广广2 设设A1, A1, An 为为n个个随随机机事事件件，有有19例例4 袋中装有红袋中装有红,白白,黑球各一个黑球各一个,每次从每次从袋中人取一个球袋中人取一个球,记录颜色以后再放回袋记录颜色以后再放回袋中中,这样连取这样连取3次次,求三次都没有取到红球求三次都没有取到红球或三次都没有取到白求的概率或三次都没有取到白求的概率?A=三次没有取到红球三次没有取到红球, B=三次没有取三次没有取到白球到白球20 它给出了概率所必须满足的最基本的它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础坚实的基础.我们介绍了我们介绍了概率的公理化定义概率的公理化定义 由概率所必须满足的三条公理，我们由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质推导出概率的其它几条重要性质. 它们在它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式计算概率时很有用，尤其是加法公式.21
