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1、3-5导数在经济分析中的应导数在经济分析中的应用用一、一、边际与边际分析边际与边际分析二、弹性与弹性分析二、弹性与弹性分析三、经济学中最优值问题三、经济学中最优值问题一、边际与边际分析1.边际成本边际成本设生生产q个个单位某位某产品品时，总成本成本为C = C ( q )，当，当产量增量量增量为时，相，相应的的总成本的增量成本的增量为，在，在平均成本平均成本为：称称为产量量为q个个单位位时的的边际成本，一般成本，一般记为： 则导数数例例1 设一企一企业生生产某某产品的日品的日产量量为800台，日台，日 产量量为q个个单位位时的的总成本函数成本函数为：求（求（1）产量量为600台台时的的总成本；
2、成本； （2）产量量为600台台时的平均的平均总成本；成本； （3）产量由量由600台增加到台增加到700台台时总成本的平均成本的平均变化率；化率； （4）产量量为600台台时的的边际成本，并解成本，并解释其其经济意意义。解解 这说明当产量达到这说明当产量达到600台时，再增加一台的产量，总台时，再增加一台的产量，总成本约增加成本约增加122个货币单位。个货币单位。2.边际收入边际收入 设某某产品的品的销售量售量为q个个单位某位某产品品时，总收入收入为R= R( q )，当当产量增量量增量为 q时，在时，在q,q相应的总利润的增量为相应的总利润的增量为平均收入平均收入为：称称为销售量售量为q个
3、个单位位时的的边际利利润，一般，一般记为： 则导数数解解 由已知总收入函数为：由已知总收入函数为：所以销售量为所以销售量为60件时的总收入为：件时的总收入为：销售量为销售量为60件时的平均收入为：件时的平均收入为：例例2 设某种电器的需求价格为：设某种电器的需求价格为：q=120-4p 其中其中p为销售为销售价格，价格，q为需求量。求销售量为为需求量。求销售量为60件时的总收入、平均件时的总收入、平均收入以及边际收入。销售量为收入以及边际收入。销售量为70件时，边际收入如何？件时，边际收入如何？并作出相应的经济解释。并作出相应的经济解释。销售量为销售量为60时的边际收入为：时的边际收入为：这说
4、明当销售量为这说明当销售量为60件时，再增加一件的销量不会增加件时，再增加一件的销量不会增加收入。收入。销售量为销售量为70时的边际收入为：时的边际收入为： 这说明当销售量为这说明当销售量为70件时，再增加一件的销量会减件时，再增加一件的销量会减少少5元的收入。元的收入。 设某某产品的品的销售量售量为q个个单位某位某产品品时，总收入收入为RL= L( q )，当当产量增量量增量为q时，在在q,q+q相应的总利润的增量为相应的总利润的增量为3.边际利润边际利润平均收入平均收入为：称称为销售量售量为q个个单位位时的的边际收入，一般收入，一般记为： 则导数数总利润、总收入和总成本有下列关系：总利润、
5、总收入和总成本有下列关系：L(q)=R(q)-C(q).解解 (1)由已知总收入函数为：由已知总收入函数为：所以总利润函数为：所以总利润函数为：（2）销售量为）销售量为60件时的平均收入为：件时的平均收入为： 这说明销售量达到这说明销售量达到420件时，再多销售一件该产品总件时，再多销售一件该产品总利润会减少利润会减少6元。元。（3）令）令所以销售量所以销售量q=410件时，利润最大。件时，利润最大。二、弹性与弹性分析1.弹性函数弹性函数定义定义 一般来说，函数的弹性反映了函数值对自变量的反应的一般来说，函数的弹性反映了函数值对自变量的反应的灵敏程度。灵敏程度。2.需求价格弹性需求价格弹性 设
6、某种商品的需求量为设某种商品的需求量为q，销售价格为销售价格为p，若需求的价格函若需求的价格函数数q=q(p)可导，可导，称为商品的需求价格弹性。称为商品的需求价格弹性。 一般来说，需求函数是单调下降的，所以一般来说，需求函数是单调下降的，所以 Epq1,则该商品是富有弹性的。则该商品是富有弹性的。即价格每上升即价格每上升1%，需求量将下降，需求量将下降|Epq|%。（2）若）若|Epq|=1,则该商品是具有单位弹性的。则该商品是具有单位弹性的。（3）若）若|Epq|1,则该商品是缺乏弹性的。则该商品是缺乏弹性的。解解 由于由于 所以这是一种富有弹性的商品，价格的变化对需求量有较大的影响，所以
7、这是一种富有弹性的商品，价格的变化对需求量有较大的影响，在在p=9时，价格每上升时，价格每上升10%，需求量下降，需求量下降18%。当价格下降。当价格下降10%，需求，需求量上升量上升18%，总收入上升，总收入上升8%，通过以上分析，当，通过以上分析，当p=9时，应当适当降价时，应当适当降价的决策。的决策。三、经济学中的最优值问题三、经济学中的最优值问题1.最大利润问题最大利润问题设总利润为设总利润为L(q),总成本为总成本为C(q),总收入为总收入为R(q)，有下列关系：有下列关系：L(x)=R(x)-C(x)例例5 如果销售量如果销售量q千克的总利润函数为千克的总利润函数为：问销售多少千克能获利最大？问销售多少千克能获利最大？ 令令解：因解：因 为为得得因为因为所以所以所以所以 q=11 是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为例例 6 设某企业生产设某企业生产q个单位的总成本函数个单位的总成本函数：（2）最小平均成本以及相应的边际成本。）最小平均成本以及相应的边际成本。（1）求使得平均成本）求使得平均成本最小。最小。令令解：因为解：因为（1）所以所以（2）所以）所以是极小值。是极小值。得得因为因为得唯一的极小值点。得唯一的极小值点。所以所以是是
