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1、第二节第二节 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法本节要点本节要点 本节通过复合函数的求导公式本节通过复合函数的求导公式, 建立了不定积分的换建立了不定积分的换一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法元积分公式元积分公式.一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法 在这一目中在这一目中, 我们将主要考虑复合函数的积分问题我们将主要考虑复合函数的积分问题.我们知道我们知道 由此得由此得. 又如又如, 考虑积分考虑积分因为因为 即有即有积分积分, 一般情况又将如何一般情况又将如何, 这就是下面的积分方法这就是下面的积分方法即将被积函数写成复合求导形式即将被
2、积函数写成复合求导形式, 从而求出相应的不定从而求出相应的不定第一类换元积分法第一类换元积分法. 基本思想基本思想: 若若 有原函数有原函数 即即则则 即有下面的即有下面的.定理定理设函数设函数 有原函数有原函数 且且 可导可导,则有积分公式则有积分公式 公式公式又称为凑微分法又称为凑微分法, 其要点是其要点是: 若被积函数能写若被积函数能写成两项的乘积成两项的乘积, 且其中的一项为复合函数的形式且其中的一项为复合函数的形式, 而而另另一项可以凑成中间变量的导数形式一项可以凑成中间变量的导数形式, 则可以考虑使用则可以考虑使用此此方法方法.证证 因函数因函数 连续连续, 故存在原函数故存在原函
3、数 满足满足再由复合函数的求导公式再由复合函数的求导公式, 得得此说明此说明 即即 为函数为函数 的的原函数原函数, 又因为它含有任意常数又因为它含有任意常数, 从而从而式成立式成立. 注意到注意到, 在在中积分公式中积分公式的选择的选择, 原函数应该是在基本积分公式中已有的积分原函数应该是在基本积分公式中已有的积分.例例1 求积分求积分解解 一般地一般地: 当被积函数形式为当被积函数形式为 时时, 总可作变总可作变换换 , 即若即若 有原函数有原函数 , 则则 类似地有类似地有例例2 求积分求积分解解 因因 得得 例例3 求积分求积分解解例例4 求积分求积分解解例例5 求积分求积分解解 同理
4、可得同理可得例例6 求积分求积分解解 同理可得同理可得 例例7 求积分求积分解解 因因故故 值得注意的是值得注意的是, 上面的例上面的例5, 例例6, 例例7均可以作为基本均可以作为基本的积分公式的积分公式.例例8 求积分求积分解解 注意到注意到 则有则有注意注意 在三角函数的积分中在三角函数的积分中, 利用三角恒等式对三角函利用三角恒等式对三角函数做某些变换是积分中经常使用的方法数做某些变换是积分中经常使用的方法. 常用的三角公常用的三角公式是式是:例例9 计算下列积分计算下列积分: 解解 例例10 求积分求积分解解 又又,即即注注 此题中的两个公式也可作为两个基本的积分公式此题中的两个公式
5、也可作为两个基本的积分公式.例例11 求积分求积分解解例例12 求积分求积分解解 分子分母同除以分子分母同除以 , 并注意到并注意到则有则有例例13 求积分求积分解解 由三角公式由三角公式得积分得积分 定理定理 设设 是单调的、可导函数是单调的、可导函数, 且且 证证 设设 的原函数为的原函数为 , 记记由由二、第二类换元法二、第二类换元法又又 有原函数有原函数, 则有换元公式则有换元公式知知 是是 的原函数的原函数, 所以有所以有 上述积分方法即称为上述积分方法即称为第二类换元积分法第二类换元积分法. 一般一般, 当被积函数中含有当被积函数中含有 等因子时等因子时作代换作代换,作代换作代换可
6、通过适当的三角代换来求出相应的积分可通过适当的三角代换来求出相应的积分. 常用代换有常用代换有:作代换作代换作代换作代换这类代换的主要目的是这类代换的主要目的是消去积分表达式中的根式消去积分表达式中的根式.例例14 求积分求积分解解 令令由由 原积分为原积分为例例15 求积分求积分解解 做变换做变换 则原积分为则原积分为:例例16 求积分求积分解解 令令由由 知知则则所以所以同理可得同理可得 注注 本题中的两个积分结果也是常用的积分基本公式本题中的两个积分结果也是常用的积分基本公式.例例17 求积分求积分解解 令令则则本节又建立了如下的一些积分公式本节又建立了如下的一些积分公式:(2121)(2222)(23) 利用上述积分公式利用上述积分公式, 我们可以计算下面积分我们可以计算下面积分.例例18 求积分求积分其中其中 为非零常数为非零常数.解解 令令 则则例例19 求积分求积分解解 令令 所以原积分为所以原积分为故故 注注 对形如对形如 的积分的积分, 常用代换常用代换从而将积分转换为从而将积分转换为例例20 求积分求积分解解 令令则有则有例例21 求积分求积分 解解 令令则则
