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1、 第二节第二节 离散随机变量及其分布律离散随机变量及其分布律一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定义定义离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为或或离散型分布律的两个基本性质离散型分布律的两个基本性质证明：因为证明：因为x1,x2,x3,.是是X的所有可能取的值，且的所有可能取的值，且当当ij时，时，X=xi X=xj= ，故，故从而有从而有 分布函数分布函数分布律分布律离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布律与分布函数的关系=P(抽得的两件全为次品抽得的两件全为次品)求分布律举例求分布律举
2、例 例例 设有一批产品设有一批产品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，从中件次品，从中任意抽取任意抽取2 2件，如果用件，如果用X X表示取得的次品数，求随机变表示取得的次品数，求随机变量量X X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”的概率。的概率。解解：X的可能取值为的可能取值为 0，1，2=P(抽得的两件全为正品抽得的两件全为正品)PX=1PX=2=P(只有一件为次品只有一件为次品)PX=0故故 X X的分布律为的分布律为而而“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”=X1X1 = = X=1X=1 X=2X=2 P P X1X1 = P= P X=1X=1 +P
3、+P X=2X=2 注意：注意： X=1X=1 与与 X=2X=2 是互不相容的是互不相容的！ 实际上，这仍是实际上，这仍是古典古典概型的计算题，只是表达事概型的计算题，只是表达事件的方式变了件的方式变了故故 从一批次品率为从一批次品率为p p的产品中，有放回抽样直到抽的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X X的分布的分布律。律。 解解 记记A Ai i= =“第第i i次次取到正品取到正品”,i=1,2,3,i=1,2,3, 则则 A Ai i , , i=1,2,3,i=1,2,3, 是相互独立的！是相互独立的！ 且且X X
4、的的所有所有可能取值为可能取值为 1 1 1 1，2 2 2 2，3 3 3 3， ,k, ,k, ,k, ,k,P(X=k)=P(X=k)=P(X=k)=P(X=k)=(1-(1-(1-(1-p)p)p)p)k-1k-1k-1k-1p ,k=1,2,p ,k=1,2,p ,k=1,2,p ,k=1,2,( ( X=k )X=k )对应着事件对应着事件 例例设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为试确定常数试确定常数b.解解由分布律的性质由分布律的性质,有有例例二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布1 1、两点分布、两点分布、两点分布、两点分布(0-1(0-1分布分
5、布分布分布 ) ) 1p p P 0 1 X 则称则称X服从服从参数为参数为p 的两点分布或的两点分布或(0-1)分布分布,背景背景：样本空间只有两个样本点的情况样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来都可以用两点分布来 描述。描述。如：上抛一枚硬币。如：上抛一枚硬币。 定义：定义：定义：定义： 若随机变量若随机变量X X的分布律为的分布律为:例例设一个袋中装有设一个袋中装有3 3个红球和个红球和7 7个白球，现在从中个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数并且用数“1 1”代表取得红球，代表取得红球，“0 0”代表取得代
6、表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量随机变量其概率分布为其概率分布为即即X X服从两点分布。服从两点分布。 其中其中0 p 0, 则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布XP( )n定义定义泊松分布的图形泊松分布的图形n服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数X X；n交换台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;Y;n矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数; ;n显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；n单位体积空气中含有某
7、种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。n 实际问题中若干实际问题中若干R.v.XR.v.X是服从或近似服从是服从或近似服从 PoissonPoisson分布的分布的 已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X X服从服从的泊松分布，分别的泊松分布，分别 求（求（1 1）每分钟内恰好接到）每分钟内恰好接到3 3次呼唤的概率；（次呼唤的概率；（2 2）每分钟不超过）每分钟不超过4 4次的概率次的概率例例解解泊松定理泊松定理泊松定理泊松定理 实际应用中实际应用中：当
8、当n n较大较大,p,p较小，较小，npnp适中时，即适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式可用泊松公式近似替换二项概率公式二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似The Poisson Approximation to the Binomial Distribution二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小上面我们提到上面我们提到例例 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人 (工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生配备少了又要影响生产产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台
9、工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于0.01?解解所需解决的问题所需解决的问题使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题由泊松定理得由泊松定理得故有故有即即个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8例例:设一只昆虫所产虫卵个数设一只昆虫所产虫卵个数X服从参数为服从参数为的泊松分布，的泊松分布，而每个虫卵发育为幼虫的概率为而每个虫卵发育为幼虫的概率为p，并且各个虫卵是否发，并且各个虫卵是否发育成幼虫是相互独立的。试证明：一只昆虫的下一代幼虫育成幼虫是相互独立的。试证明：一只昆虫的下一代幼虫个数个数Y服从参数为服从参数为p的泊松分布。的泊松分布。证明：证明：由由题设知这里这里q=1-p,由全概率公式得由全概率公式得即即Y服从参数服从参数为为p的泊松的泊松分布分布.
