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1、高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民高等数学高等数学7/25/20241 1高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民定义定义：垂直于平面垂直于平面的非零向量，称为该平面的的非零向量，称为该平面的法向量法向量。已知平面已知平面上一点上一点 及它的法向量及它的法向量一、平面方程的各种形式一、平面方程的各种形式第五节第五节 平面及其方程平面及其方程1. 点法式方程点法式方程求平面求平面的方程。的方程。平面的平面的点法式方程。点法式方程。7/25/20242 2高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2. 三点式方程三点式方程已知平面已知平面上三点上三点求平面求平面的方程。
2、的方程。解解M1、M2、M3 三点共面三点共面设设M( x, y, z )是平面是平面上任意一点上任意一点M1MM2M37/25/20243 3高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民3.3.截距式方程截距式方程已知平面已知平面与三个坐标轴的交点与三个坐标轴的交点A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)求平面求平面的方程。的方程。4.4.平面的一般方程平面的一般方程任意一张平面总可以用平面上一点及它的法向量表示，即任意一张平面总可以用平面上一点及它的法向量表示，即平面的一般方程平面的一般方程平面平面的法向量的法向量7/25/20244 4高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下
3、）主讲杨益民平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面平行于平面平行于x轴；轴；平面平行于平面平行于xoy坐标面；坐标面；平面过平面过x轴；轴；注：注： 平面的一般方程平面的一般方程 中只有三个中只有三个独立的常数，即：三个条件确定一张平面。独立的常数，即：三个条件确定一张平面。例如例如：（：（1）三个点；（）三个点；（2）一点加一方向；（）一点加一方向；（3）其它形式三个条件）其它形式三个条件7/25/20245 5高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民则：则：化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解解解7/25/20246
4、 6高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民因为平面过原点，设所求平面方程为因为平面过原点，设所求平面方程为所求平面方程为所求平面方程为:解解平面过点平面过点(6,-3,2),7/25/20247 7高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例4 4 试求过试求过A(4,1,2)、B(-3,5,-1)且垂直于平面且垂直于平面1的平面方程。的平面方程。解：解： 法法1：再用点法式方程再用点法式方程法法2： 由三个条件代入一般方程，解方程组确定由三个条件代入一般方程，解方程组确定A、B、C、D法法3：再用点法式方程再用点法式方程法法4：设所求平面上一点设所求平面上一点M(x, y,
5、 z)，则则MA、AB、n1共面共面7/25/20248 8高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面的法向量之间的夹角称为两平面的夹角。两平面的法向量之间的夹角称为两平面的夹角。二、两平面的夹角二、两平面的夹角7/25/20249 9高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民则两向量夹角余弦公式：则两向量夹角余弦公式：两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：(3) 1与与2重合重合(1) 1与与2垂直垂直(2) 1与与2平行平行7/25/20241010高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例5 5
6、 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角（1）（2） 平行平行（3）垂直垂直7/25/20241111高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民解解三、空间一点到平面的距离三、空间一点到平面的距离点到平面距离公式点到平面距离公式7/25/20241212高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民注：注：空间直线的一般方程不唯一空间直线的一般方程不唯一一、空间直线方程的各种形式一、空间直线方程的各种形式第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程1. 空间直线的一般方程空间直线的一般方程2. 空间直线的对称式方程（点向式
7、方程）空间直线的对称式方程（点向式方程）定义：定义：平行于一条已知直线平行于一条已知直线L的的非零向量非零向量 ，称为这条直线，称为这条直线L的的方向向量方向向量。7/25/20241313高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民若已知直线若已知直线L的方向向量的方向向量 及直线上一点及直线上一点 则此直线的方程为：则此直线的方程为：直线的对称式方程直线的对称式方程注：注：（1）直线的方向向量的坐标）直线的方向向量的坐标m、n、p称为直线称为直线L的一组的一组方向数方向数。（2）在直线）在直线L的对称式方程中方向数不唯一。的对称式方程中方向数不唯一。（3）对称式方程中，若有方向数为零，
8、应作如下理解：）对称式方程中，若有方向数为零，应作如下理解：7/25/20241414高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民3. 空间直线的参数方程空间直线的参数方程令令直线的参数方程直线的参数方程4. 空间直线的两点式方程空间直线的两点式方程直线的两点式方程直线的两点式方程7/25/20241515高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民注：注：直线的四种方程本质上都是由两个平面方程联立得到，直线的四种方程本质上都是由两个平面方程联立得到， 四种方程之间可以相互转化。四种方程之间可以相互转化。例例1 1 将下面直线的一般方程化为对称式方程、参数方程及两将下面直线的一般方程化为对称式方程、参数方程及两 点式方程。点式方程。例例2 2 一直线过点一直线过点A(2,-3,4)，且和，且和y轴垂直相交，求其方程。轴垂直相交，求其方程。解解所以交点为所以交点为B(0,-3,0)因为直线与因为直线与y轴垂直相交，轴垂直相交，由两点式写出方程。由两点式写出方程。7/25/20241616
