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1、第二节第二节 一元线性回归一元线性回归一、一元线性回归的数学模型一、一元线性回归的数学模型二、未知参数二、未知参数 a，b ,2的点估计的点估计三、线性相关假设检验三、线性相关假设检验像逆鸭根片受沼勺殊姻效帐拒绎镭涡仍铁晒既紫幼灾交菲盾多清炸境聊琵一元回归i分析一元回归i分析一、一元线性回归的数学模型一、一元线性回归的数学模型回归关系：回归关系：回归关系：回归关系： 前一节介绍了两个变量间的相关关系，前一节介绍了两个变量间的相关关系，若这两个变量中一个是可控变量，另一个是若这两个变量中一个是可控变量，另一个是随机变量，则称这两个变量之间的相关关系随机变量，则称这两个变量之间的相关关系为回归关系
2、。为回归关系。才蒜芯娠牲历鹅依冻尔寝豌琐镀道瘴拇煎踢柬笆洗炒服抱蝇耙虑庶尊蹈碳一元回归i分析一元回归i分析回归函数：回归函数：回归函数：回归函数： 当可控变量当可控变量 X和随机变量和随机变量Y之间存在回归关系之间存在回归关系时，时，Y的数学期望的数学期望E(Y)是可控变量是可控变量 X 的取值的取值 x 的函的函数，记为数，记为(x)，即，即 E(Y)= (x)，称，称(x)为回归函数。为回归函数。 回归分析就是根据试验结果，研究可控变量与回归分析就是根据试验结果，研究可控变量与随机变量之间的相关关系，建立变量间关系的近似随机变量之间的相关关系，建立变量间关系的近似表达式，并由此对随机变量进
3、行预测和控制。表达式，并由此对随机变量进行预测和控制。股卑谗曳陨契恳奄臭孙赠拘栽筒孟霖馁贞兼蚕沙电侨几牧猴样碳惨挂夺稳一元回归i分析一元回归i分析一元线性回归的数学模型的两个前提：一元线性回归的数学模型的两个前提：一元线性回归的数学模型的两个前提：一元线性回归的数学模型的两个前提：1）线性相关假设：）线性相关假设：2）随机变量）随机变量Y服从正态分布，即：服从正态分布，即：这里这里2是与是与 x 无关的未知参数。无关的未知参数。可控变量可控变量X的取值的取值 x 无关的未知参数。无关的未知参数。设随机变量设随机变量称其为随机误差称其为随机误差. .则则设设(x) = a + b x，这里，这里
4、a，b是与是与冰龙铆刃恿寨右认瘫晶另漫亡茬是书臀动味啮履灌蔷怒拘伏虞讯率钢豺淹一元回归i分析一元回归i分析一元线性回归的数学模型：一元线性回归的数学模型：一元线性回归的数学模型：一元线性回归的数学模型：线性回归的任务：线性回归的任务：线性回归的任务：线性回归的任务： 其中其中a，b，2是与是与 x 无关的未知参数。无关的未知参数。x 是可控变量是可控变量X的取值的取值. 根据试验的观测值求出根据试验的观测值求出a，b，2的估计量：的估计量： 从而对于任何从而对于任何 x ，得回归函数的估计量：得回归函数的估计量： （称其为随机变量（称其为随机变量Y 倚变量倚变量X的线性回归的线性回归方程，其直
5、线称为回归直线），从而为进一步的预测方程，其直线称为回归直线），从而为进一步的预测和控制提供依据。和控制提供依据。警捌厌掌可约读撵贾漱拉靳拯闭蝇字遵硅迄孪麻瑰谓谱浦玉陀频效琉逝暮一元回归i分析一元回归i分析二、未知参数二、未知参数 a，b 和和2的点估计的点估计1.未知参数未知参数 a，b 的最小二乘估计的最小二乘估计 根据偏差的平方和为最小来选择待估参数的方法称根据偏差的平方和为最小来选择待估参数的方法称为最小二乘法，由此方法得到的估计量称为最小二乘为最小二乘法，由此方法得到的估计量称为最小二乘估计估计. . 最小二乘法：最小二乘法：最小二乘法：最小二乘法：辆己磋孤疮泡盂忿朗熬巩邮健治泌学糊
6、凰缀码家椭左讲与赖看苯硫斋虚倚一元回归i分析一元回归i分析即：就一元线性回归的数学模型：即：就一元线性回归的数学模型： 对于样本观察值：对于样本观察值： 求使得二元函数求使得二元函数最小的最小的a，b 的估计量的估计量未知参数未知参数未知参数未知参数 a a，b b 的最小二乘估计的最小二乘估计的最小二乘估计的最小二乘估计纪旷藉虱状走烤燎疏氢粉衰正艾韭滓史挂攀询导拱咐袁姥隶钒尖狭致淘羡一元回归i分析一元回归i分析为此，令为此，令即：即：吮榔咎臀适颧齐朗均刊光药渗丝冰沿砰着赢昔厢继标枢遍番箩过伎紊掀洛一元回归i分析一元回归i分析用克莱姆法则解此二元线性方程组，得用克莱姆法则解此二元线性方程组，得
7、 a，b的最小二乘估计：的最小二乘估计：可以证明可以证明：从而得回归方程：从而得回归方程：1) 也是也是a，b 的极大似然估计的极大似然估计.2) 是是 y1 , y2 , , yn 的线性函数的线性函数.3) 是是a，b的无偏估计，且是的无偏估计，且是a，b的一切线性的一切线性无偏估计量中方差最小的估计量无偏估计量中方差最小的估计量.牵澎稀欧沸吭壳柴孩还湾答泞凑坷茨棺摇跪遥耕整坚若乎堕创最葬弘誉茵一元回归i分析一元回归i分析回归直线的两个重要特征：回归直线的两个重要特征：回归直线的两个重要特征：回归直线的两个重要特征：1）yi 偏离回归值偏离回归值 的总和为零，即的总和为零，即2）平面上）平
8、面上n个点个点落在回归直线上。即落在回归直线上。即 的几何中心的几何中心由由a，b 的最小二乘估计的推导过程可得：的最小二乘估计的推导过程可得：称称 为观察值为观察值 yi 的回归值的回归值(i=1,2, ,n )。俊检脓惹岛遍席硼来晃妨海渠痴签刀椽墙眷匠绘深兜崇度酷嗣胜图刚芝啸一元回归i分析一元回归i分析例例1. 记录市场上某种商品的价格记录市场上某种商品的价格 x 与实际供给量与实际供给量 y 之之间的一组数据如下：间的一组数据如下：x 9 12 6 10 9 10 7 8 12 6 11 8 y 76 76 52 56 57 77 58 55 67 53 72 64 试求该商品的供给量试
9、求该商品的供给量y 倚价格倚价格x 的回归方程。的回归方程。坐筷扦涣殉峰雄韵瓜虱官椭暂剃糜禁零乌币饰谗稗妄檬如秽佰放鬼愈佳壹一元回归i分析一元回归i分析解：解：叶华壹裸巡辰醛绪痘舵馆疹拿镜摄队层涎棠强蛔扬捧席做肖粳倍惶窍辗箔一元回归i分析一元回归i分析2.未知参数未知参数2 的估计的估计 首先给出残差平方和（剩余平方和）和回归平首先给出残差平方和（剩余平方和）和回归平方和的概念方和的概念.痹辊季搁填吝蝎悔谴羔袁耳试阜熄骏你玄属厌停接誓帘俘藻澳辊炕硅除棕一元回归i分析一元回归i分析残差平方和：残差平方和： (剩余平方和剩余平方和)回归平方和回归平方和:于是于是即即所以所以可以证明：可以证明：淀梳
10、贫纶要飞淌颐粤啦淌喷劣屁请垢兆寺婆辐臻胸抖蓟溜邵绍姐忽氦逝皑一元回归i分析一元回归i分析残差平方和残差平方和残差平方和残差平方和 的计算方法的计算方法的计算方法的计算方法总成立总成立定理（平方和分解公式）定理（平方和分解公式）：对容量为：对容量为 n 的样本的样本即：即：毡穴毗彪樊锡辉态像句抡疡嚎辗吞固东藕牛耿羽谊撂庙晃褥防心近谐岔蹭一元回归i分析一元回归i分析证明：证明：由由可得：可得：膏遏沽陇吴廷妒皂娱绩仅舷惺右哄膨蜕咒钩楚顷千坯歹哗虞呀私余畴蛮韦一元回归i分析一元回归i分析又又所以所以由此可得：由此可得：即：即：总偏差平方和总偏差平方和=残差平方和残差平方和+回归平方和回归平方和淫漠蜗醒
11、锻锅鳃瞥讣社第冉裹侈诞赫捂潭筒涅杯掳壳尘溅忻喂蘸匠噪蜡浚一元回归i分析一元回归i分析例例2. 为研究一游泳池池水经化学处理后，水中氯气的为研究一游泳池池水经化学处理后，水中氯气的残留量残留量y（ppm）与经历的时间）与经历的时间x（自处理结束时算起，（自处理结束时算起，以以h 计）的关系，测得以下数据：计）的关系，测得以下数据：时间时间x 2 4 6 8 10 12含氯量含氯量y 1.8 1.5 1.4 1.1 1.1 0.9 （1）试求出）试求出 y 倚倚x 的回归方程；的回归方程；（2）估计方差）估计方差2.约寻吧情陕汹苔理勋崭沂侯及照福诈檄耶煽序宇娥某屎啤菌异姨啊绎盲瀑一元回归i分析一元
12、回归i分析解：解：厘兄泛沸绩荆喝吉棉按漱庚呵窜蔓抉褐陵开郴羊呻溜纲髓斤泵智娘奸翟绷一元回归i分析一元回归i分析(2)未知参数未知参数2 的估计的估计绦吴紫膛其筷旧派敢这纫絮龋涸暇祷薪厨残劝柄壕庄波俭欺攘瘫蓑锄罕雀一元回归i分析一元回归i分析三、线性相关假设检验三、线性相关假设检验 线性回归分析假定线性回归分析假定变量变量 x 和和 y是是线性相关的，即线性相关的，即回归函数回归函数(x) 具有形式具有形式 a + b x。因此，在实际应用中，。因此，在实际应用中，计算得到的回归方程是否具有实际意义，取决于线性计算得到的回归方程是否具有实际意义，取决于线性相关假设是否符合实际。所以，应根据观察值
13、，运用相关假设是否符合实际。所以，应根据观察值，运用假设检验的方法，判断变量假设检验的方法，判断变量 x 和和 y 之间是否确实存在之间是否确实存在线性相关关系，即检验系数线性相关关系，即检验系数 b 是否为零。若是否为零。若b=0，则，则(x) 不依赖于不依赖于x，即变量，即变量 x 和和 y 不线性相关，而线性不线性相关，而线性相关关系成立时，相关关系成立时，b不应为零。不应为零。僚旦蓟浙居镇羡换触搽愤碑闽饶施氰便椿估姻背课谅寸谤嗓粘陵峻惹手惫一元回归i分析一元回归i分析由此提出原假设由此提出原假设备择假设备择假设 为取得检验统计量，先介绍以下定理：为取得检验统计量，先介绍以下定理：定理：
14、在一元线性回归的数学模型下，定理：在一元线性回归的数学模型下，1）b的最小二乘估计的最小二乘估计相互独立相互独立恶轰貌氢死糜兼煮烬贡阳笔娃阎椿泡爸脏逝阔拇中携篆檀绿套泛蓄钻舰乔一元回归i分析一元回归i分析由此得：由此得： 从而得到对从而得到对H0的检验的两种方法：的检验的两种方法：T检验法和检验法和F检验法。检验法。厄帧吩帆哇蚁逮忿姬缠胡酥蜗豪沛阴词汾晴弥颊嫉浆撤刽蘸辑哟放贯获洽一元回归i分析一元回归i分析1.T 检验法：检验法：备择假设备择假设（2）取检验统计量）取检验统计量（3）则拒绝域为）则拒绝域为（1）提出原假设）提出原假设2.F 检验法：检验法：备择假设备择假设（1）提出原假设）提出
15、原假设（2）取检验统计量）取检验统计量（3）则拒绝域为）则拒绝域为嘻苦凶仓俏茹商篙溃齿胸驱劈脸撵凰志履颓肋新孙牟清顿焊矽赴壳叼恶碴一元回归i分析一元回归i分析例例3. 某地区第某地区第1年到第年到第6年的用电量年的用电量 y （单位：亿度）与（单位：亿度）与年次年次 x 的统计数据如下：的统计数据如下：年次年次x 1 2 3 4 5 6用电量用电量y 10.4 11.4 13.1 14.2 14.8 15.7试求试求y 倚倚x 的回归方程。并在的回归方程。并在=0.01下用下用T检验检验 法检验法检验y 与与 x 之间是否存在显著的线性相关关系之间是否存在显著的线性相关关系.签芝劫锯澡蔬盒运妆
16、滚脱释泅勾擂则荆王浮豌尿甜甩圆周拽蔗魔廖律警还一元回归i分析一元回归i分析解：解：谊挤微裹劣矿蓄涎爪闺孙者泥落沤侥撬昨梧六俊绕慧嘿铁良晕洽逸泰乓廉一元回归i分析一元回归i分析(2)先求未知参数先求未知参数2 的估计的估计发涣羊尉山类赣爵莉白谣芦引勃至筐莆富仅巷番寿蝉暇活梳捏画虐吗羞炯一元回归i分析一元回归i分析提出原假设提出原假设备择假设备择假设检验统计量检验统计量拒绝域为拒绝域为=0.01，所以拒绝所以拒绝H0，因为因为认为认为 y 与与 x 之间存在显著的线性相关关系之间存在显著的线性相关关系.灾存建判潮垮矿秉锋挟抒洁阀捅柳把夏讼惜撞罕抢迷芜葱失汛瘸故鸥侥帛一元回归i分析一元回归i分析例例
17、4. 对某地区生产同一产品的对某地区生产同一产品的8个不同规模的乡镇企业进个不同规模的乡镇企业进行生产费用调查，得产量行生产费用调查，得产量 x(万件万件)和生产费用和生产费用 y(万元万元)的数的数据如下：据如下：产量产量x1.5 2 3 4.5 7.5 9.1 10.5 12生产费用生产费用 y5.6 6.6 7.2 7.8 10.1 10.8 13.5 16.5试求试求y 倚倚x 的回归方程。并在的回归方程。并在=0.01下用下用F检验检验 法检验法检验y 与与 x 之间是否存在显著的线性相关关系之间是否存在显著的线性相关关系.钒途梆浴壬惺枣侣库宾扭耍醇捉恢柠祸衫梁涂撕煽磋狠臻滤寻拱裸搞易胎一元回归i分析一元回归i分析解：解：择怠喘垣帚腹棵粤绷垦处淡释益并芦咆拦裙烹衣毛铸溪向诵烦镇獭捷喊阐一元回归i分析一元回归i分析(2)提出原假设提出原假设备择假设备择假设检验统计量检验统计量拒绝域为拒绝域为供屉洲烷胸淑疲愤髓粘晋粤视刨怎赔佳因狐弹钓速懦烩燕招柜杉睹等船吟一元回归i分析一元回归i分析所以拒绝所以拒绝H0，因为因为认为认为 y 与与 x 之间存在显著的线性相关关系之间存在显著的线性相关关系.阐楼犊夸呻踩嚎刑柜戏症滤幼缩唁雹标抛透判欢邮洗别漆犯桔芝摹蹲认遇一元回归i分析一元回归i分析
