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1、一、微分的概念一、微分的概念 实际工作中，常要计算y=f (x+ x)f (x).f (x)的表达式复杂时, y的计算也较复杂, 不好算.但当 要找y的近似公式. 这一近似公式应满足(i)好算, (ii)具有起码的精度.334 4 微分与差分微分与差分朽咸禾漂龟徒禽台乎自由赏蓖秀萌监忙比倘挚黎坛厂壕永云茹优本狸黍薯一微分的概念一微分的概念例例1.1. 一正方形金属薄片受温度影响, 其边长由x0变到x0+x, 求此薄片面积改变了多少？解：解：如图,因此,面积的改变量为x0x0xxxx当正方形边长为x时,面积A=x2. 娄幸燃撅者董淌奎肝挟啮碴遁壳装试出停规藤拽蛮盆守允票惨徽祝钧赠验一微分的概念一
2、微分的概念1. 定义定义. . 设y=f (x)在 x0 的某邻域U(x0)内有定义.如果 y = f (x0+ x)f (x0)可表示成y = A x+o ( x) 其中A为只与x0有关而与x无关的常数. 则称y=f (x)在点x0处可微. 称A x 为f (x)在x0点相应于 x 的微分. 记作d y，即dy = A x 摆表搪掏纬妒卢蛊诅谜韧弥缺钡跨摔贯狰恬抑酞礼抉绸消撰禄队赐冈夹常一微分的概念一微分的概念注注1.1. 若y=f (x)在x0可微，则微分d y= A x是x的线性函数.另外, 当A0, x0时, y dy.这是因为注注2.2. 当y = f (x)在x0可微时，ydy =
3、 o(x)(x0)(x0)默搁方双征研曹歌巢狼沃蛆钠懈示沟茁蕉煽饰或酚逻挛菏颅翅葫藕红蒙纶一微分的概念一微分的概念2. 可微与可导的关系定理定理1.1. y=f (x)在x0可微的充要条件是y=f (x)在x0可导. 且当y在x0可微时. dy=f (x0)x.证：证： 必要性必要性. . 若y=f (x)在x0可微. 由定义y=A x+o ( x)从而故 y = f (x)在x0可导. 且即授拟稽寸涅吊骏民湛壮勋稻登嗣柴嘴雷绎堕富间犬坡葡闻野粮握贸企荤诉一微分的概念一微分的概念充分性，充分性，若y=f (x)在x0可导.故或由于故y=f (x)在 x0可微. 且dy=f (x0)x. 定理1
4、告诉我们，对于一元函数y=f (x)而言,可微与可导是等价的.蘸渺忿贪粹迎宁伍页青钻腊芯菌缚爸柄坊诣棘算辩拒蚕领报丁尸铱最肩蛛一微分的概念一微分的概念3. 若y=f (x)在(a, b)内每一点处均可微(可导),则称f (x)在(a, b)内可微.这时, 对x(a, b), 有dy=f (x)x, 称为函数y(在x点)的微分. dy=f (x)x是一个既与x又x与有关的量. 这里x 与x是独立变化的.司吃贤冤油坠限谐候钠槛坤户烙鲜续透播判它峪丰捌降抨仁拐藐驭哄猜妓一微分的概念一微分的概念4. 记dx=x. 称为自变量x的微分.即, 自变量x的微分就等于自变量的增量.上述定义是合理的.失乓如疏队
5、拿湾濒坛剥涯瞬位低裹杂孺冰翼乳雕恒铂脖迸膀骄珊苛慰炔懦一微分的概念一微分的概念例例2.2. 设y=x，求y的微分dy=dx.解：解： dy = f (x)x=(x) x=x即 dx = x由于有3、4中记号，从而dy = f (x)dx.同除以dx, 及即 函数的导数就等于函数的微分与自变量的微分之比.牲妄拴蚌欠尹袋弟果溜芝肪寸蒲奔儿涧敞咖铭京华赁镀府齿外棺仙淫男壹一微分的概念一微分的概念5. 微分的几何意义如图过M作切线MT, 倾角为给x=dx0. 得点x0+ x, 以及点N, P, Q.由导数的几何意义同乘以x=dx, 得 dy=PQ.Mx0NTyxoQPy=f (x)厨嗓应拱梦麦惟宜前减
6、费奋研基吩礼过把艾寞御豆嘎锈迫久耕粗廷菲谓柱一微分的概念一微分的概念y = NQ 表示曲线y = f (x)上纵坐标的增量，dy =PQ 表示切线MT 上纵坐标的增量,ydy = NP= o(x)在PMQ中, MQ=dx, PQ=dy.而Mx0NTyxoQPy=f (x)糙砷猜撂十案靳牢粟块乏珊邮晓斋镭侄焚胎却拄苔竹闺倾坍猿汀置榆撬旁一微分的概念一微分的概念二、微分公式及运算法则二、微分公式及运算法则 由于dy=f (x)dx. 因此，微分公式及运算法则与导数公式及运算法则完全类似.如 (sinx)=cosx.从而d(sinx)=cosxdx. 等等.腿猾晚宪装薪矩迹庚赖扛书贸闪二裳景加偏彪炸
7、剁渴赡彬镭本段脱稍渡摸一微分的概念一微分的概念1. 四则运算法则：设u = u(x), v = v(x)均可微. 则呕殖弘陋遮痪出骏鸥蓟钎陇邦夕孟认前釜盟锤谰墒帮匡地镑党牢婿肥芭仁一微分的概念一微分的概念2. 复合函数的微分 我们知道当x为自变量时, 有dy=f (x)d x.若y=f (u), u不是自变量, 是否仍然有dy=f (u)du?设u= (x), 在x点可导, 而y=f (u)在相应的点u=(x)处可导. 求复合函数 y=f (x)的微分.诅跳撕譬单夜坤氨龙蒸免酒湾蛔亨海顺炼赐雕宾熄桨抽印哎洛战辆符作烟一微分的概念一微分的概念从而,即可见，不论u是自变量还是中间变量, 总有这一性
8、质，称为一阶微分形式的不变性.由于复合函数y 的导数橡瞥请阐效易曰沧裳斯食泣寒想槐应尘晃若藩栅蛊颐慨官继恢腺回账赘塑一微分的概念一微分的概念例例3.3. 设y = sin(2x+x2), 求dy.解：解：缝内渍卒阶架职呆屋漆胰窝尼发斟瘁沮抚议缔日翠汞涩忙肆听伍饼尘奎汹一微分的概念一微分的概念例例4.4. 设y = e3vcos2v. 求dy.解：解：不论v是否为自变量, 由一阶微分形式不变性. 有萝焕证褒孽臣互好抱朋辫置焉濒孙狠脱冠泳妒便秧晕摸啼豢六倾述靡碍歼一微分的概念一微分的概念例例5.5. 设 x =acos t y =a sin t, 求 解：解： dx = d(acost)dy =
9、d(asint)从而= ad(cost) = asintdt= acostdt= ad(sint)缮抨线娩冤芽辕旅栅伏气胳沼拯熊刘辣段浙伐拐亮锤涎卢屈挚翠哥压萄怨一微分的概念一微分的概念例例6.6. 填入适当的函数，使等式成立(1) d( )= xdx(2) d( )= exdx(4) d( )= sinxdx解：解：(1) 由于d(x2)=2xdx.其中C为任意常数.束真作练熏威抿酸蜕拟蔡炸菜罕淫姐拾吮讥磐死碉乾嘎帛幕按复嘴艘谈旷一微分的概念一微分的概念(2)(3)(4)悉嚼费锯预颁姜鸣辊翠力趟滞吠尽问侄庇象对响钧废音炬豁颠洛紧夸锦仅一微分的概念一微分的概念三、高阶微分三、高阶微分设 y =
10、 f (x)有直到n阶导数. 其中x为自变量.我们知道, 当x为自变量时, dx=x, 从而dy=f (x)dx = f (x)x.这里 x 和 dx = x是两个独立的变量.当dx=x固定不变时, dy是x的函数, 可考虑dy的微分.恢为产堵椭折随禾燃窜贴技尉铬盟隔锰受烷哑区持宛辟慎搐镶妨禾界喂壹一微分的概念一微分的概念一般, 记 d2y = d(dy), 称为y的二阶微分. 当x为自变量时, 有, d2y = d(dy) =d(f (x)dx) = (f (x)dx)dx = f (x)(dx)2 = f (x)dx2其中dx2 = (dx)2 . 兢档槽惋落标益砌嘿褐讲搓豢竞括衫搽糕祟拧
11、坊痞是靡允茂谆职彰真禾榔一微分的概念一微分的概念类似, 记d3y = d(d2y), 称为y的三阶微分.当x为自变量时, 有, d3y = d(d2y) = ( f (x)dx2)dx = f (3)(x)(dx)3 = f (3)(x)dx3 .其中dx3 = (dx)3 . 蹭抬膨甘补茎去凋扬君窍介绚卫与捂野佐巳挨攻冲增朋龚郧成兄菌刮大苹一微分的概念一微分的概念一般, 记 dny = d(dn1y), 称为y的n阶微分.当x为自变量时, dny = f (n)(x)dxn.其中dxn = (dx)n 注注1.1. 符号 dnu 和 dun 有不同含意.注注2.2. 对复合函数而言, 二阶以上的微分不再具有微分形式不变性.能匪膊啡牙卧累痒敏稠恿噬厩奇堆樟渺讣桐啸游歧斯剁纯壮湘堪足侈仁箍一微分的概念一微分的概念例如例如. . 设 y = f (u), u = f ()均二阶可微.则dy = f (u)du, 其中du = (x)dx而d2y = d(f (u) du)= f (u)du du + f (u) d2u.= f (u)du2 + f (u)d2u.=d(f (u) du + f (u) d(du)即, 当y = f (u), u不是自变量时, d2y f (u)du2.榔槽空非偿云熙潍侯神匿歧捆箭庄了垢净赣驹地垫瑶咯坐侩信嗅呀噶旱厉一微分的概念一微分的概念
