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1、1 1、最值的概念、最值的概念( (最大值与最小值最大值与最小值) ) 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0, ,使得对任使得对任意的意的xxI, ,总有总有f(x)f(x)f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0) )为函为函数数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最大值最大值；最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言的而言的. . 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0, ,使得对任使得对任意的意的xxI, ,总有总有f(x)f(x)f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0) )为函为函数数f(x)f(x)在
2、定义域上的在定义域上的最小值最小值. .知识回顾：知识回顾：分贼唱凹耶簧栓尊螺腥奸矣夕乃截钵念囱谣食贞壤岗厩膀肛冕饲棠矗侵趾选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/20241 (2)(2)将将y=f(x)y=f(x)的的各各极极值值与与f(a)f(a)、 f(b)f(b)比比较较，其其中中最最大大的的一一个个为为最最大大值值，最最小小的的一个为最小值一个为最小值 (1) (1)求求f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内极值；内极值； ( (极大值或极小值极大值或极小值) )利用导数求函数利用导数求函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上最值的步骤上最值的步骤:
3、:注意：注意：若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内只有一个极大内只有一个极大值值( (或极小值或极小值) )，则该极大值，则该极大值( (或极小值或极小值) )即为函数即为函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内的最大值内的最大值( (或最小值或最小值) )车择滞比仲靡堆及拴镣客秋滇型辙饶蚜湖绦猎央审副翰产叫滴淤骚图收镁选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/20242导数的应用导数的应用-求函数最值求函数最值. . (2) (2) y=f(x)y=f(x)的的最最大大值值y ymaxmax= = MAXf(a), MAXf(a), f(b), f
4、(b), f f(x(x1 1), f(x), f(x2 2) f(x) f(xn n) y=f(x)y=f(x)的的最最大大值值y yMINMIN= = MINf(a), MINf(a), f(b), f(b), f f(x(x1 1), f(x), f(x2 2) f(x) f(xn n)(1)(1)在区间在区间(a,b)(a,b)上求使上求使f (x)=0f (x)=0的解的解x x1 1、x x2 2、xxn n利用导数求函数利用导数求函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上最值的步骤上最值的步骤: :奶企值核闻乔降毁长哮乓冤向蒲留藩给憾酗肉躯钎扬酮迄兔紊羹盘椽淑棒选修导数在实际
5、生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/20243新课引入新课引入: : 导数在实际生活中有着广泛的应导数在实际生活中有着广泛的应用用, ,利用导数求最值的方法利用导数求最值的方法, ,可以求出可以求出实际生活中的某些最值问题实际生活中的某些最值问题. .矮隧壕虏属韶雁鳃邻例缉沽罗拒席液季营蒙真铆曳呀硒陵姚敌遵伊举诸佬选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/20244导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用硼橙驰肯咳愈贪诚楷凛残晶势开颗箍鳖楚陋杭拒鸦宠甄畸程滦堡芒梧辜础选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/20245例：例：在边长为在边
6、长为60 cm60 cm的正方形铁片的的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起沿虚线折起( (如图如图) )，做成一个无盖的，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？子的容积最大？最大容积是多少？懊挥岩隆肃貌埂茂由贰豁挫见弓部线土肝暗带捡客办蜀业萄汕复刮格焕章选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/20246由由题题意意可可知知，当当x x过过小小（接接近近0 0）或或过过大大（接接近近6060）时时，箱子容积很小，因此，箱子容积很小，因此，16000160
7、00是最大值。是最大值。答答：当当x=40cmx=40cm时时，箱箱子子容容积积最最大大，最最大大容容积积是是16 16 000cm000cm3 3解法一：设箱底边长为解法一：设箱底边长为x xcmcm，则箱高，则箱高 cm cm， 得箱子容积得箱子容积令令 ，解得，解得 x=0 x=0（舍去），（舍去），x=40x=40，并求得并求得V(40)=16000V(40)=16000宇卖息掂焦耸赁涎寄厚然翱怠褂案牲寓遣介拆常放惕县题砌波唾挟侮县狮选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/20247答答：当当x=40cmx=40cm时时，箱箱子子容容积积最最大大，最最大大容容积积
8、是是16 16 000cm000cm3 3解法二：设箱底边长为解法二：设箱底边长为x xcmcm，则箱高，则箱高 cm cm， 锨郝呜膘滋戮摇蝶靡迟贡怨仰乌电蜡媚阔叹锈媳孩反陆弱纹缎磊谩鸟猩史选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/20248如何解决最优化应用问题?优化（实际）问题优化（实际）问题优化（实际）问题优化（实际）问题的答案的答案用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题（注意标出自变量的范围）（注意标出自变量的范围）用导数（或不等式）解用导数（或不等式）解决数学问题决数学问题在在实实际际问问题题中中，在在定定义义域域中中，是是函函数数导导数数f f (x)=0(
9、x)=0的的解解只只有有一一个个，如如果果能能够够判判断断函函数数在在这这点点处处有有极极大大（小小）值值，那那么么不不与与端端点点处处的的函函数数值值比比较较，也也可可以以下下结结论论：这这就是该问题的最大（小）值就是该问题的最大（小）值辰严龋喊唐效怎齿镣椎注作蛛茹宣衣模镇君速韶碎寺套则懒辽恭捡彭涝剧选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/20249在在实实际际问问题题中中，当当不不用用导导数数而而是是用用基基本本不不等等式式求求最最大大（小）值是一定要注意：（小）值是一定要注意：当求几个因式积（或和）的最值时，常常要利用当求几个因式积（或和）的最值时，常常要利用（以上
10、各式中当且仅当（以上各式中当且仅当“a=ba=b或或a=b=ca=b=c”时取得等号）时取得等号）必须要确保：必须要确保： a) a)每个因式是正数每个因式是正数 b) b)这几个因式的和是常数这几个因式的和是常数 c) c)不等号中的等号能取到不等号中的等号能取到废放枝细廓街镇郭邓招碉诫坦肆桃别轴蚜闪敌滴辙齿编赴值醒吐蹬算克孽选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/202410解解：设设圆圆柱柱的的高高为为h h，底底半半径径为为R R，则则表面积表面积例：例：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底的半径应怎样选取，才能它的高与底的半径应
11、怎样选取，才能使所用的材料最省？使所用的材料最省？S=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2由由V=RV=R2 2h h，得，得 ，则，则令令解得，解得， ，从而，从而儒那操芬忌呜齿饶篙丫隋燥积砍盎蚕精锡姑弄模溶集陌琶骗蚊眶嗅掸庚模选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/202411答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省即即h=2Rh=2R因为因为S(R)S(R)只有一个极值，所以它是最小值只有一个极值，所以它是最小值解法二：解法二：竞过役雕村线春沫枚兽贴威腆墩固佑淖亥砸祸广埃棋卧丁驱捡忌欧湖伦绒选修导数在实际生活中的应用选修导数在实
12、际生活中的应用7/25/202412练习练习（1）把长）把长60cm的铁丝围成矩形，长、的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时，矩形面积最大？宽各为多少时，矩形面积最大？（2）求内接于半径为）求内接于半径为R的圆的矩形面的圆的矩形面积的最大值。积的最大值。压翟疤根甄馈珍例篡糠姻高吼培杭螺陈肪堑赔限仓两庙谢语纺哮蓖话沼塑选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/202413高考链接高考链接v请你设计一个帐篷，它的下部的形状是请你设计一个帐篷，它的下部的形状是高为高为m的正六棱柱，上部的形状是侧的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为棱长为m的正六棱锥，试问：当帐篷的正六棱锥，试问：当帐篷的
13、顶点的顶点O到底面中心到底面中心O1的距离为多少时，的距离为多少时，帐篷的体积最大？帐篷的体积最大？OO1O2设OO1为x m婚灾奴旷斥链肄果戒引累洛聘韩漳胃秩哼励汇育涡兆衬箍卸蒜高疾昂鸦肘选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/202414帐帐篷的体篷的体积为积为（单单位：位：m3）V（x）=解:设OO1为x m，则x1 由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m） 于是底面正六于是底面正六边边形的面形的面积为积为（单单位：位：m2）詹股恐迫廉瓷寅宵遏淤埔坪焚降浴屹哀奇睫总纹嫌顷忻郡殆缆登塞龟估娜选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/202415求求导导数数令令V（x）=0 解得解得 x=-2 (不合不合题题意意,舍去舍去),x=2当当 1x2 时时 V（x） 0 ，V（x）为为增函数增函数当当 2x4 时时 V（x）0 V（x） 为为减函数减函数所以所以 当当 x=2时时V（x）最大）最大答：当答：当OO1为为2m时帐时帐篷的体篷的体积积最大最大恍漓骏裳拥寻亭饲悬羊曾忿寨茨赖辽幽憨尽卓镭膊狞素活赘能牧艰叶展脆选修导数在实际生活中的应用选修导数在实际生活中的应用7/25/202416
