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1、定积分定积分201193792201193792一、一、 定积分的定义定积分的定义二、二、 定积分的性质定积分的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.1 定积分的概念及性质 第六六章 8. 积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使性质7 目录 上页 下页 返回 结束 二、牛顿二、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、变上限积分函数一、变上限积分函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.2 微积分基本公式 第六六章 一、变上限积分函数一、变上限积分函数则变上限函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1. 若即变限积分求导公式变限积分求导公式：机动 目录 上页 下页 返回 结束 （重
2、点）（1）（2）（3）例例1 1 求 解解例例3. 求解解: 原式说明 目录 上页 下页 返回 结束 例例2：求 解：解：例例4：求解解: 原式解解: 原式二、牛顿二、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.函数 , 则 牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.例例5. 计算解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习二
3、例例1：求：求例例2：设：设求求例例3：二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 不定积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法6.3 定积分的计算法 第六六章 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 （重点）（重点）定理定理1. 设函数单值函数满足:1)2) 在上机动 目录 上页 下页 返回 结束 则注意：1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.（代换法）2) 换元公式也可反过来使用 , 即或配元配元不换限机动 目录 上页 下页 返回 结束 （凑微分）例例1. 计算解解:
4、令则 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 且例例2：求解：解：方法二：例例3 求解解例例4.证证（不要求）（不要求）(1) 若(2) 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 偶倍奇零偶倍奇零为偶函数，为奇函数，例例5：（1）(2)(3)（提示：利用“偶倍奇零”的性质。）例例5：（1）(2)例例5：（1）二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 （重点）（重点）定理定理2. 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 或例例6. 计算解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7：求解：例例8: 求解解: :练习三求下列积分：求下列积分：二、二、 旋转体的体积旋转体的体积一、一、
5、 平面图形的面积平面图形的面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.4 定积分的应用 第六六章 一、平面图形的面积一、平面图形的面积（重点）（重点）机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积 . 解解: 由得交点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算抛物线与直线的面积 . 解解: 由得交点所围图形为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆
6、台圆台二、旋转体的体积（重点） 问题1：连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时, 有问题2：连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积. 解解:则(利用对称性)机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习四例1：求由曲线和直线围成的平面图形面积。例2：求由所围图形的面积及其绕 轴旋转体体积。例3：求由曲线所围图形绕 轴和 轴旋转一周而成的立体体积。二、无界函数的反常积分（二、无界函数的反常积分（不要求不要求）常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分机动 目录 上页
7、下页 返回 结束 反常积分 (广义积分)6.5 广义（反常）积分初步 第六六章 定义定义1. 设若存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分反常积分, 记作这时称反常积分收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分则定义( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称发散 .无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算反常积分例例2. 证明第一类 p 积分证证:当 p =1 时有 当 p 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .(要求会应用该结论)因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为当 p1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习五例1：求例2：求例3：求例4：当_收敛；当_发散。
