《2011年数学高考题型突破：立体几何.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年数学高考题型突破：立体几何.ppt（162页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九单元第九单元 立体几何立体几何知识体系知识体系第一节第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的结构及其三视图和直观图基础梳理基础梳理1. 多面体(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分多面体叫做棱台.2. 旋转(1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转
2、形成的面所围成的旋转体体叫做圆锥.(3)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.3. 三视图和直观图(1)三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、俯视图.(2)三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视图放在正视图的右方.(3)三视图的三大原则:长对正、高平齐、宽相等.(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法：在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x轴和y轴,两轴相交于O,且使xOy=45(或135),用它们确定的平面表示水平
3、面.已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x轴或y轴的线段.已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.典例分析典例分析题型一题型一 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180形成的封闭曲面所围成的图形;(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.分析分析 要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征
4、入手，以柱、锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体.解解 (1)如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱.(2)如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180形成半个圆台,故该几何体为圆台.(3)如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AOCD于O点,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.图1 图2 图3学后反思学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当的分割,再根据圆柱、
5、圆锥、圆台的结构特征进行判断.举一反三举一反三1. 如图所示，直角梯形ABCD中，ABBC，绕着CD所在直线l旋转，试画出立体图并指出几何体的结构特征.解析：解析：如图所示，过A、B分别作 CD， CD，垂足分别为 、 ，则Rt 绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆锥，直角梯形 绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆台，Rt 绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆锥.综上可知，旋转所得的几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥.【例例2】下列三个命题，其中正确的有( )用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面
6、体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个题型二题型二 基本概念与性质基本概念与性质分析分析 利用棱台的定义和特殊几何体加以说明.解解 中的平面不一定平行于底面，故错；如图，四条侧棱不一定交于一点，故错，答案选A.学后反思学后反思 在开始学习立体几何时，要学会观察、分析并记住一些特殊的物体或图形，以便于我们做题.反例推证是一种重要的数学方法，望大家熟练掌握.举一反三举一反三2. 下面是关于四棱柱的四个命题:若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;若四个侧面两两全
7、等,则该四棱柱为直四棱柱;若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中,真命题的编号是 .解析解析: 对于,平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故假;对于,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故真;对于,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱,如图1,故假;对于,四棱柱一个对角面的两条对角线恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一对角线,同样侧棱也垂直于底面的另一对角线,故侧棱垂直于底面,故真,如图2.答案答案:题型三题型三 柱、锥、台中的计算问题柱、锥、台中的计算问题【例例3 3】正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是4 cm
8、和16 cm,求棱台的侧棱长和斜高.分析分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构造直角三角形,解决问题.解解 如图所示,设棱台的两底面的中心分别是 、O, 和BC的中点分别是 和E,连接 、 、 、OB、 、OE,则四边形 和 都是直角梯形. =4 cm,AB=16 cm, =2 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm,=19 cm,棱台的侧棱长为19 cm,斜高为 cm.学后反思学后反思 （1）把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何问题的常用方法.（2）找出相关的直角梯形，构造直角三角形是解题的关键，正棱台中许多元素都可以在直角梯形中求出.举一反三举一反三
9、3. 一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.解析解析：轴截面如图所示:被平行于下底面的平面所截得的圆柱的截面圆的半径 ,设圆锥的截面圆的半径 为x.OA=AB=R,OAB是等腰直角三角形.又CDOA,则CD=BC, =AC,即x=l.截面面积题型四题型四 三视图与直观图三视图与直观图【例例4 4】螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图.分析分析 螺栓是棱柱、圆柱组合而成的，按照画三视图的三大原则“长对正，高平齐，宽相等”画出.解解 该物
10、体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合).它的三视图如下图:学后反思学后反思 （1）在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出.例如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB、侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆.（2）有些几何体的正视图和侧视图会因观察角度的不同而不同，因此，要注意几何体中所给出的观察角度.举一反三举一反三4. (2008广东)将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A
11、、B、C分别是GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图为( )解析解析 由正三棱柱的性质得,侧面AED底面EFD,则侧视图必为直角梯形,且线段BE在梯形内部.答案答案 A【例例5 5】(12分)用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图.分析分析 画水平放置的直观图应遵循以下原则:(1)坐标系中xOy=45;(2)横线相等,即AB=AB,CD=CD;(3)竖线是原来的 ,即OE= OE.画法画法 (1)如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,.3画对应的坐标系xOy,使xOy=45.5(2)以O为中点在x轴上取AB=AB,在y轴上取OE= OE
12、,以E为中点画CDx轴,并使CD=CD10(3)连接BC、DA,所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图2.12 图1 图2 学后反思学后反思 在原图形中要建立适当的直角坐标系，一般取图形中的某一横线为x轴，对称轴为y轴，或取两垂直的直线为坐标轴，原点可建在图形的某一顶点或对称中心、 中点等.坐标系建得不同，但画法规则不变，关键是画出平面图形中相对应的顶点.举一反三举一反三5. 如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )解析解析: 按照斜二测画法的作图规则,对四个选项逐一验证,可知只有选项C符合题意.答案答案: C易错警示易错警示【例】画出
13、如图1所示零件的三视图.错解错解 图1的零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合,其三视图如图2. 图1 图2错解分析错解分析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线.正解正解考点演练考点演练10. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图所示，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1,2和4.P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3；4；5；6；7.以上结论正确的为.（写出所有正确结论的编号）解析解析: 设底面四点分别为A、B、C、D，连接AC、BD，且ACBD=O,B、
14、C、D、O在平面上的射影分别为B、C、D、K,则当点P在点C的位置时，有CC=2OK=3,所以正确.同理可得、也是正确的.答案答案: 11. 圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm,高为8 cm,有一个过圆台两母线的截面,且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分别为3 cm和6 cm,求截面面积.解析解析 如图所示截面ABCD,取AB中点F,CD中点E,连接OF, ，EF, ,OA,则 为直角梯形,ABCD为等腰梯形,EF为梯形ABCD的高,在直角梯形 中, （cm），在Rt 中， （cm）,同理, （cm）,12. 有一块扇形铁皮OAB，AOB=60，OA=72 cm，要剪下来一个扇环
15、形ABCD作圆台形容器的侧面，并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形，使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面，如图），试求：（1）AD应取多长？（2）容器的容积.解析：解析：(1)如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD=x，则OD=72-x.由题意得R=12,r=6,x=36，AD=36 cm.(2)圆台的高第二节第二节 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积基础梳理基础梳理1. 柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和.2. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积.3. 圆柱
16、、圆锥、圆台的侧面积及表面积4. 柱、锥、台体的体积这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特别地，圆柱、圆锥、圆台还可以分别写成: 5. 球的体积及球的表面积设球的半径为R, 典例分析典例分析题型一题型一 几何体的表面积问题几何体的表面积问题【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.分析分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件列出方程，求解所需的几何元素.解解 如图所示,正三棱台ABC- 中,O、 分别为两底面中心,D、 分别为BC和 中点,则 为棱台的斜高.设 =20,
17、AB=30,则OD=5 , = ,由 ,得在直角梯形 中,棱台的高为4 cm.学后反思学后反思 (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.（2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.举一反三举一反三1.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为 和 ，试求球的表面积.解析解析：（1）当球心在两个截面同侧时，如图1所示.设OD=x，由题意知同理可得BD=20 cm.设球半径为R，则依题意得：即 解得x=15 cm,R=25 cm.故（2）当球心在两个截面之间时，如图2所示，设OD=x cm，则OC=(
18、9-x)cm.由题意得 CA=7 cm，同理可得BD=20 cm.设球半径为R,则依题意知即 此方程无正数解.故此种情况不可能.综上可知,球的表面积为【例例2】直平行六面体的底面为菱形,过不相邻两条侧棱的截面面积分别为 ,求它的侧面积.分析分析 要求此棱柱的侧面积,只要求它的底面边长与高即可.解解 设直平行六面体底面边长为a,侧棱长为l,如图,则 ,因过 的截面都为矩形,从而 则又ACBD,即所以学后反思学后反思 (1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面图形的形状和特征.（2）用已知量来表示侧面面积公式中的未知量，利用平面几何知识（菱形的对角线互相垂直平分），采用整体代入，设而不求，减
19、少了运算量，简化了运算过程.举一反三举一反三2. 三棱柱 的底面是等腰三角形(AB=AC),BAC=2,上底面的顶点 在下底面的射影是下底面三角形外接圆圆心O,下底面ABC外接圆半径为R,侧棱 和AB成2角,求三棱柱的侧面积.AOBC, BC,BC平面 , BC,故 BC,又BC=2Rsin 2,解析：解析：如图所示,作ODAB于D,则AD=Rcos ,AB=2Rcos ,易知 AD，且 D=2, 题型二题型二 几何体的体积问题几何体的体积问题【例3】已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为4 cm，8 cm，侧棱长为8 cm，求它的侧面积和体积.分析分析 由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台
20、的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论.解解 如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P,则PBC为等腰三角形,取BC中点E,连接PE交 于点 ,则PEBC, E为侧面等腰梯形的高,作PO底面ABCD交上底面于点 ,连接 、OE.在P 和PBC中, , 为PB的中点, 为PE的中点.在RtPEB中,在RtPOE中,学后反思学后反思 （1）求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的“桥梁”.（2）平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题，通常是“还台为锥”，而后利用平行
21、于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面，将空间问题转化为平面问题，求出相关数据，进行计算.“还台为锥”是解决棱台问题的重要方法和手段.举一反三举一反三3. 如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE、BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为 .解析解析 如图,分别过A、B作EF的垂线,垂足分别为G、H,连接DG、CH,易求得EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= ,答案答案 题型三题型三 组合体的体积和表面积问题组合体的体积和表面积问题【例例4 4】 (12分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB
22、的中点,将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱锥的外接球的体积.分析分析 易知折叠成的几何体为棱长为1的正四面体,欲求外接球的体积，求其外接球半径即可.解解 由已知条件知,在平面图形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.1所以折叠后得到一个正四面体.方法一:如图，作AF面DEC,垂足为F,F即为DEC的中心3取EC中点G,连接DG、AG,过外接球球心O作OH面AEC,则垂足H为AEC的中心.5外接球半径可利用OHAGFA求得.AG= ,AH= AG= ，AF= , 7在AFG和AHO中,根据三角形相似可知, .10外接球体积为 .12方法二:如图,把正四
23、面体放在正方体中.显然,正四面体的外接球就是正方体的外接球.4正四面体棱长为1,正方体棱长为 ,.6外接球直径2R= ,10R= ,体积为 12学后反思学后反思 (1)折叠问题是高考经常考查的内容之一,解决这类问题要注意对翻折前后线线、线面的位置关系，所成角及距离加以比较.一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置的关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系则发生变化;不变量可结合原图形求证，变化量应在折后立体图形中求证.对某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题.（2）由方法二可知，有关柱、锥、台、球的
24、组合体，经常是把正方体、长方体、球作为载体，去求某些量.解决这类问题，首先要把这些载体图形的形状、特点及性质掌握熟练，把问题进行转化，使运算和推理变得更简单，体现了转化思想是立体几何中一个非常重要的思想方法.举一反三举一反三4. 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.解析解析：如图,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径为 ,则容器内水的体积为将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为 ，从而容器内水的体积是 由V=V得易错警示易错警示
25、【例例】在半径为15的球内有一个底面边长为 的内接正三棱锥,求此正三棱锥的体积.错解错解如图,显然OV=OA=OB=OC=15,ABC是边长为 的正三角形,它的中心为H,H也是顶点V和球心O在底面ABC的射影,HA=HB=HC=12,可以解得OH=9,三棱锥的高VH=9+15=24,即此正三棱锥的体积为 .错解分析错解分析 漏掉了正三棱锥的顶点和球心在正三棱锥的底面的异侧情形.正解正解 设此正三棱锥为V-ABC,球心为O,则OV=OA=OB=OC=15.设ABC的中心为H,则H也是顶点V和球心O在底面ABC的射影,HA=HB=HC=12,OH=9.（1）如图1,当顶点V和球心O位于平面ABC的
26、同侧时,高VH=9+15=24,（2）如图2,当顶点V和球心O位于平面ABC的异侧时,高VH=15-9=6,综上,此三棱锥的体积为 .考点演练考点演练10. 若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的表面积为.解析解析: 侧视图中矩形的长为原正三棱柱底面正三角形的高,可求得底面正三角形的边长为4,从而可求得表面积答案答案: 24+8311. 正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直底面）ABCDEF- 的各棱长均为1，求: (1)正六棱柱的表面积；（2）一动点从A沿表面移动到点 时的最短路程.解析解析：（1）可知（2）将所给的正六棱柱如图2的表面按图1部分展开.易得 故从A点沿正侧面和上底面
27、到 的路程最短，为 .12. 三棱锥一条侧棱长是16 cm,和这条棱相对的棱长是18 cm,其余四条棱长都是17 cm,求棱锥的体积.解析：解析：如图，设AD=16 cm,则BC=18 cm,取AD的中点E,连接CE、BE,AC=CD=17 cm,DE=8 cm,CEAD, ,并易知BE=CE,取BC的中点F,连接EF,EF为BC边上的高,CEAD,同理BEAD,DA平面BCE,三棱锥的体积可分为以BCE为底，以AE、DE为高的两个三棱锥的体积 之和,第三节第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理基础梳理1. 平面的基本性质名称 图形 文字语言 符号语言
28、公理1如果一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 公理2经过不在同一条直线上的三个点确定一个平面 A、B、C不共线A、B、C平面且是唯一的 公理3如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线 若P,P,则=a,且Pa 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 若ab,bc,则ac 公理2的推论 推论1 经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面 若点A直线a,则A和a确定一个平面 推论2两条相交直线确定一个平面 ab=P 有且只有一个平面,使a,b 推论3两条平行直线确定一个平面 ab 有且只有一个平面,使a,b2. 空间直线与直线的位置关系(1
29、)位置关系 相交 共面 共面与否 平行 异面 一个公共点:相交公共点个数 平行 无公共点 异面(2)公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.(3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.（4）异面直线的夹角定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线aa,bb，我们把两相交直线a、b所成的角叫做异面直线a、b所成的角（或夹角）.范围：（0, .特别地，如果两异面直线所成的角是 ，我们就称这两条直线垂直，记作ab.3. 空间中的直线与平面的位置关系 直线在平面内有无数个公共点 直线与平面相交有且只有一个公共点 直线在平面外 直线与平面平行无公共点
30、4. 平面与平面的位置关系平行无公共点相交有且只有一条公共直线典例分析典例分析题型一题型一 点、线、面的位置关系点、线、面的位置关系【例1】下列命题:空间不同三点确定一个平面;有三个公共点的两个平面必重合;空间两两相交的三条直线确定一个平面;三角形是平面图形;平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;垂直于同一直线的两直线平行;一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是_.分析分析 根据公理及推论作判断.解解 由公理2知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题、均错,中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时);空间两两相交的三
31、条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面;正确;中平行四边形及梯形由公理2的推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;如图,在正方体ABCD-ABCD中,直线BBAB,BBBC,但AB与BC不平行,所以错;ABCD,BBAB=B,但BB与CD不相交,所以错;四边形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四边形,所以也错.学后反思学后反思 平面性质的三个公理及其推论是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用.举一反三举一反三1. 给出下列命题：如果平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点;经过空间任
32、意三点的平面有且只有一个;如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合为一个平面;不平行的两直线必相交.其中正确命题的序号为_.解析解析 由公理3知，错;由公理2知，错;对;不平行的两直线可能异面，故错.答案答案 题型二题型二 证明三点共线证明三点共线【例2】已知ABC的三个顶点都不在平面内,它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面于点P、Q、R.求证:P、Q、R三点在同一条直线上.分析分析 要证明P、Q、R三点共线,只需证明这三点都在ABC所在的平面和平面的交线上即可.证明证明 由已知条件易知,平面与平面ABC相交.设交线为 ,即 =面ABC.PAB,P面ABC.又PAB,P,即P为
33、平面与面ABC的公共点,P .同理可证,点R和Q也在交线 上.故P、Q、R三点共线于 .学后反思学后反思 证明多点共线的方法是：以公理3为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则多点共线.或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个点也在交线上.同理，其他的点都在交线上，即多点共线.举一反三举一反三2. 如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点,且直线EF和GH交于点P,如图所示.求证:点B、D、P在同一条直线上.证明证明 由于
34、直线EF和GH交于点P,PEF,又EF平面ABD,P平面ABD.同理,P平面CBD.P在平面ABD与平面CBD的交线BD上,即B、D、P三点在同一条直线上.题型三题型三 证明点线共面证明点线共面【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.分析分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明.要证明四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.证明证明 (1)如图,设直线a,b,c相交于点O,直线d和a,b,c分别相交于A,B,C三点,直线d和点O
35、确定平面,由O平面,A平面,O直线a,A直线a,知直线a平面.同理b平面,c平面,故直线a,b,c,d共面于.(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G,由直线ab=M,知直线a和b确定平面.由ac=N,bc=Q,知点N、Q都在平面内,故c.同理可证d,故直线a,b,c,d共面于.由(1)、(2)可知,两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内.学后反思学后反思 证多线共面的方法：（1）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也在这个平面内.同理其他直线都在这个平面内.（2）先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些
36、平面重合.举一反三举一反三3. 在正方体ABCD- 中,E是AB的中点,F是 的中点.求证:E、F、 、C四点共面.证明证明 如图，连接 ,EF, .E是AB的中点,F是 的中点,EF . ,EF .故E、F、 、C四点共面.题型四题型四 证明三线共点证明三线共点【例例5 5】(12分)已知四面体A-BCD中,E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点,且 .求证:直线EG、FH、AC相交于同一点P.分析分析 先证E、F、G、H四点共面，再证EG、FH交于一点，然后证明这一点在AC上.证明E、F分别是AB、AD的中点,EFBD且EF= BD.2又 ,GHBD且GH= BD,EF
37、GH且EFGH,4四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交,设两腰EG、FH的延长线相交于一点P,.6EG平面ABC,FH平面ACD,P平面ABC,P平面ACD.8又平面ABC平面ACD=AC,PAC,10故直线EG、FH、AC相交于同一点P12学后反思学后反思 证明三线共点的方法:首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理3可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.举一反三举一反三4. （2010曲靖模拟）已知：如图所示的空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG= CB，C
38、H= CD.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三直线FH、EG、AC共点.解析解析：（1）如图，连接EF、GH.故EF与GH共面，即E、F、G、H四点共面.（2）EFGH，但EFGH,故EFHG是梯形.如图，设FH与EG交于O点，则OFH平面DAC,OEG平面BAC,O(平面DAC平面BAC)=AC,即直线AC过O点，故三直线FH、EG、AC共点.易错警示易错警示【例】过已知直线a外一点P,与直线a上的四个点A、B、C、D分别画四条直线.求证:这四条直线在同一平面内.错解错解 P、A、B三点不共线,P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面
39、.A、B、C、D均在直线a上,PA、PB、PC、PD四条直线在同一平面内.错解分析错解分析 错解在证明了四条直线分别在三个平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)内后,通过A、B、C、D均在a上,而认为三个平面重合在同一个平面内,这种方法是错误的.错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合.正解正解 过直线a及点P作一平面,A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在内.直线PA、PB、PC、PD上各有两点在内,由公理1可知,直线PA、PB、PC、PD均在平面内,即四直线共面.10. G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有.（填上所有正确答
40、案的序号）解析解析: 对于（1），连接GM，显然四边形GMNH是平行四边形；对于（3），连接GM，易知GMHN，故（1）、（3）中GH与MN共面；（2）、（4）中GH与MN是异面的.答案答案:（2）（4）11. 设ABCD的各边和对角线所在的直线与平面依次相交于 ,求证: 六点在同一条直线上.解析解析：如图，设ABCD所在的平面为,A,B,AB.又 AB, .又 , 在平面与平面的交线上,设交线为l,则 l.同理可证, 都在直线l上, 六点在同一条直线上.证明证明 如图，ab,a、b可以确定一个平面.又 a=A, b=B,Aa,Bb,A,B,AB;又A ,B , .另一方面,bc,b、c可以确
41、定一个平面.同理可证, .平面、均经过直线b、,且b和 是两条相交直线,它们确定的平面是唯一的,平面与是同一个平面,a、b、c、共面.12. 已知直线abc,直线 a=A, b=B, c=C.求证:a、b、c、 共面.第四节第四节 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质1. 平行直线(1)定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.(2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(3)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.(4)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交
42、线平行.(5)线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一平面,那么这两条直线平行.2. 直线与平面平行(1)定义:直线a和平面没有公共点,叫做直线与平面平行.(2)线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.基础梳理基础梳理(3)面面平行的性质:如果两平面互相平行,那么一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 3. 平面与平面平行(1)定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面叫做平行平面.(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(3)判定定理的推论:如果一个平面内的两条相交直线分别
43、平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.(4)线面垂直的性质:如果两平面垂直于同一直线,则这两个平面平行.(5)平行公理:如果两平面平行于同一平面,则这两个平面平行.典例分析典例分析题型一题型一 线线平行线线平行【例1】已知四边形ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.分析分析 若证四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可. 证明证明 如图,连接BD.EH是ABD的中位线,EHBD,EH= BD.又FG是CBD的中位线,FGBD,FG= BD.FGEH,且FG=EH,四边形EFGH是平行四边形
44、.学后反思学后反思 若证明四边形EFGH是平行四边形,可有两条途径：一是证明两组对边分别平行,二是证明一组对边平行且相等.举一反三举一反三1. 已知E、 分别是正方体ABCD- 的棱AD、 的中点.求证:BEC= .证明证明 如图,连接 . ,E分别为 ,AD的中点,四边形 为平行四边形，四边形 是平行四边形， EB.同理 EC.又 与CEB方向相同， =CEB.题型二题型二 线面平行线面平行【例2】如图,正方体ABCD- 中,侧面对角线 上分别有两点E,F,且 .求证:EF平面ABCD.分析分析 要证EF平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线
45、;二是利用面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面.证明证明 方法一:过E作EMAB于M,过F作FNBC于N,连接MN(如图)，则EM ,FN ,EMFN. AE=BF,EM=FN,四边形EMNF是平行四边形,EFMN.又EF平面ABCD,MN平面ABCD,EF平面ABCD.方法二:连接 ,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图). PFB,又EF平面ABCD,AP平面ABCD,EF平面ABCD.方法三:过点E作EH 于点H,连接FH(如图)，则EHAB,EHFH=H,平面EFH平面ABCD.EF平面EFH,EF平面ABCD.学后反思学后反思 判断或证明线面平行的常用方法有:
46、(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性质定理(,aa);(4)利用面面平行的性质(,a,a,aa).举一反三举一反三2. （2010无锡调研）如图所示，在正三棱柱 中，点D是BC的中点.求证： .解析解析：如图，连接 ，设 与 交于E，连接DE.点D是BC的中点，点E是 的中点，DE . 平面 ，DE 平面 , 平面 .题型三题型三 面面平行面面平行【例3】如图,正方体ABCD- 的棱长为1.求证:平面 平面分析分析 要证明平面 平面 ,根据面面平行的判定定理或推论，只要证明AC平面 ， 平面 ,且AC =A即可.证明证明
47、方法一: 四边形 为平行四边形方法二:易知 和确定一个 平面 ,于是,学后反思学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有:(1)面面平行的定义;(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.3. 如图，设AB、CD为夹在两个平行平面、之间的线段且直线AB、CD为异面直线，M、P分别为AB、CD的中点.求证：MP
48、.解析解析：过A作AECD交于E，连接ED.,ACED.取AE的中点N，连接NP、MN，则NPED,MNBE.MNNP=N,且BE、ED，平面MNP.又MP平面MNP,MP.题型四题型四 平行问题的探究平行问题的探究【例例4】长方体 ，点PBB（不与B、B重合），PABA=M,PCBC=N,求证：MN平面AC.分析分析 要证明MN平面AC,只要证明MN平行于平面AC内的一条直线即可，而这条直线应与MN共面，由于AC与MN共面，只要证明ACMN即可.证明证明如图，连接 ,AC, 为长方体，AC .AC 平面 B, 平面 B,AC平面 B.又平面PAC过AC且与平面B 交于MN，MNAC.MN平面
49、AC，AC平面AC，MN平面AC.学后反思学后反思 定理、定义是做题的依据，具备了条件，便可得到结论；条件不足，要通过题设和图形的结构特征、性质去寻求，增添辅助线是解决问题的关键.举一反三举一反三4. （2010泰安模拟）如图所示，已知正三棱柱 的每条棱长均为a，M为棱 上的动点.当M在何处时， ，并给予证明.解析：解析：当M是 中点时， .证明证明:M为 的中点，延长AM、 ，设AM与 延长线交于点N，则 .连接 并延长与CB延长线交于点G，如图,则BG=CB，在CGN中， 为中位线， GN.又GN平面 , 题型五题型五 平行关系的综合应用平行关系的综合应用【例5】(12分)求证:若一条直线
50、分别和两个相交平面平行,则这条直线必与它们的交线平行.分析分析 此题可先过直线作平面分别与已知两平面相交,由线面平行的性质定理及公理4,可证得两交线平行,从而进一步证得一条交线与另一平面平行,进而可证得结论.证明证明 , ,=a.过 作平面交于b,过 作平面交于c,.3 , ,=b, b.(线面平行的性质定理)同理 c.5bc.6又c,b,b.(线面平行的判定定理).8又b,=a,ba.(线面平行的性质定理) 10 a.(公理4).12举一反三举一反三学后反思学后反思 把文字语言转化成符号语言和图形语言，过 作平面和与、得到两条交线，利用线面平行的性质定理及公理4可证得交线平行，从而进一步证明
51、一条交线与另一个平面平行，进而可证得结论.5. 已知平面,线段BC,DBC,A，直线AB、AD、AC分别交于E、F、G，且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的长度.解析：解析：利用点A与线段BC之间不同的位置关系，以及点A、线段BC与平面之间不同的位置关系，进行逻辑划分.分情况讨论：AB、AD、AC延长线分别交于E、F、G；AB、AD、AC的反向延长线分别交于E、F、G；A与直线BC位于的两侧.（1）如图1，BC，BC平面ABC，平面ABC=EG,BCEG, 即又（2）如图2，同理BCEG,AF=DF-DA=c-b,（3）如图3，同理BCEG, AF=AD-DF=b-c, 易错警示易错警示【
52、例例】在正方体 中，E、F分别是棱BC、 的中点，求证：EF平面错解错解 如图，连接 并延长至G点，使GE= ，连接在 中，F是 的中点，E是 的中点，所以EF ，而EF平面 平面 故EF平面 错解错解 分析上述证明中，“ ”这一结论没有根据，只是主观认为 在平面 内，说明在利用线面平行的判定定理时，对两直线平行比较关注，而对另外两个条件（一直线在平面内，另一直线在平面外）容易忽视.大多数情况下，这两个条件在作图（添加辅助线）时就可以清楚地表达出来，一般不需单独证明，而本题作图过程看不出“ ”的理论依据.而且题设条件“E是BC的中点”没有用到，而没有这一条件，结论会成立吗？比如把E点移至B点，
53、显然结论不成立.正解正解 如图，连接 ，并延长交 的延长线于G，连接 因为 ，E是BC的中点，所以E是 的中点.在 中，F是 的中点，E是 的中点，所以EF .而EF平面 ， 平面 ，所以EF平面 .10. 已知平面,P且P,过点P的直线m与、分别交于A、C，过点P的直线n与、分别交于B、D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为 .解析解析: 如图1，ACBD=P,经过直线AC与BD可确定平面PCD.,平面PCD=AB，平面PCD=CD，ABCD, 即如图2，同理可证ABCD, 即综上所述，BD= 或24.答案答案: 或2411. 已知：ABC中，ACB=90，D、E分别为AC、AB的
54、中点，沿DE将ADE折起，使A到A的位置，M是 的中点.求证：ME平面 解析：解析：如图所示，取 的中点G，连接MG、GD，M、G分别是 、 的中点，四边形DEMG是平行四边形，MEDG.又ME平面 ,DG平面 ,ME平面 12. 如图所示,已知两条异面直线AB与CD所成的角等于,且AB=m,CD=n,平面MNPQ与AB、CD都平行,且M、N、P、Q依次在线段AC、BC、BD、AD上.(1)求证:四边形MNPQ是平行四边形;(2)当M点在何位置时,MNPQ的面积最大?最大面积是多少?解析解析：(1)证明:由于AB平面MNPQ,平面ABC平面MNPQ=MN,则ABMN.同理,ABPQ.由公理4得
55、,MNPQ.同理,MQNP.故四边形MNPQ是平行四边形.(2)由于AB与CD所成的角等于,ABMN,CDMQ,则sin NMQ=sin .设CMMA=1,则CMCA=(1+),AMAC=1(1+),则于是其中当=1时, 达到最大值 .故当点M位于AC中点时, 的面积最大,最大面积为 .第五节第五节 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质基础梳理基础梳理1. 直线与平面垂直(1)定义:如果直线 与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平面互相垂直.这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段,垂
56、线段的长度叫做点到平面的距离.(2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.(3)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.(4)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.(5)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.2. 平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就称这两个平面互相垂直.(2)判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.(3)性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直
57、于另一个平面.典例分析典例分析题型一题型一 线线垂直线线垂直【例1】如图,=CD,EA,垂足为A,EB,垂足为B,求证:CDAB.分析分析 要证CDAB,只需证CD平面ABE即可.证明证明 =CD,CD,CD.又EA,CD,EACD,同理EBCD.EACD,EBCD,EAEB=E,CD平面EAB.AB平面EAB,ABCD.学后反思学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.举一反三举一反三1. （2010淮安模拟）如图，在三棱柱BCE-ADF中，四边形ABCD是
58、正方形，DF平面ABCD，N是AC的中点，G是DF上的一点.求证：GNAC.解析：解析：如图，连接DN，四边形ABCD是正方形，N是AC的中点DNAC.DF平面ABCD，AC平面ABCD，DFAC.又DNDF=D,AC平面DNF.GN平面DNF，GNAC.题型二题型二 线面垂直线面垂直【例2】如图,P为ABC所在平面外一点,PA平面ABC,ABC=90,AEPB于E,AFPC于F.求证:(1)BC平面PAB;(2)AE平面PBC;(3)PC平面AEF.分析分析 要证明线面垂直，只要证明这条直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可.证明证明 (1)PA平面ABCPABC ABBC BC平面PAB.
59、 PAAB=A (2)AE平面PAB,由(1)知AEBC AEPB AE平面PBC. PBBC=B (3)PC平面PBC,由(2)知PCAE PCAF PC平面AEF. AEAF=A学后反思学后反思 本题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直,可先证线线垂直,而已知的线线垂直又可以产生有利于题目的线线垂直,在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作用,由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所在平面的特征,以顺利实现证明所需要的转化.举一反三举一反三2. 如图所示,P是ABC所在平面外一点,且PA平面ABC,若O、Q分别是ABC和PBC的垂心，求证:OQ平面PBC.证明证
60、明 如图，连接AO并延长交BC于E,连接PE.PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.又O是ABC的垂心,BCAE.PAAE=A,BC平面PAE,BCPE,PE必过Q点，OQ平面PAE,OQBC.连接BO并延长交AC于F.PA平面ABC,BF平面ABC,PABF.又O是ABC的垂心,BFAC,BF平面PAC.PC平面PAC,BFPC.连接BQ并延长交PC于M,连接MF.Q为PBC的垂心,PCBM.BMBF=B,PC平面BFM.OQ平面BFM,OQPC.PCBC=C,OQ平面PBC.题型三题型三 面面垂直面面垂直【例3】如图所示,在斜三棱柱 -ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面 底面
61、ABC.(1)若D是BC的中点,求证:AD ;(2)过侧面 的对角线 的平面交侧棱于M,若AM= ,求证:截面 侧面分析分析 （1）要证明AD ,只要证明AD垂直于 所在的平面 即可.显然由ADBC和面面垂直的性质定理即可得证.（2）要证明截面 侧面 ，只要证明截面 经过侧面 的一条垂线即可.证明证明 (1)AB=AC,D是BC的中点,ADBC.底面ABC侧面AD侧面 ，AD .(2)延长 与BM的延长线交于点N,连接 .学后反思学后反思 本题中平面ABC平面 的应用是关键,一般地，有两个平面垂直时要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.3. 如图
62、,已知平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,AE平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA平面ABC;(2)当E为PBC的垂心时,求证:ABC是直角三角形.举一反三举一反三解析解析：（1）如图,在平面ABC内取一点D,作DFAC交AC于F,平面PAC平面ABC,且交线为AC,DF平面PAC,又PA平面PAC,DFPA.作DGAB于G,同理可证DGPA,又DG、DF都在平面ABC内,PA平面ABC.(2)如图，连接BE并延长交PC于H,E是PBC的垂心,PCBE.又AE平面PBC,AEPC，又BEAE=E，PC面ABE，PCAB.又PA平面ABC,PAAB,又PAPC=P,AB平面PAC,AB
63、AC,即ABC是直角三角形.【例4】（12分）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又侧棱PA底面ABCD.(1)当a为何值时,BD平面PAC?试证明你的结论;(2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PMDM;(3)若在BC边上至少存在一点M,使PMDM,求a的取值范围.分析分析 （1）本题第(1)问是寻求BD平面PAC的条件,即BD垂直于平面PAC内两相交直线,易知BDPA,问题归结为a为何值时,BDAC,从而知ABCD为正方形.（2）若PMDM,易知DM面PAM，得DMAM,由AB=2，a=4知，M为BC的中点时得两个全等的正方形，满足DMAM.解解 (1
64、)当a=2时,ABCD为正方形,则BDAC,2又PA底面ABCD,BD平面ABCD,BDPA,又PAAC=A,.3BD平面PAC.故当a=2时,BD平面PAC.4题型四题型四 垂直问题的探究垂直问题的探究 (2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连接AM、DM、MN.5四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形,.6AMD=AMN+DMN=45+45=90,.7即DMAM.又PA底面ABCD,PADM,DM面PAM，得PMDM,.9故当a=4时,BC边的中点M使PMDM.学后反思学后反思 无论是线面垂直还是面面垂直,都源自于线线垂直.在处理实际问题的过程中,可以先从题设条件入手
65、,分析已有的垂直关系,再从结论入手分析所要证明的垂直关系,从而架起已知与未知之间的桥梁.(3)设M是BC边上符合题设的点M,PA底面ABCD,DMAM11因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点,则AD2AB,即a4为所求.12举一反三举一反三4. 如图,在正三棱锥ABCD中,BAC=30,AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别与AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四点.(1)试判断四边形EFGH的形状,并说明判断理由;(2)设P点是棱AD上的点,当AP为何值时,平面PBC平面EFGH?请说明理由.解析解析：(1)四边形EFGH是矩形,下面给出证明:AD平面EFGH,平面ACD平
66、面EFGH=HG,AD平面ACD,ADHG.同理EFAD,HGEF,同理有EHFG,四边形EFGH是平行四边形.又三棱锥A-BCD是正三棱锥,A点在底面BCD上的射影O点必是BCD的中心,如图,ODBC,ADBC,HGEH,即四边形EFGH是矩形.(2)作CPAD于P,连接BP,如图所示.ADBC,AD平面BCP.HGAD,HG平面BCP.又HG平面EFGH,平面BCP平面EFGH,在RtAPC中,CAP=30,AC=a,易错警示易错警示【例】设平面与平面的交线为 ,直线AB在平面内,且AB ,垂足为B,直线CD垂直于平面,且CD平面.求证:AB平面.错解错解 如图1所示,CD平面,且CD平面
67、,而AB ,ABCD,AB平面.错解分析错解分析 错解仅将已知条件复述一遍,就直接从CD平面,得出CDAB,这是没有根据的,犯了论据不足的错误.正解正解 如图2所示,过CD及平面内任一异于AB的点P作平面,设平面与平面的交线为EF.CD平面,EFCD.CD平面,EF平面,EF .EF、AB均在平面内,且EF、AB均与 垂直，ABEF,而EF平面,AB平面.考点演练考点演练10. （2009浙江）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足.设AK=t，则t的
68、取值范围是 .解析解析: 如图2，过K作KMAF于M点，连接DM，由平面ABD平面ABC易得DMAF，与折前的图1对比，可知在折前的图形中D、M、K三点共线且DKAF，于是DAKFDA, 答案答案: 11. ABCABC是正三棱柱，底面边长为a,D、E分别为BB、CC上的点，BD= a,EC=a. (1)求证：平面ADE平面ACCA；(2)求ADE的面积.解析解析：(1)如图，分别取AC,AC的中点M、N，连接MN，则MNAABB，B、M、N、B共面,BMAC.又BMAA,BM平面AACC.设MN交AE于P，CE=AC,PN=NA= a,又BD= a,PN=BD.PNBD,四边形PNBD是矩形
69、，于是PDBN,又BNBM,PDBM.BM平面ACCA,PD平面ACCA,PD平面ADE，平面ADE平面ACCA.(2)PD平面ACCA,PDAE，PD=BM= a,AE= a, = AEPD= a12. (2009潍坊模拟)如图,正三棱柱ABC- 中,AB=2, =1,D是BC的中点,点P在平面 内, (1)求证: BC;(2)求证: 平面 ;(3)求证: 平面证明证明 (1)如图，取 的中点Q,连接 ,PQ, 和 是等腰三角形, , PQ, 平面 , .BC ,BC (2)连接BQ,在 中, , =2,Q为 中点,PQ=1, =PQ.又 ,PQ ,且 , ,PQ在同一平面内. PQ,四边形
70、 为平行四边形, BQ.BD ,四边形 为平行四边形,BQ ,又 面 , 平面 (3)在矩形 中,BC=2, =1,D为BC的中点, =90,即平面ABC平面 ,ADBC,AD平面 平面AD , 平面第六节第六节 空间向量及其运算空间向量及其运算基础梳理基础梳理1. 空间向量及有关概念(1)空间向量:在空间中,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模.(2)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量,在空间中,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.(3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,记作ab.2
71、. 空间向量的基本定理(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a,b(b0),ab的充要条件是存在实数,使a=b .推论:如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足 ,其中向量a叫做直线l的方向向量.(2)共面向量:通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量.(3)共面向量定理:如果两个向量a、b 不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.推论推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使 或对空间任一定点O,有(4)空间向量基本定理:如果三个向量a、b
72、、c不共面,那么对任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使 p=xa+yb+zc .我们把a,b,c叫做空间的一个基底,a、b、c都叫做基向量.推论推论:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x、y、z,使3. 向量的线性运算(1)空间向量求和有平行四边形法则和三角形法则,其中三角形法则可推广到空间中多个向量的求和,这个和向量通常称为“封口向量”.(2)实数与向量a的积仍为一个向量,记为a ,且a与a为共线向量,|a|= |a| .(3)空间向量的加法与数乘运算满足:加法交换律,即a+b=b+a;加法结合律,即(a+b)+c= a+(b+c) ;分配律,即(
73、+)a=a+a ,(a+b)=a+b .4. 两个向量的数量积(1)已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 则AOB叫做向量a与b的夹角,记作a,b ,范围是0, ,如果a,b=90,则称a与b互相垂直,记作ab.(2)两个向量a,b的数量积(或内积)ab= |a|b|cos a,b .(3)两个向量数量积的性质ae=|a|cos a,e(其中e为单位向量);abab=0 ; =aa ;|ab|a|b|.(4)两个向量数量积的运算律(a)b= (ab) ;ab=ba;(a+b)c=ac+bc .5. 空间直角坐标系(1)空间直角坐标系的建立如图， 是单位正方体,以O为原点,分别以射线OA
74、、OC、OO的方向为正方向,以线段OA、OC、OO的长为单位长,建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz,O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面,yOz平面,zOx平面.(2)空间直角坐标系中点的坐标点P的x坐标:过P作一个平面平行于平面yOz,这个平面与x轴的交点记为Px,它在x轴上的坐标为x,数x叫做点P的横坐标 .点P的y坐标:过P作一个平面平行于平面xOz,这个平面与y轴的交点记为Py,它在y轴上的坐标为y,数y叫做点P的纵坐标 .点P的z坐标:过点P作一个平面平行于平面xOy,这个平面与z
75、轴的交点记为Pz,它在z轴上的坐标为z,数z叫做点P的竖坐标 .空间中任意一点与三个实数的有序数组一一对应.(3)空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广,是空间向量模长公式的推广.如果知道几何体上任意两点的坐标,可以直接套用公式.设 则 6. 空间向量的直角坐标运算(1)已知 则(2)若点(3)空间向量平行和垂直的条件(4)两个向量夹角及向量长度的坐标计算公式设 则 ; ;与a同向的单位向量典例分析典例分析题型一题型一 向量的线性运算向量的线性运算【例例1】如图所示,在平行六面体 中,设 ,M,N,P分别是 的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1) ;(2)
76、 ;(3) .分析分析 从要求的向量出发，选取适当的三角形（或平行四边形）,利用向量的加、减及数乘运算的法则和运算律，不断地进行分解，直到全部用已知条件表示出来为止.解解 (1)P是 的中点,(2)N是BC的中点,(3)M是 的中点,又学后反思学后反思 选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它表示指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等就近表示所需向量，再对照目标，就不符合目标的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有的向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解.有分解才有组合，组合是分解的表现形式.空间向量基本定理恰好说明，
77、用空间三个不共面的向量组成的向量组(a,b,c),可以表示出空间的任意一个向量,而且a,b,c的系数是唯一的.举一反三举一反三1. 在空间四边形ABCD中， = .解析解析: 如图，设 则 =(b-a)(-c)+(c-a)b+(-a)(c-b)=-bc+ac+cb-ab-ac+ab=0.答案答案: 0题型二共线、共面问题题型二共线、共面问题【例例2】如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,P点是四边形ABCD所在平面外一点,连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心.(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;(2)试判断平面EFGH与平面AB
78、CD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.分析分析 可以利用共面向量定理或其推论完成第(1)问的证明;从几何直观判断,第(2)问中的两个平面应该是平行关系.解解 (1)如图，分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心,所以M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连接M、N、Q、R得到的四边形MNQR为平行四边形,且有:因为四边形MNQR是平行四边形,所以由共面向量定理知,E、F、G、H四点共面.(2)由(1)得又因为MQ平面ABCD,EG平面ABCD,所以EG平面ABCD.因为所以MNEF,又因为MN平面ABCD,EF平面ABCD,所以EF平面AB
79、CD.由于EG与EF交于E点,所以平面EFGH与平面ABCD平行.学后反思学后反思 （1）空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面.（2）用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化.（3）要学会用向量的知识来解决立体几何问题.举一反三举一反三2. （2010济阳模拟）已知非零向量 不共线，如果 则下面结论正确的是( )A. A、B、C、D四点共线B. A、B、C、D四点共面C. A、B、C、D四点不共线D. A、B、C、D四点不共面解析解析: 由于向量 都可以用不共线的非零向量 表示，所以向量 都和向量 在同一平面内，故A、B、C、D四点共面.答案答案: B【例3】如
80、右图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算分析分析 可先将 然后利用向量数量积的定义求出即可.解解 学后反思学后反思 注意由图形写向量夹角时易出错,如 易错写为 . 题型三题型三 空间向量的数量积空间向量的数量积3. 如图所示,在四面体ABCD中,已知ABCD,ACBD,求证:ADBC.举一反三举一反三解析：解析： 即a(c-b)=0,ac=ab.又ACBD,即b(c-a)=0,bc=ba, =c(b-a)=cb-ca=ba-ab=0,ADBC.【例例4】 (12分)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BAD=90,ADB
81、C,AB=BC=a,AD=2a,PA底面ABCD,PDA=30,AEPD.试建立适当的坐标系并求出各点的坐标.题型四题型四 向量的坐标运算向量的坐标运算分析分析 由题意知,AP,AB,AD两两垂直,故以A为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.解解 以点A为坐标原点,以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.2AB=BC=a,点A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0).AD=2a,D(0,2a,0).3PA底面ABCD,PAAD.又PDA=30,故面PAD面ABCD,过E作EFAD于F,则F为E在底面ABC
82、D内的射影.7在RtAED中,EDA=30,AE= AD=a.8在RtEFA中,EAF=60,9故学后反思学后反思 建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上.4. 已知向量a=(1,-3,2)，b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上是否存在一点E,使 b(O为原点)?举一反三举一反三解析解析：(1)2a+b=(2,
83、-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), (2)设=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若 b,则 b=0,即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得故存在点E,使 b,此时E点坐标为 .10. 已知三点A（1,0,0）,B(3,1,1),C(2,0,1)，且 则a在b方向上的射影为.解析解析:答案答案: 考点演练考点演练11. 已知四面体A-BCD中,G为BCD的重心,E、F、H分别为边CD、AD和BC的中点,化简下列各表达式,并在图中标出化简结果的向量.解析：解析：(1)由G是BCD的重心,知 又E、F分别为CD、AD的中点,(
84、2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义,得12. 如图,在棱长为a的正方体 中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF=x,其中0xa,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.(1)求出点E、F的坐标；（2）求证: (3)若(2)解析：解析： (1)E(a,x,0),F(a-x,a,0).(3)第七节第七节 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法1. 直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线(2)直线l的方向向量为基础梳理基础梳理(3)平面的法向量为2. 利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线
85、所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.范围:两异面直线所成角的取值范围是向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为,a、b夹角为,则有(2)直线与平面所成的角定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.范围:直线和平面所成角的取值范围是 .向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为,a与u的夹角为,则有 (3)二面角定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,在二面角的棱上任取一点O,以O为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做
86、二面角的平面角.二面角的平面角的取值范围是0,.二面角的向量求法:()若AB、CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图1).()设 分别是二面角-l-的两个面、的法向量,则向量 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图2、3).典例分析典例分析【例例1】如图,已知直三棱柱 中,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,且 ,D、E、F分别为 的中点.求证：(1)DE平面ABC;(2) 平面AEF.题型一题型一 利用空间向量证明平行垂直问题利用空间向量证明平行垂直问题 分析分析 由题可知,题中具备两两垂直的三条直线，可用向量法建立空间直
87、角坐标系，用向量的坐标运算来解决；也可以用几何法，利用线面垂直、线面平行的判定定理来解决.，证明证明 如图建立空间直角坐标系,令则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0), (1)取AB中点N,连接NC,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),学后反思学后反思 (1)证明线面平行需证明线线平行,只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行.可用传统法，也可用向量法，用向量法更为普遍.(2)证明线面垂直的方法:可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明，也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明.(3)证明面面垂直通常转化为证明线面垂直
88、,也可用两平面的法向量垂直来证明.举一反三举一反三1. 如图，在正方体 中，E、F、M分别为棱 的中点.求证：解析解析：（1）以D为原点，向量 的方向分别为x轴，y轴、z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.则设平面ADE的法向量为m=(a,b,c),则令c=2,得m=(0,-1,2).（2） 设平面 的法向量为n=(x,y,z)，则令y=2,则n=(0,2,1).mn=(0,-1,2)(0,2,1)=0-2+2=0,mn,平面ADE平面 .题型二题型二 两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角【例例2】 长方体 中, 点,P在线段BC上,且CP=2,Q是 的中点,求异面直线AM与PQ
89、所成角的余弦值.分析分析 本题以长方体为载体,易建立空间直角坐标系来解决.欲求异面直线所成的角，一般可以从公式 入手，先求得所需向量，代入即可.解解 如图,建立空间直角坐标系B-xyz,则故异面直线AM与PQ所成的角的余弦值为 .学后反思学后反思 求异面直线所成角的主要方法:(1)定义法(平移法);(2)向量法:建系求相关向量的坐标通过向量坐标运算求角,有时也可用题目中给出的向量表示相关向量,然后计算角.利用向量求角的关键是区分异面直线所成角的概念和向量夹角概念的差别.举一反三举一反三2. 在正三棱柱 所成角的大小为.解析解析: 方法一：如图1，以A为原点，射线AC、 分别为y轴、z轴，过A垂
90、直于AC、 的射线为x轴，建立空间直角坐标系，取 =1，则方法二：利用平移法作出异面直线所成的角.如图2，连接方法三：如图3，取BC的中点D，连接由正三棱柱 知，面ABC面BC ，又ADBC,答案答案:90题型三题型三 直线与平面所成的角直线与平面所成的角【例3】 如图所示,在三棱锥P-ABC中,ABBC,AB=BC= PA.点O、D分别是AC、PC的中点,OP底面ABC.(1)求证:OD平面PAB;(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.分析分析 （1）根据线面平行的判定定理.（2）几何法：找出或作出相应于平面PBC的垂线、斜线和射影，作出线面角求解；向量法：建立空间直角坐标系，利用向量
91、去解.解解 方法一:(1)证明:O、D分别为AC、PC的中点,ODPA.又PA平面PAB且ODPAB,OD平面PAB.(2)ABBC,OA=OC,OA=OB=OC.又OP平面ABC,PA=PB=PC.取BC中点E,连接PE,则BC平面POE,平面PBC平面POE.作OFPE于F,连接DF,则OF平面PBC,ODF是OD与平面PBC所成的角.在RtOFD中,OD与平面PBC所成角的正弦值为 .方法二方法二: OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),设AB=a,则设OP=h,则P(0,0,h).(1
92、)证明:D为PC的中点, ,OD平面PAB.设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),则 即设OD与平面PBC所成的角为,学后反思学后反思 几何法是把空间角转化成平面角去解，求线面角要按照一作、二证、三计算的步骤进行.在用向量法求直线OP与平面所成的角时一般有两种途径：直接求 ，其中 为斜线OP在内的射影；通过求 进而转化求解，其中n为平面的法向量，此时应注意OP与平面所成角与 的关系，它们互为余角，注意最后完成转化.举一反三举一反三3. 在正方体成角的正弦值.解析：解析：如图，建立以D为原点,DA,DC, 分别为x,y,z轴的坐标系,设棱长为1,平面 的法向量n=(x,y,z),则 与平
93、面 所成角的正弦值为 . 题型四题型四 二面角二面角【例4】如图,在长方体 中, 点E在棱AB上移动.(1)求证: (2)AE等于何值时,二面角 的大小为 ?分析分析 (1)的求解方法有线面垂直的性质;二面角的逆用;三棱锥等积法.(2)可以用向量法.解解 方法一:(1)AE平面又 是正方形,(2)如图，过D作DHCE于H,设AE=x,则BE=2-x.方法二:以D为坐标原点,直线DA,DC,D 分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AE=x,则D(0,0,0), (1,0,1), (0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).(2)设平面 EC的法向量n=(
94、a,b,c), =(1,x-2,0), =(0,2,-1), =(0,0,1),由令b=1,c=2,a=2-x,n=(2-x,1,2).依题意，得学后反思学后反思 确定二面角的平面角的方法:(1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.(2)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角,此种方法通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求.(4)向量法:求出两个平面的法向量的
95、夹角,然后结合图形,求二面角的平面角.举一反三举一反三4. （2009陕西改编）如图，在直三棱柱 中，AB=1， ABC=60.（1）求证：AB ;(2)求二面角A- -B的余弦值.解析：解析： （1）三棱柱 为直棱柱，在ABC中，AB=1,AC= ,ABC=60,由正弦定理得ACB=30，BAC=90,即ABAC.如图，建立空间直角坐标系A-xyz,则（2）如图,可取 的法向量,设平面 的法向量为n=(l,m,n),则题型五题型五 利用空间向量求距离利用空间向量求距离【例例5】(12分)如图，在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=2 ,M、N分别
96、为AB、SB的中点，求点B到平面CMN的距离.分析分析 由面SAC面ABC,SA=SC,BA=BC,知本题可以取AC中点O为坐标原点,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,用向量法求解.解解 取AC中点O,连接OS、OB1SA=SC,AB=BC,ACSO,ACBO.2平面SAC平面ABC,平面SAC平面ABC=AC,SO平面ABC,.3SOBO.4如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz,.5 .7设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,8则 取z=1,则 .10点B到平面CMN的距离 .12学后反思学后反思 (1)本例求点到面的距离，采用了向量法,比几何法要
97、简便得多，减少了运算量.(2)作辅助线证明垂直,创造条件建立空间直角坐标系，利用法向量是求点到面距离常用的方法.(3)关于异面直线、点面、线面、面面距离问题是高考考查的重点的内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点.举一反三举一反三5. 如图所示，已知ABC是以B为直角的直角三角形，SA平面ABC，SA=BC=2，AB=4，D、N分别是BC、AB的中点，求A到平面SND的距离.解析：解析：以A为原点， 为y轴、z轴，过A垂直于 的射线为x轴，建立如图空间直角坐标系，则设平面SND的法向量为n=(x,y,1),A到平面SND的距离为【例例】 在正方体 中，E是棱 的中点，求截面 与半平面A
98、CD所成二面角的余弦值.易错警示易错警示错解错解 如图，建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1，则 设n=(x,y,z)是平面EB1C的法向量，则令z=1得 .易知m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，所求二面角的余弦值为 .错解分析错解分析 通过建立空间直角坐标系，把二面角的平面角转化为法向量的夹角时，要注意平面的法向量有两种指向，必须结合图形确定法向量的夹角与所求二面角的平面角是相等的，还是互补的.本例中，如求截面 与半平面ACB所成的二面角的大小就正确了.正解正解 接“错解”得到cosm,n= 后，应指出,由于所求的二面角是钝角，因此其余弦值为- .考点演练考点演练10.
99、 如图,在棱长为1的正方体 中,M和N分别是 和 的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为.解析解析:以D为坐标原点, 为z轴建立空间直角坐标系,答案答案: 11. （2010北京海淀区模拟）如图，斜三棱柱 的底面是直角三角形，ACB=90，点 在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=A .（1）求证：（2）求证：（3）求二面角 的余弦值.解析：解析：（1）设BC的中点为M，连接 ，如图所示.在斜三棱柱 中，点 在底面ABC上的射影恰好是BC的中点， 平面ABC.AC平面ABC， AC.ACB=90,BCAC. BC=M,AC平面AC平面 ,（2）因为点 在底面ABC上的射影是B
100、C的中点，设BC的中点为O，则 O垂直于平面ABC.以O为原点，过O平行于CA的直线为x轴，BC所在直线为y轴，O 所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.(3)设平面 的法向量为则设平面 的法向量为12. (2009莱芜模拟)如图,在三棱锥S-ABC中,SC平面ABC,点P、M分别是SC和SB的中点,设PM=AC=1,ACB=90,直线AM与直线SC所成的角为60.(1)求证:平面MAP平面SAC;(2)求二面角M-AB-C的平面角的余弦值;(3)求AP和CM所成角的余弦值.解析解析：(1)SC平面ABC,SCBC.又ACB=90,ACBC,且ACSC=C,BC平面SAC.又P、M是SC、SB的中点,PMBC,PM面SAC,面MAP面SAC.(2)以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.过M作MDSC交BC于D，则MD平面ABC，PM=CD，且AMD为SC与AM所成的角，即AMD=60，在RtADM中，设平面MAB的一个法向量为n=(x,y,z),则由取平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),则由图知二面角M-AB-C为锐二面角,故二面角M-AB-C的平面角的余弦值为 .所以AP与CM所成角的余弦值为 .
