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1、4平面向量的坐标问题问题引航引航1.1.向量是怎样用坐标表示的？向量是怎样用坐标表示的？2.2.向量的加、减、数乘怎样用坐标表示向量的加、减、数乘怎样用坐标表示? ?3.3.向量的平行怎样用坐标表示？向量的平行怎样用坐标表示？1.1.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)(1)向量向量a的坐标：的坐标：_. .(2)(2)全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是_的的. .a=(x,y)=(x,y)一一对应一一对应2.2.平面向量线性运算的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示设设a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2
2、 2,y,y2 2),),则则类别类别 坐标运算坐标运算 语言表述语言表述 向量的加法坐标向量的加法坐标表示表示 a+ +b= =_向量和与差的坐向量和与差的坐标分别等于各向标分别等于各向量相应坐标的量相应坐标的_向量的减法坐标向量的减法坐标表示表示 a- -b= =_实数与向量积的实数与向量积的坐标表示坐标表示 a=_=_ 实数与向量积的实数与向量积的坐标分别等于实坐标分别等于实数与向量的相应数与向量的相应坐标的坐标的_ _ (x(x1 1+x+x2 2,y,y1 1+y+y2 2) )(x(x1 1-x-x2 2,y,y1 1-y-y2 2) )和和与差与差( (x x1 1, ,y y1
3、 1) )乘积乘积类别类别 坐标运算坐标运算 语言表述语言表述 有向线段的坐标有向线段的坐标表示表示 设设A(xA(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2,y,y2 2),),则则=_-_=_-_=_=_ 一个向量的坐标一个向量的坐标等于等于_(x(x2 2,y,y2 2) )(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1) )其终点的相其终点的相应坐标减去起点应坐标减去起点的相应坐标的相应坐标3.3.向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示(1)(1)公式：设公式：设a, ,b是非零向量，且是非零向量，且a=(x=(x1 1,y,y1 1),
4、),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),ab_._.若若y y1 100且且y y2 200，则上式可表示为，则上式可表示为ab . .(2)(2)文字语言：文字语言：定理定理1 1：若两个向量：若两个向量( (与坐标轴不平行与坐标轴不平行) )平行，则它们相应的平行，则它们相应的坐标坐标_._.定理定理2 2：若两个向量相对应的坐标：若两个向量相对应的坐标_，则它们平行，则它们平行. .x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0成比例成比例成比例成比例1 1判一判判一判 ( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)位置不同的向量的坐标一定不一
5、样位置不同的向量的坐标一定不一样.( ).( )(2)(2)一个向量的坐标等于其起点相应坐标减去终点的相应坐标一个向量的坐标等于其起点相应坐标减去终点的相应坐标.( ).( )(3)(3)对于向量对于向量a=(x=(x1 1,y,y1 1) )，b=(x=(x2 2,y,y2 2) )，若，若ab，则，则x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2 =0.( )=0.( )2 2做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)若向量若向量a=(5,=(5,2)2)，则向量，则向量a的相反向量的坐标是的相反向量的坐标是_._.(2)(2)若向量若向量a=(
6、1,=(1,1),1),b=(3, ),=(3, ),则则a2 2b=_=_. .(3)(3)若向量若向量m=(2,2),=(2,2),n=(=(1,x),1,x),且且mn, ,则则x=_x=_. .【解析解析】1.(1)1.(1)错误错误. .当位置不同的向量是相等向量时坐标一样当位置不同的向量是相等向量时坐标一样. .(2)(2)错误错误. .一个向量的坐标等于其终点相应坐标减去起点的相应一个向量的坐标等于其终点相应坐标减去起点的相应坐标坐标. .(3)(3)错误错误. .对于向量对于向量a=(x=(x1 1,y,y1 1) )，b=(x=(x2 2,y,y2 2) )，若，若ab，则，
7、则x x1 1y y2 2x x2 2y y1 1=0.=0.答案：答案：(1) (2) (3)(1) (2) (3)2.(1)2.(1)若向量若向量a=(5,=(5,2)2)，则向量，则向量a的相反向量的相反向量a=(=(5,2).5,2).答案：答案：( (5,2)5,2)(2)(2)若向量若向量a=(1,=(1,1),1),b=(3, ),=(3, ),则则a2 2b=(1,=(1,1)1)2(3, )=(2(3, )=(5,5,2).2).答案：答案：( (5,5,2)2)(3)(3)若向量若向量m=(2,2),=(2,2),n=(=(1,x),1,x),且且mn, ,则则2x2x2(
8、2(1)=0,1)=0,解得解得x=x=1.1.答案：答案：-1-1 【要点探究要点探究】知识点知识点1 1 向量的坐标表示向量的坐标表示1.1.对平面向量坐标表示的三点说明对平面向量坐标表示的三点说明(1)(1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关, ,而与它们的具而与它们的具体位置无关体位置无关. .(2)(2)向量确定后向量确定后, ,向量的坐标就被确定了向量的坐标就被确定了. .(3)(3)引入向量的坐标表示以后引入向量的坐标表示以后, ,向量就有两种表示方法：一种是向量就有两种表示方法：一种是几何法几何法, ,即用向量的长度和方向表示；另一种是
9、坐标法即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法, ,即用一即用一对有序实数表示对有序实数表示. .有了向量的坐标表示有了向量的坐标表示, ,就可以将几何问题转化就可以将几何问题转化为代数问题来解决为代数问题来解决. .2.2.点的坐标与向量坐标的区别与联系点的坐标与向量坐标的区别与联系(1)(1)区别区别表示形式不同，向量表示形式不同，向量a=(x,y)=(x,y)中间用等号连接，而点的坐标中间用等号连接，而点的坐标A(x,y)A(x,y)中间没有等号中间没有等号. .意义不同，点意义不同，点A(x,y)A(x,y)的坐标的坐标(x,y)(x,y)表示点表示点A A在平面直角坐标系在平面直角坐
10、标系中的位置，中的位置，a=(x,y)=(x,y)的坐标的坐标(x,y)(x,y)既表示向量的大小，也表示向既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外量的方向，另外(x,y)(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点时应指明点(x,y)(x,y)或向量或向量a=(x,y).=(x,y).(2)(2)联系联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同标相同. .【微思考微思考】(1)(1)如果已知向量的坐标，能否确定向量的位置？如果已知向量的坐标，能否确定向量的位置？提示：提示：不
11、能不能. .已知向量的坐标，向量的两个端点的坐标不能确已知向量的坐标，向量的两个端点的坐标不能确定，因此向量的位置不能确定定，因此向量的位置不能确定. .(2)(2)相等向量的坐标、端点坐标之间有什么关系？相等向量的坐标、端点坐标之间有什么关系？提示：提示：相等向量的坐标相同相等向量的坐标相同, ,但是端点坐标不一定相同但是端点坐标不一定相同. .【即时练即时练】1.1.若点若点A(1,1),B(0,2),A(1,1),B(0,2),则则 =_.=_.2.2.已知已知 =(2,4)=(2,4)，若点，若点M(M(3,2)3,2)，则点，则点N N的坐标为的坐标为_._.3.3.已知已知a=(2
12、,0)=(2,0)，b=(x=(x1,y+1)1,y+1)，若，若a= =b，则，则x=_,x=_,y=_y=_._.【解析解析】1.1.若点若点A(1,1),B(0,2),A(1,1),B(0,2),则则 =(=(1,1).1,1).答案：答案：( (1,1)1,1)2.2.已知已知 =(2,4)=(2,4)，若点，若点M(M(3,2)3,2)，设设N N的坐标为的坐标为x,y,x,y,则则解得解得 则则N(N(1,6).1,6).答案：答案：( (1,6)1,6)3.3.若若a=b,a=b,则则 解得解得答案：答案：3 -13 -1知识点知识点2 2 向量共线的坐标表示向量共线的坐标表示两
13、个向量共线的表示形式两个向量共线的表示形式已知已知a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),(1)(1)当当b0时，时，a=b. .这是几何运算，体现了向量这是几何运算，体现了向量a与与b的长度及方向之间的关系的长度及方向之间的关系. .(2)x(2)x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0.=0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数参数“”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点，程序化的特征数化的特点，程序
14、化的特征. .(3)(3)当当x x2 2y y2 200时，时， ，即两向量的相应坐标成比例，即两向量的相应坐标成比例. .通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误配错误. .【微思考微思考】(1)(1)向量平行的坐标表示有何特征向量平行的坐标表示有何特征? ?提示：提示：交叉坐标乘积之差等于零交叉坐标乘积之差等于零. .(2)(2)对于平行向量如何根据其坐标判断两向量是同向还是反向对于平行向量如何根据其坐标判断两向量是同向还是反向？提示：提示：根据向量的坐标，由根据向量的坐标，由(x(x1 1,y,y1 1)=(x)
15、=(x2 2,y,y2 2),),当当00时，两向时，两向量同向，当量同向，当00时，两向量反向时，两向量反向. .【即时练即时练】1.1.若向量若向量a=(1,=(1,2)2)，b=( ,=( ,1)1)，则向量，则向量a, ,b的关系是的关系是_._.2.2.已知向量已知向量a=(=(a a, ,b)b), ,b=(=(1,2),1,2),若若ab, ,则则a a, ,b b满足的关系满足的关系式为式为_ _._.【解析解析】 1.1( 1.1(1)1)( (2) =2) =1+1=0.1+1=0.答案：答案：平行平行2.2.已知向量已知向量a=(a,b),=(a,b),b=(=(1,2)
16、,1,2),若若ab, ,则则2a+b=0.2a+b=0.答案：答案：2a+b=02a+b=0【题型示范题型示范】类型一类型一 平面向量的坐标表示及其线性运算平面向量的坐标表示及其线性运算【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014北京高考北京高考) )已知向量已知向量a=(2,4)=(2,4)，b=(-1,1)=(-1,1)，则则2 2a- -b=( )=( )A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)(2)(2)向量向量a, ,b, ,c在正方形网格中的位置如图所示，若在正方形网格中的位置如图所示，若c
17、=a+b(，R)R)，则，则 =_.=_.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中求向量中求向量2 2a- -b的坐标的运算顺序是什么的坐标的运算顺序是什么？2.2.将向量坐标表示的前提是什么？将向量坐标表示的前提是什么？【探究提示探究提示】1.1.将将a, ,b的坐标代入求解的坐标代入求解. .2.2.先建立适当的坐标系将向量用坐标表示先建立适当的坐标系将向量用坐标表示. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选A.2A.2a- -b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7).=2(2,4)-(-1,1)=(5,7).(2)(2)以向量以向量a, ,b的交点为原点，原点向右的方向为的交点为
18、原点，原点向右的方向为x x轴正方向，轴正方向，正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系，则正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系，则a=(=(1,1),1,1),b=(6,2),=(6,2),c=(=(1,1,3)3)，根据，根据c=a+b得得( (1,1,3)=(3)=(1,1)1,1)+(6,2)+(6,2)，即，即 解得解得=2,=2,= , ,所以所以答案：答案：4 4【方法技巧方法技巧】平面向量坐标的线性运算方法平面向量坐标的线性运算方法(1)(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行乘的运算法则进行
19、. .(2)(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算然后再进行向量的坐标运算. .(3)(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. .【变式训练变式训练】已知向量已知向量 =(k,12), =(4,5), =(-k,10),=(k,12), =(4,5), =(-k,10),且且A A，B B，C C三点共线，则三点共线，则k=_.k=_.【解析解析】 =(4-k,-7),=(4-k,-7), =(-2k,-2). =(-2k,-2).因为因为A A，B B，
20、C C三点共线，三点共线，所以所以-2(4-k)-(-2k)(-7)=0-2(4-k)-(-2k)(-7)=0，解得解得k=- .k=- .答案：答案：- - 【补偿训练补偿训练】设点设点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1)A(-1,2),B(2,3),C(3,-1)，且，且求求D D点的坐标点的坐标. .【解题指南解题指南】设出设出D D点坐标，将向量用坐标表示即可点坐标，将向量用坐标表示即可. .【解析解析】设设D(x,y)D(x,y)，因为，因为A(-1,2),B(2,3),C(3,-1)A(-1,2),B(2,3),C(3,-1)，所以所以 =(3=(3，1)1)， =(1=(
21、1，-4)-4)， =(x+1,y-2).=(x+1,y-2).又因为又因为所以所以(x+1,y-2)=2(3,1)-3(1,-4)=(6,2)-(3,-12)=(3,14).(x+1,y-2)=2(3,1)-3(1,-4)=(6,2)-(3,-12)=(3,14).所以所以 解得解得所以所以D(2,16).D(2,16).类型二类型二 平面向量平行的坐标表示及其应用平面向量平行的坐标表示及其应用【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013陕西高考陕西高考) )已知向量已知向量a=(1,m),=(1,m),b=(m,2),=(m,2),若若ab, ,则实数则实数m m等于等于( )( )
22、A A B. B. C.C. 或或 D.0D.0(2)(2)如图所示，已知点如图所示，已知点A(4,0),B(4,4)A(4,0),B(4,4)，C(2C(2，6)6)，求，求ACAC与与OBOB的的交点交点P P的坐标的坐标. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中ab如何用坐标表示？如何用坐标表示？2.2.题题(2)(2)中点中点O,P,BO,P,B；A,P,CA,P,C的关系分别是什么？的关系分别是什么？【探究提示探究提示】1.1.表示为表示为:12-mm=0:12-mm=02.2.分别是共线关系分别是共线关系. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选C. C. 因为因为a=
23、(1,m),=(1,m),b=(m,2),=(m,2),且且ab, ,所以所以12=mm12=mm m= .m= .(2)(2)方法一：设方法一：设P(x,y)P(x,y)，则则 =(x,y), =(4,4).=(x,y), =(4,4).因为因为 共线，共线，所以所以4x-4y=0.4x-4y=0.又又 =(x-2,y-6), =(2,-6),=(x-2,y-6), =(2,-6),且向量且向量 共线，共线，所以所以-6(x-2)+2(6-y)=0.-6(x-2)+2(6-y)=0.解由解由组成的方程组，得组成的方程组，得x=3,y=3x=3,y=3，所以点所以点P P的坐标为的坐标为(3(
24、3，3).3).方法二：设方法二：设 =t(4,4)=(4t,4t),=t(4,4)=(4t,4t),则则 =(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t)=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t)， =(2,6)-(4,0)=(-2,6).=(2,6)-(4,0)=(-2,6).由由 共线的条件知共线的条件知(4t-4)6-4t(-2)=0(4t-4)6-4t(-2)=0，解得解得t= ,t= ,所以所以 =(4t,4t)=(3,3),=(4t,4t)=(3,3),所以点所以点P P的坐标为的坐标为(3(3，3).3).【延伸探究延伸探究】在本题在本题(1)(1)中，若向量中，若向量a
25、, ,b同向，则应该选哪个同向，则应该选哪个答案？答案？【解析解析】选选B.B.由本题由本题(1)(1)的解答可知的解答可知,m=- ,m=- 或或 , ,当当m=- m=- 时时, ,b=- =- a反向；反向；当当m= m= 时，时，b= = a同向，故同向，故m= .m= .【方法技巧方法技巧】利用向量共线的条件求值的处理思路利用向量共线的条件求值的处理思路是利用共线向量定理是利用共线向量定理a=b( (b0) )列方程组求解，列方程组求解，是利用向是利用向量共线的坐标表达式量共线的坐标表达式x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0直接求解直接求解. .【变式训练变式训
26、练】已知向量已知向量a=(1,3),=(1,3),b=(3,n),=(3,n),若若2 2a- -b与与b共线共线, ,则实数则实数n n的值是的值是( )( )A.6 B.9 C.3+2 D.3-2A.6 B.9 C.3+2 D.3-2【解析解析】选选B.2B.2a- -b=(2,6)=(2,6)( (3,n)=(3,n)=(1,61,6n)n)，因为因为2 2a- -b与与b共线，则共线，则-n-3(6-n)=0,-n-3(6-n)=0,解得解得n=9.n=9.【补偿训练补偿训练】已知向量已知向量a(1(1，2)2)，b(2(2，0)0)，c(1(1，2)2)，若向量若向量ab与与c共线，
27、则实数共线，则实数的值为的值为( )( )A.-2 B.- C.-1 D.-A.-2 B.- C.-1 D.-【解析解析】选选C.C.ab=(+2,2)=(+2,2)，又向量，又向量ab与与c共线，共线，则则(+2)(+2)(2)2)2=2=444=04=0，解得，解得=1.1.【易错误区易错误区】忽略向量的方向致误忽略向量的方向致误【典例典例】(2014(2014肇庆高一检测肇庆高一检测) )已知向量已知向量a=(=(m,4)m,4)与与b= =( (9,m)9,m)共线且反向，则共线且反向，则m=( )m=( )A.6 B.-6 C.6 D.36A.6 B.-6 C.6 D.36【解析解析
28、】选选B.B.已知向量已知向量a=(=(m,4)m,4)与与b=(=(9,m)9,m)共线，共线，可得可得m m2 24(4(9)=9)=m m2 2+36=0+36=0，即，即m m2 2=36=36，解得解得m=6m=6，当当m=6m=6时，时，a=(=(6,4)6,4)，b=(=(9,6)9,6)，则，则a= = b，a与与b同向，同向，不符合题意不符合题意. .当当m=m=6 6时，时，a=(6,4)=(6,4)，b=(=(9,9,6)6)，则则a= = b，a与与b反向符合题意反向符合题意. .故选故选B.B.【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析A A 没有阴影处参数取值是否
29、满足反向的条件没有阴影处参数取值是否满足反向的条件 【防范措施防范措施】深入理解向量关系，防止错解深入理解向量关系，防止错解 利用向量平行的坐标表示解决共线问题时应关注两个向量利用向量平行的坐标表示解决共线问题时应关注两个向量的方向关系，由方向关系确定参数的取值的方向关系，由方向关系确定参数的取值. .如本例中两向量共如本例中两向量共线且反向，参数的值应取负值线且反向，参数的值应取负值. .【类题试解类题试解】已知已知A(1,3)A(1,3)，B(2,4)B(2,4)，a=(2x=(2x1,x1,x2 2+3x+3x3)3)且且a= = ，则，则x=( )x=( )A.1 B.1A.1 B.1或或-4 C.0 D.-4-4 C.0 D.-4【解析解析】选选A. =(1,1)A. =(1,1)，又，又a= = ，则由，则由2x2x1=11=1，解得，解得x=1x=1；由由x x2 2+3x+3x3=13=1，解得，解得x=1x=1或或x=x=4(4(舍去舍去).).故选故选A.A.
