已知三点确定二次函数的表达式

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1、2.32.3确定二次函数表达式确定二次函数表达式用待定系数法求二次函数的解析式一、一、一般式：一般式：y=ax+bx+c(a,b,c为常数常数,a0)l求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关的解析式，关键是求出待定系数是求出待定系数a，b，c的的值。l由已知条件（如二次函数由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐像上三个点的坐标）列出关于）列出关于a，b，c的方程的方程组，并求出，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解就可以写出二次函数的解析式。析式。例例1 1 已知已知: :抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c过点（过点（2 2，1 1）、（）、（1 1，-2

2、 -2 ）（）（0 0，5 5）三点，求抛物线的解析式）三点，求抛物线的解析式解：由题意可得：解：由题意可得：4a+2b+c=1a+b+c=-2 c=5 解之得：解之得：a=5b=-12c=5所以抛物线的解析式是：所以抛物线的解析式是：y=5x2-12x+5.练已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1,101,10）、）、（1,41,4）、（）、（2,72,7）三点，求这个函数的表达式？）三点，求这个函数的表达式？oxy解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：a=2

3、, b=-3, c=5所以所求二次函数是：所以所求二次函数是：y=2x2-3x+5二、顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数a0).l1.若已知抛物若已知抛物线的的顶点坐点坐标和抛物和抛物线上的另上的另一个点一个点的的坐坐标时，通，通过设函数的解析式函数的解析式为顶点式点式y=a(x-h)2+k.2.特特别地，当抛物地，当抛物线的的顶点点为原点是，原点是，h=0,k=0,可可设函函数的解析式数的解析式为y=ax2.3.当抛物当抛物线的的对称称轴为y轴时，h=0,可可设函数的解析式函数的解析式为y=ax2+k.4.当抛物当抛物线的的顶点在点在x轴上上时，k=0，可，可设函数的解析式函数的

4、解析式为y=a(x-h)2.解：解：1.1.已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1 1，3 3），与），与y y轴轴交点为（交点为（0 0，5 5）, ,求该抛物线的解析式？求该抛物线的解析式？yox所以设所求的二次函数解析式为：所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x1)2-3因为已知抛物线的顶点为（因为已知抛物线的顶点为（1 1，3 3）又点又点( 0,-5 )在抛物线上在抛物线上a-3=-5, 解得解得a= -2故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3即：即：y=2x2-4x52.已知一个二次函数的已知一个二次函数的图象象经过点点(4,-3)，并且，并且当当

5、x=3时有最大有最大值4，试确定确定这个二次函数的个二次函数的解析式。解析式。解法1：（利用一般式利用一般式）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c(a0)由题意知16a+4b+c=-3-b/2a=3(4ac-b2)/4a=4解方程组得：a=-7b=42c=-59二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59解法解法2：（利用（利用顶点式）点式）当当x=3时，有最大，有最大值4 顶点坐点坐标为(3,4)设二次函数解析式二次函数解析式为：y=a(x-3)2+4 函数函数图象象过点（点（4，-3）a(4-3)2+4=-3 a=-7 二次函数的解析式二次函数的解析式为：y=-7(x-3)2+43.

6、二次函数二次函数y=ax2+bx+c的的图象象过点点A(0,5),B(5,0)两两点，它的点，它的对称称轴为直直线x=3，求，求这个二次函数的个二次函数的解析式。解析式。解:二次函数的对称轴为直线x=3设二次函数表达式为y=a(x-3)2+k图象过点A(0,5),B(5,0)两点5=a(0-3)2+k0=a(5-3)2+k解得：a=1k=-4二次函数的表达式:y=(x-3)2-4即y=x2-6x+5小结:已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时优先选用顶点式。三、交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a0）l当抛物当抛物线与与x轴有两个交点有两个交点为（x1,0）,(x

7、2,0)时，二次函数二次函数y=ax2+bx+c可以可以转化化为交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物因此当抛物线与与x轴有两个交点有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可，可设函数的解析式函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另，在把另一个点一个点的坐的坐标代入其中，即可解得代入其中，即可解得a，求出抛物，求出抛物线的解析式。的解析式。l交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2).x1和和x2分别是抛物线与分别是抛物线与x轴轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线对称轴对称，则直线就是抛物线的对称

8、就是抛物线的对称轴轴.1：已知二次函数与已知二次函数与x 轴的交点坐标为（轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（），点（0，1）在图像上，求其解析式。）在图像上，求其解析式。解：设所求的解析式为抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） 又点（0，1）在图像上， a = -1即：解：（解：（交点式交点式）二次函数图象经过点二次函数图象经过点(3,0),(-1,0) 设二次函数表达式为设二次函数表达式为：y=a(x-3)(x+1) 函数图象过点函数图象过点(1,4) 4=a(1-3)(1+1)得得a=-1 函数的表达式为：函数的表达式为：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+32

9、：已知二次函数图象经过点已知二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和和(3,0)三三点，求二次函数的表达式。点，求二次函数的表达式。知道抛物线与知道抛物线与x轴的两个交点的坐轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便标，选用交点式比较简便其它解法其它解法：（：（一般式一般式）设二次函数解析式二次函数解析式为y=ax2+bx+c 二次函数二次函数图象象过点点(1,4),(-1,0)和和(3,0) a+b+c=4a-b+c=09a+3b+c=0解得：解得：a=-1b=2c=3 函数的解析式函数的解析式为：y=-x2+2x+3（顶点式）（顶点式）解：解：抛物线与抛物线与x轴相交两点轴相交两点(-1,

10、0)和和(3,0)，(-1+3)/2=1 点点(1,4)为抛物线的顶点为抛物线的顶点可设二次函数解析式为：可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2+4 抛物线过点抛物线过点(-1,0) 0=a(-1-1)2+4得得a=-1 函数的解析式为：函数的解析式为：y=-(x-1)2+4 3已知二次函数的图象在已知二次函数的图象在x轴上截得的线段轴上截得的线段长是长是4，且当，且当x1，函数有最小值，函数有最小值-4，求这个，求这个二次函数的解析式二次函数的解析式 (-1, 0)(3, 0)X=1由题意由题意,得得:解解:设图象与设图象与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(,0),(,0),把把(1,-4)

11、代入上式得代入上式得:-4=a(1-3)(1+1)解得解得:a=1 y=x2-2x-3四、用平移式求二次函数的解析式、四、用平移式求二次函数的解析式、 1.将抛物线将抛物线 向左平移向左平移4个单位，再向个单位，再向下平移下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。个单位，求平移后所得抛物线的解析式。解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得：(1)、由 向左平移4个单位得：（左加右减）（2）、再将 向下平移3个单位得 （上加下减） 即：所求的解析式为一、一、 求二次函数的解析式的一般步骤：求二次函数的解析式的一般步骤：一设、二列、三解、四还原一设、二列、三解、四还原.二、二次函数常用的几种解析

12、式的确定1、一般式、一般式已知抛物线上三点的坐标三点的坐标，通常选择一般式。通常选择一般式。已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。通常选择顶点式。 已知抛物线与与x轴的交点坐标轴的交点坐标，选择交点式选择交点式。2、顶点式、顶点式3、交点式、交点式4、平移式 将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐顶点坐标标， 可将原函数先化为顶点式顶点式，再根据“左加右减，左加右减，上加下减上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。l二次函数关系二次函数关系:y=ax2 (a0)y=ax2+k (a0)y=a(x-h)2+k (a0)y=ax 2+bx+c

13、 (a0)y=a(x-h)2 (a0)顶点式顶点式一般式一般式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)交点式交点式三、求二次函数解析式的思想方法 1、 求二次函数解析式的常用方法：求二次函数解析式的常用方法： 2、求二次函数解析式的、求二次函数解析式的 常用思想：常用思想： 3、二次函数解析式的最终形式：、二次函数解析式的最终形式：待定系数法、配方法、数形结合等。转化思想转化思想 : 解方程或方程组解方程或方程组 无论采用哪一种解析式求解，无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。最后结果最好化为一般式。活学活用活学活用 加深理解加深理解1.某抛物线是将抛物线某抛物线是将抛物线y=ax2

14、向右平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度向上平移一个单位长度得到的，且抛物线过点（得到的，且抛物线过点（3,-3），求该抛物线表达式。），求该抛物线表达式。顶点坐标（顶点坐标（1，1）设）设y=a(x-1)2+12.已知二次函数的已知二次函数的对称轴是直线对称轴是直线x=1，图像上最低点，图像上最低点P的的纵坐标为纵坐标为-8，图像还过点图像还过点(-2,10)，求此函数的表达式。，求此函数的表达式。顶点坐标（顶点坐标（1，-8）设）设y=a(x-1)2-83.已知二次函数的图象与已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为轴两交点间的距离为4，且当，且当x=1时，函数

15、有最小值时，函数有最小值-4，求此表达式。求此表达式。顶点坐标（顶点坐标（1，-4）设）设y=a(x-1)2-44.某抛物线与某抛物线与x轴两交点的横坐标为轴两交点的横坐标为2，6，且函数的最大，且函数的最大值为值为2，求函数的表达式。求函数的表达式。顶点坐标（顶点坐标（4，2）设）设y=a(x-4)2+22、已知二次函数的图像过原点，当、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，时，y有最小值为有最小值为-1，求其解析式。，求其解析式。 解：设二次函数的解析式为 x = 1, y= -1 , 顶点（1，-1）。又（0，0）在抛物线上， a = 1 即： 解：设y=a(x1)2-31.已知抛物线的

16、顶点为（1 1，3 3），与x轴交点为（0，5）求抛物线的解析式？yox(0,-5)-5=a-3a=-2y=2(x1)2-3即：y=-2x24x5练习练习y=-2（x22x1）-3所以设所求的二次函数为所以设所求的二次函数为y=a(x1)(x1)3.已知抛物线与已知抛物线与X轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0）并经过点并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？又又点点M(0,1)在抛物线上在抛物线上 a(0+1)(0-1)=1解得：解得：a=-1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为y=- (x1)(x-1)即：即：y=x2+1解：因为抛物线与解：因为抛物线与x

17、轴的交点为轴的交点为A(1，0)，B(1，0)， 选择最优解法，求下列二次函数解析式选择最优解法，求下列二次函数解析式：1 1、已知抛物线的图象经过点、已知抛物线的图象经过点(1,4)(1,4)、(-1,-1)(-1,-1)、(2,-2)(2,-2)，设抛物，设抛物线解析式为线解析式为_._.2 2、已知抛物线的顶点坐标、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) (-2,3) ，且经过点，且经过点(1,4) ,(1,4) ,设抛物线设抛物线解析式为解析式为_._.3 3、已知二次函数有最大值、已知二次函数有最大值6 6，且经过点，且经过点(2, 3)(2, 3)，(-4,5)(-4,5)，设抛，设抛物

18、线解析式为物线解析式为_._.4 4、已知抛物线的对称轴是直线、已知抛物线的对称轴是直线x=-2x=-2，且经过点，且经过点(1,3)(1,3)，(5,6)(5,6)，设抛物线解析式为设抛物线解析式为_._.5 5、已知抛物线与、已知抛物线与x x轴交于点轴交于点A(A(1 1，0)0)、B(1B(1，0)0)，且经过点，且经过点(2,-3),(2,-3),设抛物线解析式为设抛物线解析式为_._.做一做做一做题组训练题组训练1 1、已知二次函数的最大值是已知二次函数的最大值是2 2，图象顶点，图象顶点在直线在直线y=x+1y=x+1上，并且图象经过点（上，并且图象经过点（3 3，- -6 6）

19、，求二次函数的解析式），求二次函数的解析式. .2 2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。求这条抛物线的解析式。3 3、已知抛物线过已知抛物线过A A（2 2，0 0）、）、B B（1 1，0 0）、）、C C（0 0，2 2）三点。求这条抛物线的解析式。）三点。求这条抛物线的解析式。4、根据下列条件，求二次函数的解析式。、根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；三点；(2)、图象的顶点、图象的顶点(2，3)， 且经过点且经过点(3，1) ；(3)、图象经过、图象经过(-1，0)， (3，0) ，（，（0, 3）。）。议一议议一议 通过上述问题的解决通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么采用的一般方法是什么?（待定系数法）（待定系数法）你能否总结出上述解题的一般步骤你能否总结出上述解题的一般步骤?1.若无坐标系若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系首先应建立适当的直角坐标系;2.设抛物线的表达式设抛物线的表达式;3.写出相关点的坐标写出相关点的坐标;4.列方程列方程(或方程组或方程组);5.解方程或方程组解方程或方程组,求待定系数求待定系数;6.写出函数的表达式写出函数的表达式;