等腰三角形的判定

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1、1 1、等腰三角形是怎样定义的？、等腰三角形是怎样定义的？有两条边相等的三角形有两条边相等的三角形, ,叫做等腰三角形。叫做等腰三角形。等腰三角形是轴对称图形。等腰三角形是轴对称图形。等等腰腰三三角角形形顶顶角角的的平平分分线线、底底边边上上的的中中线线、底底边边上的高重合上的高重合( (也称为也称为“三线合一三线合一”).).等等腰腰三三角角形形的的两两个个底底角角相相等等( (简简写写成成“等边对等角等边对等角”) ) 。2 2、等腰三角形有哪些性质？、等腰三角形有哪些性质？D DA AB BC C既是性质又既是性质又是判定是判定OAB 如图，位于海上如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接

2、到两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得处遇险船只的报警，当时测得A=B。如果这两艘。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素地点（不考虑风浪因素）？）？问题情境问题情境 ：19.4.2 19.4.2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定n学习目标：学习目标： 1. 掌握等腰三角形的判定定理掌握等腰三角形的判定定理. 2、会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的、会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和证明。计算和证明。 3、理解勾股定理逆定理的证明方法。、理解勾股定理逆定理的证明方法。 重点重点

3、难点难点重点重点自学课本自学课本P89-90P89-90，并完成学案，并完成学案-自主学习自主学习把把“等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等”改写成改写成“如果如果-那么那么-”形式。形式。逆命题逆命题:如果如果一个三角形有两个角相等，一个三角形有两个角相等，那么那么这个三角这个三角形是等腰三角形形是等腰三角形.如果如果一个三角形是等腰三角形一个三角形是等腰三角形,那么那么这个三角形这个三角形的两个底角相等的两个底角相等.它是真命题吗它是真命题吗?探探究究新新知知 操作一操作一做一做做一做你发现了什么结论？其他同学的结果与你你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？的相同吗？

4、操作二操作二量一量，线段量一量，线段AB与与AC的长度。的长度。画画 ABC.使使 B C30AB=AC怎样用数怎样用数学推理进学推理进行证明呢行证明呢？ABCD1 2已知：已知：如图如图,在在ABC中，中，B=C。求证：求证：AB=AC你还有其你还有其他证法吗他证法吗?证明证明: :作作BAC的平分线的平分线AD则则1=2在在BAD和和CAD中中如果一个三角形有如果一个三角形有两个角相等两个角相等, ,那么这两那么这两 个角所对的边也相等个角所对的边也相等B=C1=2AD=AD (公共边公共边) AB= AC (全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) BAD CAD (AAS)ABC

5、如如果果一一个个三三角角形形有有两两个个角角相相等等，那那么么这这两两个个角所角所对的边也相等对的边也相等几何语言：几何语言： B =C (B =C (已知已知) ) AB=AC( AB=AC(等角对等边等角对等边) ) 等腰三角形的判定定理：等腰三角形的判定定理：( (简写成简写成“等角对等边等角对等边”) )。注意：注意：在在同同一个三角形一个三角形中应用哟中应用哟！巩固练习：下列两个图形是否是等腰三角形？巩固练习：下列两个图形是否是等腰三角形？750300400400例例1 1：如图：如图, ,上午上午10 10 时，一条船从时，一条船从A A处出发以处出发以2020海里海里每小时的速度

6、向正北航行，中午每小时的速度向正北航行，中午1212时到达时到达B B处，从处，从A A、B B望望灯塔灯塔C C，测得测得NAC=40NAC=40NBC=80NBC=80求从求从B B处到处到灯塔灯塔C C的距离的距离解：解：NBC=A+C NBC=A+C C=80C=80- 40- 40= 40= 40 C = A C = A BA=BC BA=BC（等角对等边）等角对等边）AB=20AB=20（12-1012-10）=40=40BC=40BC=40答：答：B B处处到达灯塔到达灯塔C40C40海里海里小试牛刀小试牛刀80804040NBAC北大大显显身身手手如图，在如图，在ABCABC中

7、，中，AB=ACAB=AC，ABCABC和和ACBACB的平分线交的平分线交于点于点O.O.过过O O作作EFBCEFBC交交ABAB于于E E，交，交ACAC于于F.F.(1)(1)、请你写出图中所有等腰三角形，并探究、请你写出图中所有等腰三角形，并探究EFEF、BEBE、FCFC之间的关系；之间的关系；2 2ABO 3ABO 3ACOACOO OA AB BC CE EF F若若ABAC，其他，其他条件不变，图中条件不变，图中还有等腰三角形还有等腰三角形吗？吗？(1)中结论还中结论还成立吗？成立吗？解：解： EF=BE+CF理由：理由：A AB BC CO OE EF F1324 EFEF

8、BCBC1 12 32 34 4 BOBO、COCO分别平分分别平分ABCABC、ACBACB1 1ABO 4ABO 4ACOACOBEBEOE CF=OFOE CF=OF EF=EO+FOEF=EO+FOEFEFBE+CFBE+CF直角三角形的两直角边的平方和等于斜边直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（的平方（勾股定理勾股定理 ）如果三角形的一条边的平方等于另外两如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形（三角形（勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 ）若要证明下列定理，请你首先把它们写成若要证明下列定理，请你首先把它们写

9、成“已知已知.求证求证.”的形式的形式ABC已知：如图，已知：如图， ABC中，中，AC2 = AB2 + BC2求证：求证：ABC是直角三角形是直角三角形证明：证明：画画RtABC使使B=900，BC=BC，A B=AB由勾股定理得：由勾股定理得：AC2 =AB2 +BC2= AB2 + BC2= AC2AC=AC A BCABC(SSS)B=B = 900ABC是直角三角形是直角三角形ABCOAB 思考思考：如图，位于海上：如图，位于海上A、B两处的两艘救生船两处的两艘救生船接到接到O处遇险船只的报警，当时测得处遇险船只的报警，当时测得A=B。如果。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能

10、不能同时赶这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素到出事地点（不考虑风浪因素）？）？课堂小结课堂小结今天你学到了什么今天你学到了什么? 2 2、用构造直角三角形证明了勾股定理的逆定理。、用构造直角三角形证明了勾股定理的逆定理。1 1、等腰三角形的判定定理：等腰三角形的判定定理：等角对等边。等角对等边。 3、会运用等腰三角形的、会运用等腰三角形的性质性质和和判定判定进行计算和进行计算和 证明。证明。1、如图，把一张矩形的纸沿对、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？说明理由。腰三角形吗？说明理由。ABCDE2 2、

11、如图，、如图，AB=AC,AB=AC,A=36A=36BDBD平分平分ABCABC交交ACAC于点于点D.D.图中有哪些等腰图中有哪些等腰三角形。选择一个说明理由。三角形。选择一个说明理由。反反馈馈矫矫正正3 3 如图，已知如图，已知P P、Q Q是是ABCABC的边的边BCBC上两点，并上两点，并且且BPBPPQPQQCQCAPAPAQAQ，求，求BACBAC的大小的大小解：解：PQ=AP=AQPQ=AP=AQ PAQ=APQ=AQ= C+QAC= 60PAQ=APQ=AQ= C+QAC= 600 0QC=AQQC=AQ C=QAC=30 C=QAC=300 0，同理同理B=BAP=30B=

12、BAP=300 0 BAC=BAP+PAQ+QAC=30+60+30=120 BAC=BAP+PAQ+QAC=30+60+30=1200 0小结名名称称图图 形形概概 念念 性质性质 判判 定定 等等 腰腰 三三 角角 形形A AB BC C有两边有两边相等的相等的三角形三角形是等腰是等腰三角形三角形2.等边对等角等边对等角3. 三线合一三线合一4.是轴对称图形是轴对称图形2.等角对等边等角对等边1.两边相等两边相等1.1.两腰相等两腰相等 运用等腰三角形的判定定理时，运用等腰三角形的判定定理时，应注意应注意在同一个三角形中在同一个三角形中.1 1、如图，、如图，A=36A=36，DBC=36

13、DBC=36，C=72C=72。分别计算。分别计算1 1、2 2的度数，的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。并说明图中有哪些等腰三角形。2 2、如图，、如图，把一张矩形的纸沿对角线折把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？叠，重合部分是一个等腰三角形吗？3 3、如图，、如图，ACAC和和BDBD相交于点相交于点O O，且，且ABDCABDC，OA=OBOA=OB。求证：求证：OC=ODOC=OD。1=721=72，2=362=36等腰三角形有：等腰三角形有：ABCABC，ABDABD， BCDBCD。ABCDEBADC5 5、已知：如图，、已知：如图，AD BCAD BC，BD

14、BD平分平分ABCABC。求。求证：证：AB=ADAB=AD证明：证明： AD BCAD BC ADB=DBC ADB=DBC BDBD平分平分ABCABC ABD=DBCABD=DBC ABD=ADB ABD=ADB AB=AD AB=AD4 4、已知：如图，、已知：如图，CDCD是等腰直角三角是等腰直角三角形形ABCABC斜边上的高，找出图中有哪些斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形等腰直角三角形。等腰直角三角形有：等腰直角三角形有： ABC ABC ，ACD ACD ，BCDBCD。ACDB做一做：设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形如果是直角三角形，请指出

15、哪条边所对的角是直角（1） 7， 24， 25；（2） 12， 35， 37；（3） 35， 91， 84 根据勾股定理的逆定理可判断根据勾股定理的逆定理可判断（1），（），（2），（），（3）都是直）都是直角三角形（最小两边平方和等角三角形（最小两边平方和等于最大边的平方），其中最大于最大边的平方），其中最大边所对的角是直角。边所对的角是直角。练习1 说出定理“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题，并证明该逆命题为真命题逆命题：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形。证明略2 如图，已知P、Q是ABC的边BC上两点，并且BPPQQCAPAQ，求BAC的大小解：解：PQ=A

16、P=AQ PAQ= APQ= AQP= C+ QAC= 60度度QC=AQ C= QAC=30度，度，同理同理B= BAP=30度度 BAC= BAP+ PAQ+ QAC=30+60+30=120度度 1. 等腰三角形的识别 1).根据等腰三角形定义；根据等腰三角形定义； 2).等角对等边等角对等边 小结小结 2.2.了解了等边三角形识别了解了等边三角形识别, ,等腰直角三角形的概念等腰直角三角形的概念1).三个角都是三个角都是60 的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形2).顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形 等腰三角形的性质等腰三角形的性质1.1.等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的两个底角相等；2.2.底边上的高、中线及顶角平分线三线合一底边上的高、中线及顶角平分线三线合一 想一想想一想想一想想一想你怎样识别一个三角形是不是等腰三角形呢？你怎样识别一个三角形是不是等腰三角形呢？