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1、勾股定理专题复习CAB直角三角形有哪些特殊的性质角角边边面积面积直角三角形的直角三角形的两锐角互余两锐角互余。直角三角形直角三角形两直角边两直角边的的平方和平方和等于等于斜边斜边的的平方平方。两种计算面积的方法。两种计算面积的方法。符号语言：符号语言： 在在Rt ABC中中a2 2+b2 2=c2 2abc如何判定一个三角形是直角三角形呢？(1)(2)有一个内角为直角的三角形是直角三角形有一个内角为直角的三角形是直角三角形两个内角互余的三角形是直角三角形两个内角互余的三角形是直角三角形符号语言：符号语言：C=90或或ABC 为为Rt ABC a2 2+b2 2=c2 2(3)如果三角形的三边长
2、为如果三角形的三边长为a、b、c满足满足a2 2+b2 2=c2 2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形CABabc如果一个三角形如果一个三角形一边上的中线一边上的中线等于这条边这条边的一半的一半，那么这个三角形是，那么这个三角形是直角三角形直角三角形吗？吗？ 直角三角形判定CABDCAB如何判定一个三角形是直角三角形呢？(1)(2)(4)有一个内角为直角的三角形是直角三角形有一个内角为直角的三角形是直角三角形两个内角互余的三角形是直角三角形两个内角互余的三角形是直角三角形符号语言：符号语言：在在Rt ABC中中a2 2+b2 2=c2 2(3)如果三角形的三边长为如果三角
3、形的三边长为a、b、c满足满足a2 2+b2 2=c2 2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形如果一个三角形如果一个三角形一边上的中线一边上的中线等于这条边这条边的一半的一半，那么这个三角形是，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形。 有四个三角形，分别满足下列条件：有四个三角形，分别满足下列条件：一个内角等于另两个内角之和；一个内角等于另两个内角之和；三个角之比为三个角之比为:;三边长分别为、三边长分别为、三边之比为三边之比为5:12:13其中直角三角形有（其中直角三角形有（ ）A、1个个 B、2个个 C、3个个 D、4个个C54321观察下列图形，正方形观察下列图形，正
4、方形1的边长为的边长为7，则，则正方形正方形2、3、4、5的的面积之和面积之和为多少？为多少？规律：规律：S2 2+S3 3+S4 4+S5 5= S1 1一、常见问题枚举：知识点知识点1：（已知两边求第三边：（已知两边求第三边)1在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_2已知直角三角形的两边长为已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是，则另一条边长是_考查意图说明：考查意图说明：2，3训练学生分类讨论思想训练学生分类讨论思想3、三角形、三角形ABC中中,AB=10,AC=17,BC边上的高线边上的高线AD=8,求求BC的长？的长？考查意图说明：考查意图说明：知
5、识点知识点2：一、利用方程求线段长一、利用方程求线段长如图，公路上如图，公路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为两村庄，为两村庄， DA AB于于A，CB AB于于B，已知，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路，现在要在公路AB上上 建一车站建一车站E，使得，使得C，D两村到两村到E站的距离相等，站的距离相等，ADEBC152510（3）使得）使得C，D两村到两村到E站的距离站的距离最短最短（2）DE与与CE的的位置关系位置关系（1）E站建在离站建在离A站多少站多少km处？处？4、等腰三角形底边上的高为、等腰三角形底边上的高为8，周长为，周长为32，求这个三角形的面积求这个三
6、角形的面积8x16-xDABC解：设这个三角形为解：设这个三角形为ABC，高为，高为AD，设，设BD为为x，则，则AB为（为（16-x），）， 由勾股定理得：由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即即x2+64=256-32x+x2 x=6 SABC=BCAD/2=2 6 8/2=482、已知、已知RtABC中，中，C=90，若，若a+b=14cm， c=10cm，则，则RtABC的面积是（）的面积是（） A、24cm2B、36cm2 C、48cm2 D、60cm23 3、直角三角形有一条直角边的长为、直角三角形有一条直角边的长为1111，另外两边的长，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周
7、长是（也是正整数，则此三角形的周长是（ ）A A、120 B120 B、121 C121 C、132 D132 D、1231234 4、已知：如图，、已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形求：四边形ABCD的面积。的面积。 2、如图、如图,点点A是一个是一个半径为半径为 m的圆形森林公的圆形森林公园的中心园的中心,在森林公园附近有在森林公园附近有 B .C 两个小镇两个小镇,现要在现要在 B.C 两小镇之间修一条长为两小镇之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将的笔直公路将两镇连通两镇连通,经测得经测得 B=60, C=30,问问?请通过计算请通过计算说明此公路会
8、不会穿过该森林公园说明此公路会不会穿过该森林公园.ABC10006030D解：在解：在中中B=60, C=30,在在Rt中，中， =2 此公路不会穿过该森林公园此公路不会穿过该森林公园1、如、如图图，用一，用一张长张长方形方形纸纸片片ABCD进进行折行折纸纸，已知已知该纸该纸片片宽宽AB为为8cm， 长长BC 为为10cm当当折叠折叠时时，顶顶点点D落在落在BC边边上的点上的点F处处（折痕（折痕为为AE）想一想，此想一想，此时时EC有多有多长长？ 二、利用方程解决翻折问题二、利用方程解决翻折问题3、如图，将一个边长分别为如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片的长方形纸片ABCD折叠，使折叠，
9、使C点与点与A点重合，则点重合，则EF的长是的长是?D2、在矩形、在矩形纸纸片片ABCD中，中，AD=4cm，AB=10cm，按按图图所示方式折叠，使点所示方式折叠，使点B与点与点D重合，折痕重合，折痕为为EF，求，求DE的的长长。ABCDEFC考查意图说明：考查意图说明：4,折叠矩形折叠矩形ABCD的一边的一边AD, 折痕为折痕为AE, 且使点且使点D落在落在BC边上的点边上的点F处处,已知已知AB=8cm,BC=10cm，求点求点F和点和点E坐标。坐标。, yABCDEFOx5.边长为边长为8和和4的矩形的矩形OABC的两边分别在直的两边分别在直角坐标系的角坐标系的x轴和轴和y轴上，若沿对
10、角线轴上，若沿对角线AC折叠折叠后，点后，点B落在第四象限落在第四象限B1处，设处，设B1C交交x轴于轴于点点D，求（，求（1）三角形）三角形ADC的面积，（的面积，（2）点）点B1的坐标的坐标EOCBAB1Dxy问题二：问题二：如图，已知正方体的棱长为如图，已知正方体的棱长为2cm（1）求一只蚂蚁从）求一只蚂蚁从A点到点到F点的距离。点的距离。（2）如果蚂蚁从）如果蚂蚁从A点到点到G点，求蚂蚁爬行的距离。点，求蚂蚁爬行的距离。（3）如果蚂蚁从）如果蚂蚁从A点到点到CG边中点边中点M，求蚂蚁爬行，求蚂蚁爬行的距离。的距离。EABCFGDHM问题一：问题一：如图，已知圆柱体底面直径为如图，已知圆
11、柱体底面直径为2cm，高为，高为4cm （1）求一只蚂蚁从）求一只蚂蚁从A点到点到F点的距离。点的距离。（2）如果蚂蚁从）如果蚂蚁从A点到点到CG边中点边中点H，求蚂蚁爬行的距，求蚂蚁爬行的距离。离。AFH知识点知识点3：勾股定理在立体图形中的应用勾股定理在立体图形中的应用知识点4：判断一个三角形是否为直角三角形考查意图说明：勾股定理逆定理应用考查意图说明：勾股定理逆定理应用3如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点， 你能说明AFE是直角吗？ 变式：变式：如图，正方形如图，正方形ABCD中，中，F为为DC的中点，的中点，E为为BC上一点，且上一点，且 你能说明你能说明
12、AFE是直角吗？是直角吗？4 4、一位同学向西南走、一位同学向西南走4040米后，又走了米后，又走了5050米，米，再走再走3030米回到原地。问这位同学又走了米回到原地。问这位同学又走了5050米后向哪个方向走了？米后向哪个方向走了？寻找规律性问题二寻找规律性问题二细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：（1）用含有）用含有n（n是正整数）的等式表示上述变是正整数）的等式表示上述变化规律；化规律；（2）推算出）推算出OA10的长；的长；（3）求出）求出S12 + S22 + S32 + + S102的值。的值。 （2003山东烟台）山东烟台）请阅读下列
13、材料：请阅读下列材料：问题：问题：现有现有5个边长为个边长为1的正方形，排列形式如图的正方形，排列形式如图1，请把它们，请把它们分割后拼接成一个新的正方形分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形中用实线画出拼接成的新正方形.小东同学的做法是：小东同学的做法是：设新正方形的边长为设新正方形的边长为x(x0).依题意，割补前后图形的面积相等，依题意，割补前后图形的面积相等，有有x25，解得，解得x . 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形由此可知新正方形的边长
14、等于两个小正方形组成得矩形对角线的长组成得矩形对角线的长.于是，画出图于是，画出图所示的分割线，拼出如图所示的分割线，拼出如图所示的新正方形所示的新正方形.图图1图图图图图图参考小东同学的做法，解决如下问题：参考小东同学的做法，解决如下问题：现有现有10个边长为个边长为1的正方形，排列形式如图的正方形，排列形式如图2，请把它们分割后，请把它们分割后拼接成一个新的正方形拼接成一个新的正方形.要求：要求：在图在图中画出分割线，并在图中画出分割线，并在图的正的正方形网格图方形网格图(图中每个小正方形的边长均为图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的中用实线画出拼接成的新正方形新正方形.图图
15、图图2、有一块菜地、有一块菜地,形状如下形状如下, 试求它的面积试求它的面积.(单位单位:米米)ABC341312D你能分别在下列正方形中画出你能分别在下列正方形中画出格点三角形格点三角形,使它是直角三角形使它是直角三角形,且且各顶点在正方形的三条边上各顶点在正方形的三条边上(没有没有两点在正方形的同一边上两点在正方形的同一边上).并能给并能给予说明吗予说明吗?（1 1）四年一度的国）四年一度的国际际数学家大会于数学家大会于20022002年年8 8月月2020日在北京召开日在北京召开. . 大大会会会会标标如如图图甲甲. . 它是由四个相同的直角三角形与中它是由四个相同的直角三角形与中间间的
16、小正方形拼的小正方形拼成的一个大正方形成的一个大正方形. . 若大正方形的面若大正方形的面积为积为1313，每个直角三角形两条，每个直角三角形两条直角直角边边的和是的和是5. 5. 求中求中间间小正方形的面小正方形的面积积. . 图图甲甲图图乙乙（2 2）现现有一有一张长为张长为6.5cm6.5cm、宽为宽为2cm2cm的的纸纸片，如片，如图图乙，乙，请请你将它分你将它分割成割成6 6块块，再拼合成一个正方形，再拼合成一个正方形. . （要求：先在（要求：先在图图乙中画出分割乙中画出分割线线，再画出拼成的正方形并表明相再画出拼成的正方形并表明相应应数据）数据）2006年北京市中考年北京市中考教
17、材改编题教材改编题教材教材68页练习页练习1：有一个直径为有一个直径为50dm的圆形洞口，想用一个正的圆形洞口，想用一个正方形盖住洞口，则需要正方形的对角线至少多长？方形盖住洞口，则需要正方形的对角线至少多长？变式一：变式一：有一个直径为有一个直径为50dm的的正方形正方形洞口，想用一个洞口，想用一个圆圆盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？变式二：变式二：有一个长为有一个长为40cm，宽为，宽为30cm的的长方形长方形洞口，想用一洞口，想用一个个圆圆盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？教材教材67页探究页探究2：如图如图,一架长为
18、一架长为10m的梯子的梯子AB斜靠在墙上斜靠在墙上,梯梯子的顶端距地面的垂直距离为子的顶端距地面的垂直距离为8m.问题：如果梯子的顶端下滑问题：如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动那么它的底端是否也滑动1 m?BDACO变式一：变式一：当梯子的顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离当梯子的顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离AC会等于梯子底端下滑的距离会等于梯子底端下滑的距离BD?变式二变式二：如果设梯子的长度为如果设梯子的长度为c米，米，AO=b米，米，BO=a米，请米，请用含用含a、b的式子表示当梯子顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的式子表示当梯子顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离
19、的距离AC会等于梯子底端下滑的距离会等于梯子底端下滑的距离BD?教材教材70页练习页练习5：要从电线杆离地面要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长为处向地面拉一条长为13m的钢缆，求地面钢缆固定点的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部到电线杆底部B的距离。的距离。变式一：变式一：如果电线杆的高度未知，现有一根一端固定在电线杆如果电线杆的高度未知，现有一根一端固定在电线杆顶端的钢缆，且钢缆长比电线杆长顶端的钢缆，且钢缆长比电线杆长8米，地面钢缆固定点米，地面钢缆固定点A到到电线杆底部电线杆底部B的距离为的距离为12米，求电线杆的高度。米，求电线杆的高度。CBA变式二：变式二：现有一根一端固定在电线
20、杆顶端的钢缆，给你一把米现有一根一端固定在电线杆顶端的钢缆，给你一把米尺，你能测量出旗杆的高度吗？请你设计方案。尺，你能测量出旗杆的高度吗？请你设计方案。教材教材71页练习页练习11：如图如图，分别以直角三角形，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明表示，则不难证明S1=S2+S3 .问题：问题：如图如图，分别以直角三角形，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，三边为边向外作三个正方形，其面积分别用其面积分别用S1、S2、S3表示，那么表示，那么S1、S2、S3之间有什么之间有什么关系？关系？
21、(不必证明不必证明)变式一：变式一：如图如图，分别以直角三角形，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定表示，请你确定S1、S2、S3之间之间的关系并加以证明；的关系并加以证明；变式二：变式二： 若分别以直角三角形若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系之间的关系?.四、对于本章复习的想法：基本计算的准确性注意数学思想方法的渗透例如数形结合、分类讨论，方程思想等注意勾股定理与实际相结合的问题注意培养学生的动手操作能力及合作探究能力如勾股定理探索，数学活动中的折纸问题注意勾股定理在综合性问题中的应用例如动点问题，也为以后学习的相似三角形，二次函数等问题做好铺垫
