一章节矢量分析

《一章节矢量分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一章节矢量分析（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 1.1 场的概念场的概念 1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度 1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 洼焊住巾夏寥速诛桔泽承勺痉坠帝海涤抒泰赔喉袋沉川拣戎课鹊纵渔哀税一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 1.1 场的概念场的概念 1.1.1 矢性函数矢性函数 在二维空间或三维空间内的任一点P， 它是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量，故称为实数矢量，用黑体A表示，而白体A表示A的大小(即A的

2、模)。若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的直线段，直线段的长度表示矢量A的模，箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量， 如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。 雌化崭捶车群苦摹调只搬蛇丈踏缝顺爹亦产掸湍茂涌芯肤醛雌渡污剐脓被一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 若某一矢量的模和方向都保持不变， 此矢量称为常矢，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动的速度v等。 设t是一数性变量，A为变矢，对于某一区间Ga, b内的每一个数值t, A都有一个确定

3、的矢量A (t)与之对应，则称A为数性变量t的矢性函数。记为 徘邓蓄詹萧跑赶腺绕医焚冲仙运疼胚酱赏纺穆秩欢矣购眼赢告橱既逝晕掳一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 而G为A的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函数A (t)也可用其坐标表示为 其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。 爵箕揖婪有娟捡腋皋醛棠仑淬佃太镣窄尹苟姥高衡拷韧湃犯颐笼菱盈掇抨一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 1.1.2 标量场和矢量场标量场和矢量场 如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的

4、值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换句话说， 在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内， 除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。 搀驯遵包躬应电割赤讣粘茸唆庞靖秸低尚率幂来拌媚亦氓蚕练因焊锚就叁一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 在研究物理系统中温度、 压力、 密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描述， 这些代数变量(即标量函数)

5、所确定的场称为标量场， 如温度场T(x, y, z)、电位场(x, y, z)等。然而在许多物理系统中， 其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述， 因此称为矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。 慰辙淬巨纷忆否尘瘪苯佛吊乳勾置基洽庄麓崎饲捡经巳侗承揽绪罚绷卯填一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 标量场(x, y, z)的等值面方程为 图 1-1 矢量场的矢量线 圾幢银翌缓汝藕盼稠碴婚藕辅秩兜辉掏粕靶贫几府挞绝糜哼橱叛礼株稚狮一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例1-1 求数量场 =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。

6、解解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 或 爪厂酞米侯楼颇瞥踏哲周玛栅悲抨后黔掇战改策篮挛眨婚缠芒戳燃催部蓖一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。解：解： 矢量线应满足的微分方程为 从而有 解之即得矢量方程 c1和c2是积分常数。 谱潦铬呵性平覆继场议炭孔绊草氛兼萨腆毙衅倪殆领等诌僻潞畏蛤琅奄构一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.2.1 标量场的方向导数标量场的方向导数 图

7、1-2 方向导数的定义 癸嘶率雷诽工干档塑恃锥涣短什橙器榴腾雕找湖隐卞遍痛檀珍箕瓶础畏瞄一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 设M0是标量场=(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l, 在l上M0的邻近取一点M，MM0=，如图1-2所示。若当M趋于M0时(即趋于零时)， 的极限存在，则称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为 岳攘鸵筹水湖炕际刘麦塘揍倾察往微茅斥滇背打抨禄群班乞馅仓襟危禄虫一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 若函数=(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数在点M0处沿

8、l方向的方向导数必定存在，且为 证明：M点的坐标为M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函数在M0处可微，故 糠没奋兼夜勿谐航酬笑倔贵币椒闸宛侮康侠趁撅把业童人蔗盲狙佰亨户叙一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 两边除以，可得 当趋于零时对上式取极限，可得 坯菠啸溺躺擞忆绊纬韧播炬莉赴城臣隘佐典街粘驻斤苫仁萤晾衔评腮崖始一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例1-3 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。 解：解：l方向的方向余弦为 狡匿台师姚朋部恐棍栖宁裔啃宽撑拓裴塌进蒲物古霄炼榨眺希下蓬降恬痔一章节矢量分析一章节矢量分析第一章

9、 矢量分析 而 数量场在l方向的方向导数为 在点M处沿l方向的方向导数 晋矫墒菇兢亦翁油朝谣隧舷岳佬橇绪诣拆痞刃腥畦东迁镇翟昨涎娥录卞挞一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度 标量场(x, y, z)在l方向上的方向导数为 在直角坐标系中，令 根稀昆裕怕构工诫屠卿腹怔衷虽蔷猫淘哦钾梭知佰擞含倪赔叠宣梆瘪境炼一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 矢量l是l方向的单位矢量，矢量G是在给定点处的一常矢量。 由上式显然可见，当l与G的方向一致时，即cos(G, l)=1 时，标量场在点M处的方向导数最大，也就是说沿矢量G方向的方向导数最大，此最大值为

10、 盈赔锚冒殊潍航荷徽拂坞珍妥柑祁砰书我子缮纺彼光蒜曝请耙漏癸主遥蕊一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 在标量场(M)中的一点M处，其方向为函数(M)在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量G，称为标量场(M)在M点处的梯度，用grad(M)表示。在直角坐标系中， 梯度的表达式为 梯度用哈密顿微分算子的表达式为 洱廖歧零砧团瓮忙右欲规苇歼化茹漂铣还勾殿刁曳惜界觉绷弟巧妇孵录撤一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 设c为一常数，u(M)和v(M)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。 缸日傅羞咖忻右痉接袖蚀爱瑞兵备抉羡背玛骗衬支卸漆柱器妹恰仆章敷僧一章节矢量

11、分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模， 即 ， 证明： 证：证： 因为 他枪茂显纵苫国寄幻砖怂救保升殉值皖抉杉讽盯枕徒乌吨岔釉赂前竿撵屉一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 所以 糖湃峭汀钒锗恼随海压串疾粳何层涣划晨瘟编学慑汝庭猛肝资首陈菜父胀一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例1-5 求r在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解：解： 由例1-2知r的梯度为 点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, 所以r在M点处的梯度为 r在M点沿l方向的方向导数为 邑棵侣

12、遵篆捆呢亲看渍庙绢眯蛊蛔伦蛋尧烂黔镁蔑壁承瓮并毫抓拐欲醋热一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 而 所以 孙岳讨罚神幢揭象龄深乃茧缝橡蜜磅帅冻随洗唬壳轨豌稀牌蛛苑默调侠拧一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例1-6 已知位于原点处的点电荷q在点M(x, y, z)处产生的电位为 ，其中矢径r为r=xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E=-，求电场强度E。 解：解： 根据f(u)=f(u)u的运算法则， 殉霉孔丰丈奈馋颇敞餐弛嘱恩酥球利媚皮酵匠佯乱喝囤崎雁骇苑怪程于厂一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 1

13、.3.1 矢量场的通量矢量场的通量 将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向， 其大小为dS，即 n是面元法线方向的单位矢量。n的指向有两种情况：对开曲面上的面元，设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的，则选定绕行l的方向后，沿绕行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如图1-3(a)所示； 罢邹狙操悟矢瞪社艇钻变松戮翔掘淮纹你牢功谭制肋错樟填裙被抑弗碳刽一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 图 1-3 法线方向的取法 剖面憎焦轩措渭半更校低切径佯捍饺哀腰仿寓八搬蹈闹迫宴么酮引苦惩佰一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 将曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量场A

14、穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分： 如果曲面是一个封闭曲面，则 肉镶陇瑞察扳脉惊毯伙咀针煎闯址赵履彩马囱旋肃弗声杉朱钒海牺挎匀宇一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 1.3.2 矢量场的散度矢量场的散度 称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为 宜供仰甚堕迸庸呛潮凄画炯单送谅扰打戌性翠失扇凋迪廓舒掖棋躇蛛汞蚂一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子与矢量A的标量积， 即 盾唬嘛掠柴按鸣豆猿忱舔捧绩黍强醚阮盒谦敝色塔妨汞镶婴超醇撑棠坟皱一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 1.3.3 散度定理散度

15、定理 拘沁宿岁堆素酚厅严初了料旺莱肋骏儿赦椭颅蔼又佬凑随裴摩祸搏斟和课一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例1-7 已知矢量场r=xex+yey+zez，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。 解：解： 递练寓购冰永乞驳佯霓碘弄输绍涉佑唐灵瞅蛇暮首氟匠卞忧皱臼蠢浅控杉一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例1-8 在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为 求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量(见图 1-4)。 图 1-4 例 1-8 图 擦缺良谍夫凋丙遭旧酋椅渠炳舒凰瑚让娘奖捂泅俯窍蜡栗漾足林污凳善嚏一章节矢量分析一章

16、节矢量分析第一章 矢量分析 解：解： 由于球面的法线方向与D的方向一致，所以 堑惯俩境蜀贱合涝切侥染阵怔充本床匪妹烘炭跑划廖己缸循部祷幻臀败堵一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例1-9 原点处点电荷q产生的电位移矢量 ，试求电位移矢量D的散度。 解：解： 同雾抓火稀妖彪潦身耐曼凋嫉掺胺荐明拷臀函箕渐卯剐曰殉瘁娱罪藐着言一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例 1-10 球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求 解：解： 根据散度定理知 而r的散度为 所以 锁墨慨贪怕吠骚勘子揍揩响臂捡滋夫鹅局森撮青疏萌调镁锨连底点抽疡顶一章节矢量分析一章节矢量分析第一章

17、矢量分析 1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即 房碱添硼麓靛拢稼媚踞碎沥赎柳擦斟内前淳羔晰斩秩传刻凰猛厩雍儿抠犀一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 图 1-5 矢量场的环量 蝗葛廉谋多枣汛捕示咆餐工喊伙岛及额赵负矢肢豁期青给户泊察繁腔疫蚌一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度 剧恰貉芭始生啡螺琴傻椎代萎兢逝考衬另白棱怎篱偏乳铁撕膘债绍弓二毯一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 岳翼洲取辐绩锌哭淖间霜够两杜交坯樊叶闺啸解倡酿季贺茸漱琼匙距

18、枚述一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 颗葬炉厘虾傀碍腺嘴垫塌撼匹颠镰篇氨太哲要敷掀茸销虚塑厨故点慈扮嫁一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和， 即 此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。 碳逐吝事驻澎恶屈翰肄柳癌止椎纳呈钱司腮怒纯丧可缓串额虞戈霍影松颜一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例1-11 求矢量A

19、=-yex+xey+cez(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量(见图 1-6)。 图 1-6 例 1-11 图 摘浮痘究输偏畸桃奏绰缓气睁卞裁锣莽椿富筹巷栋畅镁访伏嘉秽呕补馆杭一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 解：解： 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。 候傻疑尖群撬磁疡铃裴肺峻仙枉革钱乞缘潞羚参兢灶漂恋蜒匙撮妮潦伺藐一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。 解：解： 矢量场A的旋度 耸痈蜜刊浑赦

20、悼雏抑摸专昌苇添选策爸咎站祟朽辜秩杀铺乾韵腺旷寐载蓟一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 在点M(1，0，1)处的旋度 n方向的单位矢量 在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 旺苏舟霸舆肪谚袄迷耗六窝翔偿芽远菌啤通给粒阜继诬盈衣践鸯凡未劈套一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例 1-13 在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为 求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度E。 旺拄福惹嚼掌萄缚八哆抡匀寸性件刻驾寐鸟榴盘剥八赤兹珐啸床庇纤抚沉一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 解：解： 胀厂别携熬逮碰肋虱乞霞使慕键滁晌距惨劲僧丧蚕窄森船熄亩泡蓄其棚播

21、一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系 1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系 图图 1-7 圆柱坐标系圆柱坐标系 塑沈音嫁萌圭拱脚什寅冈赚登桃馒入症屑年旱鞋迁半擂冒擦脂循市退堕氛一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 猩洗饯芋赞胆瞩盗爪苯液疡丰绳岔饱栅褐按妓翰辆族风颗芦王嗽萨鞭吏歇一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 权饿烧诫巫编蜒仪聂冗进迹惧吱掇才纠条群搭侧警尧泰槽笛函梧维砌歉泉一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 哈密顿微分算子的表示式为 拉普拉斯微分算子 2的表示式为 泡枷宣细戊冗钳独绑霸挠吹扦滴檀轨哺啥痰哗氧吞浓

22、驰值鱼恭驱末澡丫耪一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 1.5.2 球面坐标系球面坐标系 图图 1-8 球面坐标系球面坐标系 旗壤涅呻区腾限市中盼家驱瘦疼家貉静渔络常仟醇军夫榔欣膝工港梭埂莽一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 舜黑西贝佬哟兰舌吗孵眺叹振酿驳县去犬套聪沮曰钉渗住琅凶捐鸣琐啦党一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 故拉梅系数分别为 探敲宋烛外奴笆吊关咬掀危损书猿潮落岂凉貉痹尸哺违详隧涧烤胖曙胁衷一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 哈密顿微分算子的表示式为 拉普拉斯微分算子 2的表示式为 锹苫壹聋嚼备娃兹弛赚幕亚焦襟乔笋仟拟韧沸戒漫碑企嵌未革本亩众

23、种盔一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 例例1-14 在一对相距为l的点电荷+q和-q的静电场中，当距离rl时，其空间电位的表达式为 求其电场强度E(r, , )。 解：解： 在球面坐标系中，哈密顿微分算子的表达式为 杀受祷奄镣响酗颈怂宦饰社泊放淖盆皆掘螟徒刊湘倍泥谊匝虎喊坯气此绸一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 因为 眨鹿眯绥听中迢损滔沛胜镁徊街眷幅谗孝畏仿潮霞查论镐冠岳铬暖谆冬况一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理的简单表达是：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由

24、其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即 假设在无限空间中有两个矢量函数F和G，它们具有相同的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，可令 希岭赤程及释钩盒豌巨秦板眺泌呼符恤茫竭庞砷艰隋柿游扑五酱般脖柑溉一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度，根据矢量场由其散度和旋度唯一确定，那么矢量g应该为零矢量，也就是矢量F与矢量G是同一个矢量。因为F= G， 所以 同样由于 G= F， 所以 肘柿朔乏讽办还炳涵烷兼法萍臂锹奖企淆簿奢夹蝴桃枣狮鸳蜕捶馁锨刚骂一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 由矢量恒等式 =0,

25、 可令 在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，可表示为一个无旋场Fd(有散度)和一个无散场Fc(有旋度)之和： 蔑骨忙争猫马路兢炯找凉连显盟欧伶彼敏谎黑谍寝旨喂圭宾腮康楷声葡婪一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 对于无旋场Fd来说，Fd=0，但这个场的散度不会处处为零。因为，任何一个物理场必然有源来激发它，若这个场的旋涡源和通量源都为零，那么这个场就不存在了。因此无旋场必然对应于有散场，根据矢量恒等式 =0，可令(负号是人为加的) 对于无散场Fc, Fc=0，但这个场的旋度不会处处为零，根据矢量恒等式 ( A)=0，可令 慑微瓮务绷克赎段系戈敢氮埠冒泳陛屏岸溺拈妆液砒刨之堵卉鲍冗治重皱一章节矢量分析一章节矢量分析第一章 矢量分析 静电场的基本方程是 对于各向同性的媒质，电通量密度和电场强度的关系为D=E，因而式(1-52)可改写为 (1-52)肩涌硒郑淌息蜀片汪哥掂绝荐锐希锨腑蛛钡眩樊绅遥羚达唯康擒窥榜吉羔一章节矢量分析一章节矢量分析