张量分析第三章

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1、第三章 张量代数在第一章线性空间中对三维矢量空间V由张映射 m阶张量空间 定义了。若o;i1,i2,i3是V中标准正交坐标系。则的基底为张量都可以表示为： 。Pm中的任意在后文的书写中，矢量空间的张量积符号在不致混淆时将略去不写。如：2021/6/42021/6/41 13.1 张量代数运算张量代数运算在1.5节中由多重线性映射给出了张量空间。且对任意同阶张量 （1.5-10）定义零张量和加法逆元素。则同阶张量的加减，（1.5-7）、（1.5-8）式给出了张量（同阶）的加法运算和张量的数乘运算。若按（1.5-9）、运算按： （3.1-1） 定义。而数乘运算按： （3.1-2） 定义。按（3.1

2、-1）和（3.1-2）式容易得出：（3.1-3） 2021/6/42021/6/42 2张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。张量积：张量积：设张量 ；则 A和 B的张量积按： （3.1-4） 定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般 ABBA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一组给定的i1,im ; j1,jn值， 都是确定的实

3、数。 记 。则： （3.1-4a） 2021/6/42021/6/43 3 张量间的张量积运算有如下性质：1 （3.1-5） 2 （3.1-5a） （证明由读者自行完成）r点乘（积）：点乘（积）：设 A、B张量的r点乘： 。则定义（3.1-6） 当m = n = r时， 称为A全点乘B。且记为： （3.1-7） 由定义（3.1-6）式可知： 2021/6/42021/6/44 4（3.1-8） 但必须注意一般情况下：（3.1-9） 由（3.1-4a）和（3.1-6）式给出的是任意阶张量间的张量积和 r点乘定义。而在处理实际物理和数学问题时，更常见的是一阶和二阶张量的张量积和r点乘的情况。设u、

4、v是一阶张量（矢量）。A、B、C是二阶张量。则： 一阶张量与一阶张量的张量积：（3.1-10a） 二阶张量与一阶张量的张量积：（3.1-10b） 一阶张量与二阶张量的张量积： （3.1-10c） 2021/6/42021/6/45 5二阶张量与二阶张量的张量积：（3.1-10d） 一阶张量（全）点乘：（3.1-10e） 一阶张量与二阶张量的（一）点乘： （3.1-10f） 二阶张量与一阶张量的（一）点乘：（3.1-10g） 二阶张量与二阶张量的（一）点乘： （3.1-10h） 二阶张量与二阶张量的（双）点乘：（3.1-10i） 四阶张量与二阶张量的（双）点乘：（3.1-10j） 2021/6/

5、42021/6/46 6二阶张量与四阶张量的（双）点乘：（3.1-10k） 由（3.1-10e）、（3.1-10f）、（3.1-10g）、（3.1-10j）、（3.1-10k）定义单位矢量（一阶单位张量）、二阶单位张量和四阶单位张量。即满足：（3.1-11） 的 分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四阶单位张量。 上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质： 1 2 （3.1-12） 且记 为 。即 。并称 为单位二阶张量。 2021/6/42021/6/47 73 （3.1-13） 且记 为 。即 。并称 为单位二阶张量。 证：1 对任意 2 设存在另一二阶张量 3 四阶单位张量唯一性证明留

6、作练习。 ，且满足。则： （唯一性） 2021/6/42021/6/48 8例1： 如图31所示刚体以角速度 (是是对刚体整体运动的述量。 与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速 度都是) 。物体点 r处的密度为 (r) ；速度矢量为 u (r) 。则处微分体积 dV所包含质量 (r) dV对 o点动量矩为： roi 2i 3i 1图31试证明物体 对o点的动量矩为： 式中 称为物体 对o点的二阶惯性矩张量（注：J 不是四阶单位张量。但 J表达式中的I是二阶单位张量）。证：2021/6/42021/6/49 9图32rox 2x 3x 1x 3t 3t 2t 1t nx 2x 1bacho

7、(b )(a )例2： 如图32所示受力物体。若物体在确定的约束条件下处于平衡状态。试分析 r 点处的应力状态。 解： 在物体 r 点处用三个与坐标面平行的平面和一个斜平面截出四面体oabc如图3-2 (b)所示。取出的四面体与物体中剩余部分的作用通过四个面上的作用力联系。设obc , oac , oab , abc面上的作用力的平均分布集度为t1, t2, t3。四面体内每单位体积上受有f = fiii的外力。记n是abc面上的单位外法线矢量； abc的面积为 A。则三角形 obc , oac , oab的面积分别为： 按2.5节三中（g）式面积矢量记法有：2021/6/42021/6/41

8、010在坐标系o ; i1 , i2 , i3 中 t1, t2, t3可表示为： 由牛顿第二定律（本例中就是平衡方程）得：式中V是四面体的体积； (r)是密度； a是加速度。当h 0时： V 0 ; (r) V 0。同时 t1, t2, t3 分别为过r点的四个面上的内力分布集度（不在是A , A1 , A2 , A3 面上的平均内力分布集度 ）。并称 t , t1, t2, t3 是过 r 点的应力矢量。且： 2021/6/42021/6/41111=(r)称为 r 点的应力张量。 对 i ; j 的确定值，表示点 r 外法线方向为 ii 的面上沿 ij方向的应矢量的大小为 ij 。同时：

9、 还表明 ：确定点 r 的三个坐标面上的各坐标方向的应力矢量一旦给定（ 给定），则过 r 点以单位矢量 n 为外法线的斜截面上应力矢量被唯一确定。或者说应力张量 完全描述了一点应力状态。 2021/6/42021/6/412123.2 仿射量（二阶张量）仿射量（二阶张量）在3.1中的例1和例2通过转动刚体的动量矩和物体内一点的平衡讨论，给出了转动惯量二阶张量J和应力二阶张量 ；在许多数学和物理问题的描述中，二阶张量被广泛的引入（如几何学中的度量二阶张量、连续介质学中的变形梯度二阶张量等）。因此二阶张量的分析具有重要的实际意义。本节及后文的章节中将重点分析二阶张量。 2021/6/42021/6

10、/41313二阶张量按张量积的运算，可以看作是两个矢量 u V , v V通过张量积的运算确定。即： 若o;i1,i2,i3是V的坐标系。则： 每一组Aij （九个实数）确定唯一的二阶张量。所有二阶张量按张量的加法和数乘运算构成矢量（广义矢量）空间 P2 。另一方面，对任意 A P2 , u V 有： 显然二阶张量 A 对任意矢量 u V 。其左点乘 （）和右点乘（） 分别实现一阶矢量空间 V 到一阶矢量空间 V 的映射：（3.2-1） 一般 A 的左、右点乘是不同的映射。即： 并且由（3.1-8）式可知：2021/6/42021/6/41414这表明 A 的左、右点乘是线性映射。若定义： （

11、3.2-2） 则满足（3.2-2）的所有一阶矢量空间到一阶矢量空间线性映射（左点乘或右点乘）的（3.2-3）式中A 的集合构成矢量（广义矢量）空间P2。 按张量积定义的二阶张量uv和按线性映射定义的二阶张量 A，若按点乘运算都实现将a V对应到b V 。则uv和A是同一个二阶张量的二种不同形式的表示。因为： 2021/6/42021/6/4151530 oai 2x 2x 1i 1i 1i 2x 2x 1图33对任意给定大小和方向的矢量a 。在不同的基底上， a的坐标表示是不同的。如图33所示。 A 在二维基底 o; i1,i2中表示为： 若 是另一组基底。且 在o; i1,i2中可表示为：

12、则a在中的表示为：显然在两组基底上 a 的坐标分别为（2，2）和 。也就是说矢量在不同基底上的线性表示是不同的。因此对按张量积定义的二阶张量 A= u v 在不同的基底 ii ij (i,j =1,2,3 )上的线性表示也是不同的。设V有二组标准正交基底 o; i1,i2,i3和。且： 2021/6/42021/6/41616（a） 二阶张量A在 形成的基底 (i,j = 1,2,3 )上的表示为： 将基底变换（a）式代入得：（3.2-3） 该式是二阶张量 A 在o; i1,i2,i3和 构成的基底上性表示坐标（九维）的变换关系。（3.2-3）式也常被用来定义二阶张量。即用两个指标的九个数Ai

13、j 表示的量，当坐标变换时服从（3.2-3）式变换，则这个量称为二阶张量。2021/6/42021/6/41717例3： 设 。试用矩阵方式表示 解： 2021/6/42021/6/41818由该式可以看出二阶张量A可表示为： （3.2-4） 记： （3.2-5） 且称A是二阶张量 A的矩阵表示。利用 A矩阵可将 的分量表示为： 该式也称为 的矩阵表示。 2021/6/42021/6/41919例4： 设平面位置矢量 的点处给出了一组四个数： 证明A构成二阶（平面）张量 A。证：解之得： A构成二阶（平面）张量 A。2021/6/42021/6/42020设 。定义： （3.2-6） trA

14、二阶张量A的取迹运算。 取迹运算具有如下性质取迹运算具有如下性质： 1 （线性性质） 2 3 （3.2-7） 证：1 2 3 证毕。2021/6/42021/6/42121设AP 2。若 A满足： （3.2-8） 则称A为对称二阶张量对称二阶张量。 设AP 2。若 A满足： （3.2-9） 则称A为反对称二阶张量反对称二阶张量。若记： （3.2-10） 且称 为 A的转置。对称和反对称二阶张量又可表示为： (A为对称二阶张量） (A为反对称二阶张量） 由（3.2-10）给出的转置实质上P 2是 P 2到P 2的一种运算。即对任意AP 22021/6/42021/6/42222转置运算具有性质：

15、转置运算具有性质：1 2 3 4 证：1 2 3 4 证毕。2021/6/42021/6/42323例5： 试证明任意A P2可唯一分解为对称与反对称张量的和。 证：对A按张量的加（减）法运算法则有： 其中 分别记为AS和 AA。则： 这表明AS是对称二阶张量； AA是反对称二阶张量。即 A可表示为对称二阶张量 AS和反对称二张张量 AA的和。 若A还可表示为： 由 可得： 显然A的对称和反对称分解是唯一的。 2021/6/42021/6/42424上例中不但表明任意二阶张量可以唯一地分解为对称二阶张量和反对称二阶张量的和。而且给出了这种分解的对称和反对称表示的结果。即： （3.2-12） A

16、S和AA分别为 A的对称和反对称部分。 2021/6/42021/6/42525例6： 证明： 1 2 证：1 当 A = I 时有： 2 证毕。2021/6/42021/6/42626例7： 已知： 试求：1 2 3 ；。解：1由（3.1-2.2）式得： 2021/6/42021/6/427272 3 2021/6/42021/6/428283.3 二阶张量的逆与行列式二阶张量的逆与行列式 设AP2。若存在BP2使得： （3.3-1） 则B称为二阶张量A的逆二阶张量，且记为 A-1。对二阶张量 A ，BP2。若 A ，B的逆存在。则： 二阶张量的逆的性质：二阶张量的逆的性质： 1 2 3 4

17、 5 ；。（3.2-2） 证：1 （结合律3.1-9式） （3.1-12式） 2021/6/42021/6/42929 2 由单位二阶张量性质 得： 又由逆的定义有： 3 4 5 (a) (b)比较（a），（b）式得： 证毕。2021/6/42021/6/43030设 A P2 ; a , b , c V ，且 定义： （3.3-3） det A称为二阶张量 A 的行列式行列式。 二阶张量行列式具有性质：二阶张量行列式具有性质： 1 2 3 4 5 （3.3-4） 证：1 2021/6/42021/6/43131 令： 。则： 2 由定义得： 3 2021/6/42021/6/432324 已

18、在2的证明中给出。 5 2021/6/42021/6/43333例8： 试求AP2行列式的分量表示。 解：由（3.3-3）式定义的 A 的行列式表达式中，矢量 a、b、cV是任意的非共面( )矢量。设 V 中标准正交基底为i1、i2、i3。则： 2021/6/42021/6/43434 例9： 设a、b、c V。且 。AP2。试证明： 证：证毕。2021/6/42021/6/43535例10： 试证明： 证： V 中取标准正交基底 i1、i2、i3 。亦将（3.3-3）式中a、b、 c 分别取为 i1、i2、i3 。则： 证毕。 例11： 试求例6中二阶张量A的行列式值。 解：2021/6/4

19、2021/6/43636设 A 是二阶张量。若 det A0 。则称 A 是正则二阶张量正则二阶张量；若 detA=0。则 A 称为退化二阶张量退化二阶张量。 正则二阶张量有如下性质：正则二阶张量有如下性质：1 若A为正则二阶张量。则 为正则二阶张量。 2 r1、r2、r3V 线性无关矢量。则 A 为正则二阶张量时 线性无关。 3 若 A是正则二阶张量。则 A 的逆存在。 证：1 若A为正则二阶张量。则： 由（3.3-4）性质3得：因此 是正则二阶张量。 2 a = r1、b = r2、c = r3。则： 2021/6/42021/6/43737又 r1、r2、r3线性无关。即： 线性无关。

20、3(A-1存在) 这表明只有当detA0时,该式成立。即当 A-1存在时, det0。且同时detA-10时， -1是正则二阶张量。另一方面，当 detA0时，对 a b o的矢量 a 、 b ：这表明 A 通过与矢量的点乘运算将矢量变换为另一矢量。且其变换是一一对应的（若矢量a b则矢量 。由于正则二阶张量A是实现一一对应变换，因此其逆变 换存在。即A的逆A-1存在。 2021/6/42021/6/43838设 Q是二阶张量。且： （3.3-5） 则 Q称为正交二阶张量正交二阶张量。 正交二阶张量正交二阶张量Q有如下性质：有如下性质： 1 2 3 （3.3-6） 证：1 2 令1中 a =

21、b 。则： 3 证毕。2021/6/42021/6/43939例12 试证明正交二阶张量Q将 V中的标准正交坐标系o; i1,i2,i3 的基矢量变换为相互正交的单位矢量。 证： 例13： 若o; i1, i2, i3和o; j1, j2, j3是V中两个原点在的标准正交坐 标系。试求V中的两个坐标系所确定的正交二阶张量Q。 解： 又 是正交二阶张量。 2021/6/42021/6/44040例14： 试确定正交二阶张量： 1 2 所实现的坐标变换。解：1 i 1oQrrj 3j 2j 1i 2i 3图34i 3i 2 ( j 3 )i 1 ( j 1 )j 2图35图34给出了Q 实现的坐标变换的几何示意图。i1, i2, i3中的位置矢量r 经 Q变换后为 Q r 可视为r 在镜面也称为反射正交变换。2 中的像。因此：图35给出了Q实现的绕 i1轴的/2角转动变换。 图中o;2021/6/42021/6/44141部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！