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1、学习必备 欢迎下载 定义新运算 1. 规定:a b=(b+a) b, 那么(2 3) 5= 。 2. 如果 a b 表示ba ) 2(, 例如 3444) 23(, 那么, 当 a 5=30 时, a= 。 3. 定义运算“”如下: 对于两个自然数 a 和 b, 它们的最大公约数与最小公倍数的和记为 ab. 例如:4 6=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,18 12= 。 4. 已知 a,b 是任意有理数, 我们规定: a b= a+b-1,2abba, 那么) 53() 86(4 。 5.x 为正数, 表示不超过 x 的质数的个数, 如=3, 即不超过 5.1 的质数有
2、 2,3,5共 3个. 那么+ 的值是 。 6. 如果 ab 表示ba23 , 例如 45=34-25=2, 那么, 当 x5 比 5x 大 5 时, x= 。 7. 如果 14=1234,2 3=234,7 2=78, 那么 45= 。 8. 规定一种新运算“”: ab=) 1() 1(baaa. 如果(x 3) 4=421200, 那么x= 。 9. 对于任意有理数 x, y, 定义一种运算“” ，规定:x y=cxybyax, 其中的cba,表示已知数, 等式右边是通常的加、减、乘运算. 又知道 12=3,2 3=4,x m=x(m 0), 则 m的数值是 。 10. 设 a,b 为自然
3、数, 定义 ababba22。 (1) 计算(4 3)+(8 5) 的值； (2) 计算(2 3) 4； (3) 计算(2 5) (3 4) 。 11. 设 a，b 为自然数，定义 ab 如下: 如果 ab，定义 ab=a-b，如果 ab，则定义 ab= b-a。 (1) 计算:(3 4) 9； (2) 这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说，下面两式是否成立?ab= b a;(a b) c= a (b c) 。 12. 设 a,b 是两个非零的数, 定义 ababba。 学习必备 欢迎下载 (1) 计算(2 3) 4 与 2(3 4) 。 (2) 如果已知 a 是一个自然数，且 a3
4、=2, 试求出 a 的值。 13. 定义运算 “” 如下: 对于两个自然数 a 和 b, 它们的最大公约数与最小公倍数的差记为 ab。比如:10 和 14，最小公倍数为 70，最大公约数为 2，则 1014=70-2=68。 (1) 求 1221,5 15； (2) 说明，如果 c 整除 a 和 b, 则 c 也整除 ab；如果 c 整除 a 和 ab，则 c 也整除 b； (3) 已知 6x=27, 求 x 的值。 与最小公倍数的和记为例如根据上面定义的运算已知是任意有理数我们规定那么为正数表示不超过的质数的个数如即不超过的质数有共个那么的值是如果表示例如那么当比大时如果那么规定一种新运算如
5、果那么对于任意有理数定义算设为自然数定义如下如果定义如果则定义计算这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说下面两式是否成立设是两个非零的数定义学习必备欢迎下载计算与如果已知是一个自然数且试求出的值定义运算如下对于两个自然数和除和则也整除已知求的值学习必备欢迎下载答案一填空题共小题每小题分满分分分规定那么考点定义新运算分析根据得出新的运算方法再根据新的运算方法解答的值解答解因为所以故答案为点评解答此题的关键是根据所给的等式找学习必备 欢迎下载 答案 一、填空题（共10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1 （3 分）规定：ab=（b+a） b，那么（23）5= 100 考点： 定义新运算
6、。 分析： 根据 ab=（b+a） b，得出新的运算方法，再根据新的运算方法解答（23）5 的值 解答： 解：因为，23=（3+2） 3=15， 所以， （23）5=155=（5+15） 5=100， 故答案为：100 点评： 解答此题的关键是，根据所给的等式，找出新的运算方法，再运用新的运算方法，解答出要求式子的值 2 （3 分）如果 ab 表示（a2） b，例如 34=（32） 4=4，那么，当 a5=30 时，a= 8 考点： 定义新运算。 分析： 根据“a b 表示（a2） b，34=（32） 4=4，” 得出新的运算方法，再用新的运算方法计算 a5=30，即可写成方程的形式，解此方程
7、得出 a 的值 解答： 解：因为，a5=30， 所以， （a2） 5=30， 5a10=30， 5a=40， a=8， 故答案为：8 点评： 解答此题的关键是根据题意找出新运算方法，再根据新运算方法解答即可 3 （3 分）定义运算“ ” 如下：对于两个自然数 a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为 ab 例如： 46=（4， 6） +4， 6=2+12=14 根据上面定义的运算， 1812= 42 考点： 定义新运算。 分析： 根据新运算知道，求 1812，就是求 18 和 12 的最大公约数与最小公倍数的和，由此即可解答 解答： 解：因为，18 和 12 的最大公约数是 6，最小公
8、倍数是 36， 所以，1812=（18，12）+18，12=6+36=42； 故答案为：42 点评： 解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可 4 （3 分） 已知 a， b 是任意有理数， 我们规定： ab=a+b1， ab=ab2， 那么 4（68）（35）= 98 考点： 定义新运算。 分析： 根据 ab=a+b1，ab=ab2，得出新的运算方法，再运用新的运算方法计算与最小公倍数的和记为例如根据上面定义的运算已知是任意有理数我们规定那么为正数表示不超过的质数的个数如即不超过的质数有共个那么的值是如果表示例如那么当比大时如果那么规定一种新运算如果那么对于任意有理数定
9、义算设为自然数定义如下如果定义如果则定义计算这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说下面两式是否成立设是两个非零的数定义学习必备欢迎下载计算与如果已知是一个自然数且试求出的值定义运算如下对于两个自然数和除和则也整除已知求的值学习必备欢迎下载答案一填空题共小题每小题分满分分分规定那么考点定义新运算分析根据得出新的运算方法再根据新的运算方法解答的值解答解因为所以故答案为点评解答此题的关键是根据所给的等式找学习必备 欢迎下载 4（68）（35）的值 解答： 解：4（68）（35）， =4（6+81）（3 52）， =41313， =413+131， =425， =4 252， =98， 故答案为：
10、98 点评： 解答此题的关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，用新运算方法解答即可 5 （3 分）x 为正数，x表示不超过 x 的质数的个数，如5.1=3，即不超过 5.1 的质数有 2，3，5 共 3 个那么19+93+4 1 8的值是 11 考点： 定义新运算。 分析： 根据题意，先求出不超过 19 的质数的个数，再求出不超过 93 的质数的个数，而不超过 1 的质数的个数是 0， 所以4 1 8的值是 0， 因此即可求出要求的答案 解答： 解：因为，19为不超过 19 的质数，有 2，3，5，7，11，13，17，19 共 8 个， 93为不超过的质数，共 24 个， 并且，1=0，
11、所以，19+93+4 1 8， =19+93， =8+24， =32， =11， 故答案为：11 点评： 解答此题的关键是，根据题意，找出新的符号表示的意义，再根据定义的新运算，找出对应量，解答即可 6 （3 分）如果 ab 表示 3a2b，例如 45=3 42 5=2，那么，当 x5 比 5x 大 5 时，x= 6 考点： 定义新运算。 分析： 根据所给的运算方法，将 x5 比 5x 大 5 写成方程的形式，解答方程即可 解答： 解：由 x55x=5，可得： （3x2 5）（3 52x）=5， 5x25=5， x=6， 故答案为：6 点评： 解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据
12、新的运算方法，列式解答即可 7 （3 分）如果 14=1234，23=234，72=78，那么 45= 45678 与最小公倍数的和记为例如根据上面定义的运算已知是任意有理数我们规定那么为正数表示不超过的质数的个数如即不超过的质数有共个那么的值是如果表示例如那么当比大时如果那么规定一种新运算如果那么对于任意有理数定义算设为自然数定义如下如果定义如果则定义计算这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说下面两式是否成立设是两个非零的数定义学习必备欢迎下载计算与如果已知是一个自然数且试求出的值定义运算如下对于两个自然数和除和则也整除已知求的值学习必备欢迎下载答案一填空题共小题每小题分满分分分规定那么
13、考点定义新运算分析根据得出新的运算方法再根据新的运算方法解答的值解答解因为所以故答案为点评解答此题的关键是根据所给的等式找学习必备 欢迎下载 考点： 定义新运算。 分析： 根据“1 4=1234，23=234，72=78” ，得出新的运算方法：的前一个数字是等号后面数的第一个数字，后面的数字表示连续数的个数，是从前面的数开始连续，然后运用新的运算方法计算 45 的值即可 解答： 解：由于 14=1234，23=234，72=78， 所以 45=45678； 故答案为：45678 点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可 8 （3 分）我们规定：符
14、号 表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5 ，符号表示选择两数中较小数的运算，例如：53=35=3 请计算：= 考点： 定义新运算。 分析： 根据符号 表示选择两数中较大数的运算，符号表示选择两数中较小数的运算，得出新的运算方法，用新的运算方法，计算所给出的式子，即可得出答案 解答： 解：= = ， 0.625= = ， = = ， 2.25= = ， 所以：= ； 故答案为： 点评： 解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，解答即可 9 （3 分）规定一种新运算“ ” ：ab=a （a+1）（a+b1） 如果（x3）4=421200，那么 x= 2 考点：
15、定义新运算。 分析： 先根据“a b=a （a+1）（a+b+1）” ，知道新运算“ ” 的运算方法，由于（x3）4=421200，这个式子里有两步新运算，所以令其中的一步运算式子为 y，再根据新的运算方法，由此即可求出要求的答案 与最小公倍数的和记为例如根据上面定义的运算已知是任意有理数我们规定那么为正数表示不超过的质数的个数如即不超过的质数有共个那么的值是如果表示例如那么当比大时如果那么规定一种新运算如果那么对于任意有理数定义算设为自然数定义如下如果定义如果则定义计算这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说下面两式是否成立设是两个非零的数定义学习必备欢迎下载计算与如果已知是一个自然数且试
16、求出的值定义运算如下对于两个自然数和除和则也整除已知求的值学习必备欢迎下载答案一填空题共小题每小题分满分分分规定那么考点定义新运算分析根据得出新的运算方法再根据新的运算方法解答的值解答解因为所以故答案为点评解答此题的关键是根据所给的等式找学习必备 欢迎下载 解答： 解：令 x3=y，则 y4=421200， 又因为，421200=24 34 52 13=24 25 26 27， 所以，y=24，即 x3=24， 又因为，24=23 3=2 3 4， 所以，x=2； 故答案为：2 点评： 解答此题的关键是， 根据新运算方法的特点， 只要将整数写成几个自然数连乘的形式，即可得出答案 10 （3 分
17、）对于任意有理数 x，y，定义一种运算“ ” ，规定：xy=ax+bycxy，其中的 a，b，c 表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算又知道 12=3，23=4，xm=x（m0 ） ，则 m 的数值是 4 考点： 定义新运算。 分析： 根据 xy=ax+by cxy， 找出新的运算方法， 根据新的运算方法， 将 12=3， 23=4，xm=x 写成方程的形式，即可解答 解答： 解：由题设的等式 xy=ax+bycxy 及 xm=x（m0 ） ，得 a0+bm c0m=0， 所以 bm=0，又 m0 ，故 b=0， 因此 xy=axcxy， 由 12=3，23=4，得， 解得 a=5，c=
18、1， 所以 xy=5xxy，令 x=1，y=m， 得 5m=1， 故 m=4； 故答案为：4 点评： 解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可 二、解答题（共 4 小题，满分 0 分） 11设 a，b 为自然数，定义 ab=a2+b2ab （1）计算（43）+（85）的值； （2）计算（23）4； （3）计算（25）（34） 考点： 定义新运算。 分析： 根据“a b=a2+b2ab” 得出新的运算方法，然后运用新的运算方法进行计算即可 解答： 解： （1） （43）+（85） ， =（42+324 3）+（82+528 5） ， =1+49， =62； （
19、2） （23）4， =（22+322 3）4， 与最小公倍数的和记为例如根据上面定义的运算已知是任意有理数我们规定那么为正数表示不超过的质数的个数如即不超过的质数有共个那么的值是如果表示例如那么当比大时如果那么规定一种新运算如果那么对于任意有理数定义算设为自然数定义如下如果定义如果则定义计算这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说下面两式是否成立设是两个非零的数定义学习必备欢迎下载计算与如果已知是一个自然数且试求出的值定义运算如下对于两个自然数和除和则也整除已知求的值学习必备欢迎下载答案一填空题共小题每小题分满分分分规定那么考点定义新运算分析根据得出新的运算方法再根据新的运算方法解答的值解答
20、解因为所以故答案为点评解答此题的关键是根据所给的等式找学习必备 欢迎下载 =74， =72+427 4， =37； （3） （25）（34） ， =（22+522 5）（32+423 4） ， =1913， =192+13219 13， =283； 答： （1）62， （2）37， （3）283 点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可 12 设 a， b 为自然数， 定义 ab 如下： 如果 ab ， 定义 ab=ab， 如果 ab， 则定义 ab=ba （1）计算： （34）9； （2）这个运算满足交换律吗？满足结合律吗？也是就是说，下面两式
21、是否成立？ab=ba；（ab）c=a（bc） 考点： 定义新运算。 分析： （1）根据“ 如果 ab ，定义 ab=ab，如果 ab，则定义 ab=ba，” 得出新的运算方法，再利用新的运算方法计算（34）9 的值即可； （2）要证明这个运算是否满足交换律和满足结合律，也就是证明 和 这两个等式是否成立 解答： 解： （1） （34）9=（43）9=19=91=8； （2）因为表示 ab 表示较大数与较小数的差，显然 ab=ba 成立，即这个运算满是交换律， 但一般来说并不满足结合律， 例如：（34） 9=8， 而 3 （49） =3 （94） =35=53=2， 所以，这个运算满足交换律，不
22、满足结合律； 答：这个运算满足交换律，不满足结合律 点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解答即可 13设 a，b 是两个非零的数，定义 ab= （1）计算（23）4 与 2（34） （2）如果已知 a 是一个自然数，且 a3=2，试求出 a 的值 考点： 定义新运算。 分析： （1）根据 ab=，找出新的运算方法，再根据新的运算方法，计算（23）4与 2（34）即可； （2）根据新运算方法将 a3=2，转化成方程的形式，再根据 a是自然数，即可求出 a 的值 与最小公倍数的和记为例如根据上面定义的运算已知是任意有理数我们规定那么为正数表示不超过的质数
23、的个数如即不超过的质数有共个那么的值是如果表示例如那么当比大时如果那么规定一种新运算如果那么对于任意有理数定义算设为自然数定义如下如果定义如果则定义计算这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说下面两式是否成立设是两个非零的数定义学习必备欢迎下载计算与如果已知是一个自然数且试求出的值定义运算如下对于两个自然数和除和则也整除已知求的值学习必备欢迎下载答案一填空题共小题每小题分满分分分规定那么考点定义新运算分析根据得出新的运算方法再根据新的运算方法解答的值解答解因为所以故答案为点评解答此题的关键是根据所给的等式找学习必备 欢迎下载 解答： （1）按照定义有 23=，34=， 于是（23）4=4=，
24、 2（34）=2； （2）由已知得 若 a6 ，则 2 ，从而与矛盾， 因此 a5 ，对 a=1，2，3，4，5 这 5 个可能的值， 一一代入式中检查知， 只有 a=3 符合要求 点评： 解答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方法，再用新运算方法计算要求的式子即可 14定义运算“ ” 如下：对于两个自然数 a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab比如：10 和 14，最小公倍数为 70，最大公约数为 2，则 1014=702=68 （1）求 1221，515； （2）说明，如果 c 整除 a 和 b，则 c 也整除 ab；如果 c 整除 a 和 ab，则 c 也整除 b
25、； （3）已知 6x=27，求 x 的值 考点： 定义新运算。 分析： （1）根据新的定义运算，先求出 12 与 21 的最小公倍数和最大公约数，5 与 15 的最小公倍数和最大公约数，问题即可解决； （2）根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明； （3）由于运算“ ” 没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范围，即根据 6 与 x 的最小公倍数不小于 27+1，不大于 27+6，由此即可得出答案 解答： 解： （1）因为，12 与 21 的最小公倍数和最大公约数分别为 84，3， 所以，1221=843=81， 同样道理 515=155=10；
26、 （2）如果 c 整除 a 和 b，那么 c 是 a 和 b 的公约数，则 c 整除 a，b 的最大公约数，显然 c 也整除 a，b 最小公倍数， 所以 c 整除最小公倍数与最大公约的差，即 c 整除 ab， 如果 c 整除 a 和 ab，由 c 整除 a 推知 c 整除 a，b 的最小公倍数， 再由 c 整除 ab 推知，c 整除 a，b 的最大公约数，而这个最大公约数整除 b， 所以 c 整除 b； （3）因为 6 与 x 的最小公倍数不小于：27+1=28，不大于：27+6=33， 而 28 到 33 之间，只有 30 是 6 的倍数， 与最小公倍数的和记为例如根据上面定义的运算已知是任
27、意有理数我们规定那么为正数表示不超过的质数的个数如即不超过的质数有共个那么的值是如果表示例如那么当比大时如果那么规定一种新运算如果那么对于任意有理数定义算设为自然数定义如下如果定义如果则定义计算这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说下面两式是否成立设是两个非零的数定义学习必备欢迎下载计算与如果已知是一个自然数且试求出的值定义运算如下对于两个自然数和除和则也整除已知求的值学习必备欢迎下载答案一填空题共小题每小题分满分分分规定那么考点定义新运算分析根据得出新的运算方法再根据新的运算方法解答的值解答解因为所以故答案为点评解答此题的关键是根据所给的等式找学习必备 欢迎下载 可见 6 和 x 的最小
28、公倍数是 30， 因此，它们的最大公约数是 3027=3， 由“ 两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积” ， 得到：30 3=6 x， 6x=90， x=15， 所以 x 的值是 15 点评： 解答此题的关键是，根据定义新运算，得出新的运算意义，再利用新的运算意义和运算方法，解答即可 与最小公倍数的和记为例如根据上面定义的运算已知是任意有理数我们规定那么为正数表示不超过的质数的个数如即不超过的质数有共个那么的值是如果表示例如那么当比大时如果那么规定一种新运算如果那么对于任意有理数定义算设为自然数定义如下如果定义如果则定义计算这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说下面两式是否成立设是两个非零的数定义学习必备欢迎下载计算与如果已知是一个自然数且试求出的值定义运算如下对于两个自然数和除和则也整除已知求的值学习必备欢迎下载答案一填空题共小题每小题分满分分分规定那么考点定义新运算分析根据得出新的运算方法再根据新的运算方法解答的值解答解因为所以故答案为点评解答此题的关键是根据所给的等式找
