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1、应用数学 主编:河南机电学校基础部第七章平 面 向 量在现实生活中，我们会遇到各种各样的量，有些量在取定度量单位以后，只需要用一个实数就可以表示.例如，距离、时间、温度等.这些只需用一个实数就可以表示的量叫做数量数量.还有一些量，仅用一个实数还不能完全描述其特征.例如，图7-1表示一个物体在与水平面成30的斜面上，受力作用从A点移到B点，这个物体的位移大小可以用AB间的距离2cm表示，位移的方向是与水平方向成30的从下向上的方向.这种既有大小又有方向的量叫做向量向量.物理中的力、速度、位移等都是向量.第一节平面向量的基本概念第一节平面向量的基本概念图7-1第一节平面向量的基本概念图7-2平面向
2、量可以用平面内带箭头的线段来表示，以线段的长度表示向量的大小，以箭头所指的方向(即从始点到终点方向)表示向量的方向.如图7-2所示.一般地，以点A为始点，点B为终点的向量，记为 向量也可以用黑体小写英文字母表示，如向量 记为a a. 的大小叫做 的长度或模，记为 同样a的长度或模记为a a.向量的模是非负实数.定义定义1 1当向量a a与向量b b方向相同或方向相反时，叫做向量a a与向量b b平行，记为a ab b.第一节平面向量的基本概念定义定义2 2当向量a a与向量b b方向相同，且a a=b b时，叫做向量a与向量b b相等，记为a a=b b.定义定义3 3当向量a与向量b方向相反
3、，且a a=b b时，叫做向量a a与向量b b是互为负向量，记为a=-ba=-b或b=-ab=-a.定义定义4 4长度等于零的向量，叫做零向量，记为0 0.显然，零向量的始点和终点重合，0 0=0，零向量的方向不确定.不是零向量的向量叫做非零向量.第一节平面向量的基本概念第一节平面向量的基本概念图7-3第二节向量的加、减运算一、向量的加法一、向量的加法在物理中可知，某一物体由点A移到点B，再由点B移到点C，与直接从点A移到点C的结果是相同的从图75可见，位移向量a+b=ca+b=c，向量c c的特征是：c c的始点是a a的始点，c c的终点是b b的终点，且a a与b b尾头相连对于这类向
4、量有下面的定义：图7-5第二节向量的加、减运算图7-6定义定义1 1一般地，对于向量a a，b b，任取一点A，作有向线段 表示向量a a，接着以 的终点B为起点作有向线段 表示向量b b，则有向线段 表示的向量c c称为a a与b b的和，记作c=a+bc=a+b.如图7-6所示，我们有向量的等式上述关于向量加法的定义称为向量加法的三角形法则.第二节向量的加、减运算图7-7第二节向量的加、减运算图7-8向量的加法满足以下运算规律：(1) a a+b=b+a+b=b+a(交换律).(2) (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)(结合律).(3) a+0=0+a=aa+0=
5、0+a=a. .(4) a+(-a)=(-a)+a=a+(-a)=(-a)+a=0.第二节向量的加、减运算二、向量的二、向量的减法减法定义定义2 2当向量a a与向量b b满足b+c=ab+c=a时，向量c c叫做向量a a与向量b b的差向量，记为c c=a-b=a+(-b=a-b=a+(-b) )根据向量减法的定义，起点相同的两个向量 减去 的差为 如图7-9所示.即第二节向量的加、减运算第二节向量的加、减运算图7-9第二节向量的加、减运算图7-10图7-11第二节向量的加、减运算图7-12第二节向量的加、减运算图7-13旅客小李、小张分别拉一个带小轮的行李箱，小李所用的力记作F，小张所用
6、的力的大小是小李的1.5倍，力的方向与小李的相同，那么很自然地把小张所用的力表示成1.5F.定义定义1 1实数与向量a a的乘积a a是一个向量，它的长度或模为a a=a a如果a a0，当0时，a a与a a的方向相同；当0时，a a与a a的方向相反.由上式得0a a=0 0， 0 0=0 0第三节数 乘 向 量第三节数 乘 向 量图7-18求一个实数和向量的乘积运算叫做向量的数乘运算.向量的数乘运算满足以下的运算法则：(1) 1a a=a a.(2) ()a a=(a a).(3) (+)a a=a a+a a.(4) (a+ba+b)=a a+b b.(5) (-1)a a=-a a.
7、(6) a a=0 0=0或a a=0 0.第三节数 乘 向 量第三节数 乘 向 量向量的加法与数乘向量满足的运算法则，在形式上很像实数加法与乘法满足的运算法则，当然向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的但是由于它们的运算法则在形式上相像，因此我们猜想实数运算中的去括号、合并同类项、移项等法则，在形式上可以搬到向量的运算中来第三节数 乘 向 量图7-19第三节数 乘 向 量第四节向量的坐标表示一、定位一、定位向量向量在平面直角坐标系内，以原点为始点，点P为终点的向量 ，由于始点是确定的，所以向量 的模和方向都由P点的位置确定，我们叫向量 为点P的定位向量.在平面直角坐标系内，任意一个向量
8、，都可以作出一个定位向量 ，这就是说，平面直角坐标系内，任意一个向量 可以确定唯一的点P，使点P的定位向量 .我们规定：平面直角坐标系内，与x轴正半轴同向、模为1个单位的向量叫做x轴的单位向量，记为i i；同样，y轴的单位向量记为j j.从图7-20可见，点P在x轴上投影点P1的坐标是(x1，0)，点P在y轴上的投影点P2的坐标是(0，y1).显然，第四节向量的坐标表示图7-20第四节向量的坐标表示由向量加法得我们把有序数对(x1，y1)叫做点P的定位向量 的坐标，记为 不难看出，定位向量的坐标就是终点P的坐标.第四节向量的坐标表示二、向量的坐标二、向量的坐标表示表示利用定位向量的概念，可以得
9、到平面直角坐标系内任意一个向量的坐标表示方法在平面直角坐标系内，任意一个向量 ，始点A的坐标是(x1，y1)，终点B的坐标是(x2，y2)，则向量 的坐标是(x2-x1，y2-y1)，即=(x2-x1，y2-y1)第四节向量的坐标表示第四节向量的坐标表示从图7-21可见， 即 而 是点A与点B的定位向量，所以 利用向量的运算法则可得则图7-21第四节向量的坐标表示这就是说，平面直角坐标系内任意一个向量的横(纵)坐标等于它终点的横(纵)坐标减去始点的横(纵)坐标.从 中可知，图7-20中平行于 的向量 是 的定位向量，即第四节向量的坐标表示第四节向量的坐标表示第四节向量的坐标表示三、向量的加、减
10、、数乘运算转化为向量的坐标运算三、向量的加、减、数乘运算转化为向量的坐标运算在平面直角坐标系内，任何向量都可以用坐标表示，所以，向量间的运算也可以用它们的坐标来进行如果a a=(a1，a2)，b b=(b1，b2)，kR R，则加法运算a+ba+b=(a1+b1，a2+b2)；减法运算a-ba-b=(a1-b1，a2-b2)；数乘运算ka a=(ka1，ka2).第四节向量的坐标表示下面以减法运算为例，给出它的证明：因为第五节向量数量积的定义和基本性质图7-23一、两个非零向量的一、两个非零向量的夹角夹角如图7-23所示，设a a，b b是两个非零向量，分别作有向线段 表示a a，b b，射线
11、OA与射线OB组成的不大于的那个角叫做a a与b b的夹角，记作，0，并且=.第五节向量数量积的定义和基本性质由于零向量的方向不确定，因此0 0与每一个向量a a的夹角可以是任意一个角，我们用符号或表示.若=/2，则称a a与b b垂直，记为a ab b.二、二、a a与与b b的数量的数量积积定义定义任意两个向量a a，b b，实数a ab bcos称为向量a a与b b的数量积数量积(或标量积标量积)，记作a ab b，读作“a a点乘b b”，即a ab b=a ab bcos由定义得出，对于任意向量a a，有a a0 0=0 0a a=0.第五节向量数量积的定义和基本性质在向量内积的定
12、义中，包含了向量的长度、两个向量的夹角等度量概念，因此我们可以利用向量的内积来计算向量的长度、两个非零向量的夹角.对任意向量a a，a aa a=a aa acos=a a2，即第五节向量数量积的定义和基本性质对于a0a0，b0b0，可得上述公式表明，利用向量的数量积可以计算向量的长度、两个非零向量的夹角，以及判断两个向量是否垂直.因此，向量的数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题时发挥着重要作用.第五节向量数量积的定义和基本性质为了利用向量的内积解决各种度量问题，就要会计算向量的数量积.为了利用向量的直角坐标来计算向量的数量积，首先需要研究向量数量积的性质.向量的数量积有下述四条基本性质
13、基本性质：对任意向量a a，b b，c c，任意实数k，有：第五节向量数量积的定义和基本性质第五节向量数量积的定义和基本性质坐标平面上取一个直角坐标系Oij，设向量a a，b b的坐标分别为(a1，a2)，(b1,b2).由于i=j=1，ij=ji=0，因此 a ab b=(a1i+a2j)(b1i+b2j) =a1b1ii+(a1b2+a2b1)ij+a2b2 jj =a1b1+a2b2，即 a ab b=a1b1+a2b2此式是用平面向量的直角坐标计算数量积的公式：两个向量的数量积数量积等于它们的横坐标的乘积与纵坐标的乘积之和横坐标的乘积与纵坐标的乘积之和. .第六节用直角坐标计算向量的数量积第六节用直角坐标计算向量的数量积第六节用直角坐标计算向量的数量积第六节用直角坐标计算向量的数量积第六节用直角坐标计算向量的数量积第六节用直角坐标计算向量的数量积
