泛函分析(丁时进教授)

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1、一一.分析数学的发展历程：分析数学的发展历程：1.初创初创 现代分析数学的发展应该起源于微积分的现代分析数学的发展应该起源于微积分的发明和极限理论的建立。即使仅仅是对发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“数数“的理论的完善也归功于极限论的建立。的理论的完善也归功于极限论的建立。 经过经过16世纪中叶到世纪中叶到17世纪初的酝酿，牛顿世纪初的酝酿，牛顿（16421727）和莱布尼茨（）和莱布尼茨（16461716）终于在）终于在17世纪下半叶创立了微积分。世纪下半叶创立了微积分。 在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等无穷小

2、量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等著名学者使微积分学产生萌芽。著名学者使微积分学产生萌芽。 牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发明之一。明之一。流数术：流数术：“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过已知量之间的关系，求他的流数；以及反过来来”牛顿的微分和积分的观点牛顿的微分和积分的观点互逆运互逆运算：微积分学基本定理。算：微积分学基本定理。(1736年发表年发表 ) 莱布尼兹：考察切线，第一次引入了莱布尼兹：考察切线，第一次引入了 符号，沿用至今。符号，沿用至今。 1734年贝克莱嘲笑年贝克莱嘲笑“无穷小量是无穷小量是已死已死量的幽灵量的幽灵，因为是费马略

3、去的无穷小量，因为是费马略去的无穷小量 ，还是牛顿的，还是牛顿的 ，一直到莱布尼茨的，一直到莱布尼茨的 ,又是又是 又不是又不是 ，招之即来，挥之即去，招之即来，挥之即去，“鬼使神差鬼使神差”。 达朗贝尔达朗贝尔将微积分的基础归结为极将微积分的基础归结为极限。但没创造完整体系。限。但没创造完整体系。 欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量天程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量天文，物理，力学问题，著有文，物理，力学问题，著有无穷小分析引论无穷小分析引论。 拉格朗日，拉普拉斯，勒让德，傅立叶拉格朗日，拉普拉斯，勒让

4、德，傅立叶在分析学方面都作出了巨大贡献。在分析学方面都作出了巨大贡献。 但至此，微积分学的基础还没有找但至此，微积分学的基础还没有找到合适的解决办法。所以，法国哲学家到合适的解决办法。所以，法国哲学家伏尔泰称微积分为伏尔泰称微积分为“精确计算和度量的一精确计算和度量的一个其存在性是无从想象的东西的艺术。个其存在性是无从想象的东西的艺术。” 柯西柯西分析教程分析教程：“若代表某若代表某变量的一串量的一串数数值无限地无限地趋向于某一数向于某一数值，其差可以任意小，其差可以任意小，则该固定固定值称称为这一串数的极限一串数的极限”，他将分析学，他将分析学奠定在极限概念之上，但仍然使用奠定在极限概念之上

5、，但仍然使用“无限无限趋向向”，“要多小就有多小要多小就有多小”一一类不不严格的格的语言。言。 魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯（1815-1897）将柯西的思）将柯西的思想想“算术化算术化”，出现了至今通用的，出现了至今通用的 语言。语言。 语言语言柯西准则柯西准则构成微积分构成微积分的基础的基础“极限论极限论”的基础。的基础。2.微积分的基础微积分的基础 3.实数理论实数理论 在十九世纪分析学发展的同时，人类也在十九世纪分析学发展的同时，人类也完善了实数理论。柯西首先认识到完善了实数理论。柯西首先认识到“无理数无理数是有理数迫近的极限是有理数迫近的极限”（即：实数域是有理（即：实数域是有理数域的

6、完备化）。但极限又要用到实数，这数域的完备化）。但极限又要用到实数，这形成了一个循环论证。形成了一个循环论证。 梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。 戴德金采用对有理数分割的办法，建立戴德金采用对有理数分割的办法，建立了不依赖于极限论的实数理论。了不依赖于极限论的实数理论。 勒贝格（勒贝格（1875-1941）创立可列可加创立可列可加测度的积分论，形成实变函数论。测度的积分论，形成实变函数论。 以实分析为基础的概率论和随机过程，以实分析为基础的概率论和随机过程，称为现代分析。称为现代分析。 复变函数论的发展，形成复分析。复变函数论的发展，形成复分析。 以函数

7、空间为背景的泛函和算子理论以函数空间为背景的泛函和算子理论泛函分析。泛函分析。 此外还有傅立叶分析等。此外还有傅立叶分析等。4. 20世纪分析学的发展世纪分析学的发展 20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和世纪分析学的另一特征是用拓扑学和代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。 流形上的分析结合了微分几何学流形上的分析结合了微分几何学偏微分方偏微分方程程多复变函数论，成为当代数学的主流方多复变函数论，成为当代数学的主流方向。外微分形式向。外微分形式反函数理论，成为当代分反函数理论，

8、成为当代分析学的基础知识。析学的基础知识。 同时同时，20世纪分析学的发展，使非线性世纪分析学的发展，使非线性分析成为最活跃的数学分支之一，其基础理分析成为最活跃的数学分支之一，其基础理论是算子理论。论是算子理论。 泛函分析使分析学跃上新的高度。希尔泛函分析使分析学跃上新的高度。希尔伯特空间伯特空间巴拿赫空间巴拿赫空间广义函数论成为常广义函数论成为常识。识。 现在我们知道，无穷小量不再是一个量，现在我们知道，无穷小量不再是一个量，而是一个变化的过程。而是一个变化的过程。 从上面可以看到，分析数学的发展经从上面可以看到，分析数学的发展经历了近历了近3百年漫长的历史。数学成为现代百年漫长的历史。数

9、学成为现代科学的基础，已经成为人类的共识。科学的基础，已经成为人类的共识。 二二.从从“数数“到到”泛函分析泛函分析“的知识的知识体系体系数（自然数数（自然数整数整数有有理数理数实数实数复数）复数）变量变量函数（描述变量之间的函数（描述变量之间的变化关系）变化关系）极限极限函数的分析性质，实数理论的建函数的分析性质，实数理论的建立（有限维欧式空间上的定义的立（有限维欧式空间上的定义的函数）函数）实分析（实分析（Lebesgue积分理论积分理论函数空间的研究（函数空间的研究（Hilbert空空间，间，Banach空间空间无限维无限维空间）空间）函数空间上定义的函数，函数空间上定义的函数，即泛函或

10、算子即泛函或算子 派生：微分几何学，复变函数，微派生：微分几何学，复变函数，微分方程等；分方程等； 现代：流形现代：流形流形上的分析学。流形上的分析学。三、用现代数学的观点看已学过数学三、用现代数学的观点看已学过数学 知识知识从上面的发现过程看来，可以归结为：从上面的发现过程看来，可以归结为： 第一第一阶段：段：变量取的是量取的是“数数“，函数就是，函数就是通常所通常所说的函数的函数 第二第二阶段：段：变量取的是量取的是“函数空函数空间中的元中的元素素” ” 函数函数变成了泛函。成了泛函。 所以，所以，总是首先是首先对变量所在的量所在的“空空间”研研究清楚，才能研究定究清楚，才能研究定义在在这

11、个个“空空间”上的上的“函函数数”。 变量所在的变量所在的“空间空间”，除了其代数运算，除了其代数运算与代数性质（群，环，域）外，对于研究在与代数性质（群，环，域）外，对于研究在他上面定义的分析性质来说，他上面定义的分析性质来说，“空间空间”的分的分析性质是十分重要的。析性质是十分重要的。 小学就开始学小学就开始学习“距离空距离空间”。如，直。如，直线上点与点之上点与点之间的距离。中学的距离。中学时学学习的的作作为两个点两个点(x(x1,1,y y1 1) )和和(x(x2 2,y,y2 2) )之间的距离。之间的距离。 其其实，现在我在我们知道，知道，还可以采用很可以采用很 多方法定多方法定

12、义距离。距离。2.在空间上定义拓扑在空间上定义拓扑定义收敛性定义收敛性 一般一般说来，来， 中有界闭集合一定是紧中有界闭集合一定是紧的，这就是数学分析中所说的致密性定理。的，这就是数学分析中所说的致密性定理。 但是，到了无限维空间，例如一般的但是，到了无限维空间，例如一般的Banach空间，其中的有界集就不一定有收敛空间，其中的有界集就不一定有收敛子列。常见的例子是，有界的连续函数列不一子列。常见的例子是，有界的连续函数列不一定有一致收敛的子列，还要加上诸如定有一致收敛的子列，还要加上诸如“等度连等度连续性续性“条件（条件（Arzela-Ascoli）.5.现在我们看看现在我们看看“函数空间函

13、数空间”1在 上连续的函数的全体构成一个集合 。按照通常的加法和数乘，构成一个线性空间，把里面的元素视为点。1 Dirichlet函数不是黎曼可积的，但是它 是Lebesgue可积的.2积分与极限交换顺序的问题6.另三个典型的例子可以看到另三个典型的例子可以看到 人类认识的发展人类认识的发展：3在通常意在通常意义和和Lebesgue意意义 下都无法解下都无法解释的的“函数函数”四、几个问题a.极值问题从函数极值到短程线问题半正定半正定极小极小半负定半负定极大极大泛函的极值：短程线，障碍问题泛函的极值：短程线，障碍问题（1）捷线问题：）捷线问题：初速为0的质点，仅受重力作用，沿光滑曲线由定点 A

14、滑行到定点B（B低于A但不在同一条垂直于地面的直线上），为使滑行时间最短，问滑行的曲线是怎样的？AyBx分析：分析：AyBx(2)短程线短程线众所周知，连接平面上两点众所周知，连接平面上两点A、B的最短线为的最短线为直线。那么，我们来考虑如下有趣的问题：直线。那么，我们来考虑如下有趣的问题：要在山坡上修建一条最要在山坡上修建一条最短的公路连接两个居民短的公路连接两个居民点点A、B，问如何选线？，问如何选线？分析：设山坡的曲面方程分析：设山坡的曲面方程为为F(x,y,z)=0,设连接设连接A、B的曲线为：的曲线为：y=y(x)z=z(x)则则A、B 间曲线间曲线 的弧长是的弧长是所以，要在约束条

15、件所以，要在约束条件F(x,y,z)=0之下，求泛函之下，求泛函的最小值的最小值（3）等周问题）等周问题：平面上一切有定长的简单闭曲平面上一切有定长的简单闭曲线中，确定一条围成最大面积的曲线。线中，确定一条围成最大面积的曲线。设曲线方程为设曲线方程为 是定长，则面为是定长，则面为 ，求求A在约束条件在约束条件之下求最小值之下求最小值等周问题。等周问题。历史上用平面几何和不等式的办法曾经证明了下历史上用平面几何和不等式的办法曾经证明了下面的等周定理，为了证明它，人类花了两千多年面的等周定理，为了证明它，人类花了两千多年（1）在具有给定周长的所有平面图形中，）在具有给定周长的所有平面图形中，圆的面

16、积最大。圆的面积最大。（2）在所有给定面积的平面图形中，圆的）在所有给定面积的平面图形中，圆的周长最小。周长最小。（1）在具有给定表面积的所有立体图形中，）在具有给定表面积的所有立体图形中，球的体积最大。球的体积最大。（2）在具有给定体积的所有立体图形中，）在具有给定体积的所有立体图形中，球的表面积最小。球的表面积最小。等等周周定定理理：其他还有三角形的等周定理，多边形的等周定理。其他还有三角形的等周定理，多边形的等周定理。（4）绕过障碍）绕过障碍拉紧橡皮筋带两端拉紧橡皮筋带两端A、B，绕过平板，绕过平板W光滑边光滑边缘缘 ，则弧长为，则弧长为但是要保证但是要保证其中其中 是是W的边界方程。的

17、边界方程。（5）球面上的短程线）球面上的短程线（6）不动点定理从一维到高维求）不动点定理从一维到高维求 解非线性问题解非线性问题i. 设设 在在 上连续，且上连续，且 ， 则存在则存在 ,使得使得即：即： 连续且将连续且将 映到自身，那么映到自身，那么 在在 中有不动点，此为中有不动点，此为Schauder不动点。不动点。ii.压缩映象原理压缩映象原理如果函数如果函数 定义在定义在 上，且存在上，且存在 使得使得那么存在唯一的那么存在唯一的 使得使得iii.高维高维 如果一个连续映射如果一个连续映射把一个闭单位球把一个闭单位球映到自己，那么这个闭单位球内有这个映映到自己，那么这个闭单位球内有这

18、个映射的不动点。射的不动点。还有类似的压缩映射原理还有类似的压缩映射原理iv.无限维无限维在在Banach空间上，有空间上，有Schauder不动点原理，不动点原理，Brower不动点原理，不动点原理，Leray Schauder不动不动点原理。它们是求解非线性问题的有力工具。点原理。它们是求解非线性问题的有力工具。五、总结五、总结可供选择的题目可供选择的题目1、变分问题、变分问题 3、函数方程常见解法、函数方程常见解法4、隐函数定理及其应用、隐函数定理及其应用2、不动点定理及其应用、不动点定理及其应用5、中学如何讲授微积分、中学如何讲授微积分 （在没有（在没有 的情况下的情况下）6、中学数学

19、问题中的微分方程、中学数学问题中的微分方程7、从分析角度谈数、从分析角度谈数系系8、球面上三角形的计算问题、球面上三角形的计算问题9、函数的迭代、函数的迭代11、无穷大量对中学数学的指导意义、无穷大量对中学数学的指导意义 （有界、无界、渐近线等）（有界、无界、渐近线等）12、不等式的证明、不等式的证明从离散到积分从离散到积分 形式（函数的导数、积分、凹凸性）形式（函数的导数、积分、凹凸性）10、复数方、复数方法法解决中数问题解决中数问题13、用拓扑的观点看函数的连续性、用拓扑的观点看函数的连续性 和一致连续性和一致连续性六、现在，把上面提到的有些问题作六、现在，把上面提到的有些问题作 一些解释

20、一些解释1、关于函数方程、关于函数方程其他函数方程：其他函数方程：其他方程如：其他方程如：待定系数法、极限、幂级数法待定系数法、极限、幂级数法微积分法还可用于微积分法还可用于 可以从已知函数所满足的关系式反过来可以从已知函数所满足的关系式反过来思考，再思考，再讨论一些函数方程讨论一些函数方程。参考文献：王向东等著，函数方程及其应用，参考文献：王向东等著，函数方程及其应用， 上海科技文献出版社，上海科技文献出版社，20032、函数的迭代与不动点函数的迭代与不动点设连续函数设连续函数 f : RR，复合函数，复合函数f(f(x)记作记作f2 (x) f(f(x),类似的定义类似的定义 f(f(f(

21、x)=f3(x), ,f(f(f(x)=fn(x),称为函数的迭代。视称为函数的迭代。视n次迭代次迭代fn 为为R中的一个中的一个映射。映射。 若存在若存在xR，使，使fn(x)=x，则称，则称x是映射是映射fn 的不动点。的不动点。fn 的不动点的集合记作的不动点的集合记作Fix(fn ) 可以考察：可以考察：n，极限是什么（对具，极限是什么（对具体函数或给体函数或给f 一定的条件）一定的条件）? 也可以考察，在哪些条件下，也可以考察，在哪些条件下，fn 有不动有不动点，点，Fix (fn )有什么性质？有什么性质？3、用不动点解非线性问题或用迭代用不动点解非线性问题或用迭代 法求解非线性问

22、题法求解非线性问题例：设例：设f(x)在在a, b上连续，且上连续，且a f(x) b， x a, b，求证存在，求证存在x0 a, b ，使，使x0 =f(x0 )思想：选思想：选x1 a, b ，定义，定义xn+1 =f(xn)，n=1，2，证明证明xn 收敛且极限收敛且极限x0就是不动点。就是不动点。思考：思考：推广到高维映射；推广到高维映射； 应用到其他的问题；应用到其他的问题；*2006年高考题：年高考题：A是由定义在是由定义在 2, 4 上具有满足如下条件的函数上具有满足如下条件的函数 组成组成的集合：的集合：4、解微分不等式解微分不等式Gronwall不等式不等式 由由 在一定条

23、件下研究在一定条件下研究 的性质，推广到其的性质，推广到其他多种变形他多种变形。 Gronwall不等式是研究偏微分方程的重要不等式是研究偏微分方程的重要工具。工具。5、常微分方程有限时刻爆破的问题、常微分方程有限时刻爆破的问题例：例： 对一阶非线性常微分方程对一阶非线性常微分方程 当当 满足什么条件时，一定在某个有限时刻满足什么条件时，一定在某个有限时刻 爆破，即：爆破，即： 也可研究任意时刻不爆破也可研究任意时刻不爆破. 还可以推广到高阶非线性常微还可以推广到高阶非线性常微分方程的初值问题或边值问题。甚分方程的初值问题或边值问题。甚至可以推广到偏微分方程至可以推广到偏微分方程*科学研究常用步骤：科学研究常用步骤： 选题选题 调研调研 收集资料（卡片）收集资料（卡片） 写作写作 遇到问题再查资料遇到问题再查资料 解决一部分问题推广解决一部分问题推广