球与多面体的内切、外接

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1、球与多面体的内切、外接球与多面体的内切、外接ABCDD1C1B1A1O东营河口二、球与多面体的接、切二、球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体， 这个球是这个这个球是这个 。定义定义2：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体， 这个球是这个这个球是这个 。一、一、球体的体积与表面积球体的体积与表面积多面体的多面体的外接球外接球 多面体的多面体的

2、内切球内切球球内切与正方体球内切与正方体 则球的半径则球的半径r和正方体的棱长和正方体的棱长a有什么关系？有什么关系？.ra中截面中截面设为设为1 1球的外切正方体的棱长等于球直径。球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O例例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. C. D.ABCDD1C1B1A1O中截面中截面正方正方形形的对角线等于球的直径。的对角线等于球的直径。.球内切于正方体的棱球内切于正

3、方体的棱ABCDD1C1B1A1O对角面对角面设为设为1 1球的内接正方体的对角线等于球直径。球的内接正方体的对角线等于球直径。球外接于正方体球外接于正方体练习：练习：沿对角面截得：沿对角面截得：1 1、三棱锥、三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PAPA，PBPB，PCPC两两垂直，两两垂直，PA=1PA=1， ，已知空间中有一，已知空间中有一个点到这四个点距离相等，求这个距离；个点到这四个点距离相等，求这个距离；1例例2、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 。求棱锥的。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。全面积和它的内切球的表面积。过侧棱过侧棱AB与球心与球心O作截面

4、作截面( 如图如图 )在正三棱锥中，在正三棱锥中，BE 是正是正BCD的高，的高，O1 是正是正BCD的中心，且的中心，且AE 为斜高为斜高解法解法1：O1ABEOCD作作 OF AE 于于 FF设内切球半径为设内切球半径为 r，则，则 OA = 1 r Rt AFO Rt AO1E OABCD设球的半径为设球的半径为 r，则，则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD解法解法2：例例2、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 。求棱锥的。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。全面积和它的内切球的表面积。注意：注意：割补法，割

5、补法，练习练习PAO1DEO例例3 求棱长为求棱长为 a 的正四面体的正四面体 P ABC 的外接球的表面积的外接球的表面积过侧棱过侧棱 PA PA 和球心和球心 O O 作截面作截面则则截球得大圆，截正四面体得截球得大圆，截正四面体得PADPAD，如图所示，如图所示, ,G连连 AO AO 延长交延长交 PD PD 于于 G G则则 OG PD，且，且 OO1 = OG Rt PGO Rt PO1D 解法解法1：ABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径解法解法2：球的内切、外接问题球的内切、外接问题5、体积分割是求内切球半径的通

6、用做法。、体积分割是求内切球半径的通用做法。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。PAO1DEO2、求棱长为、求棱长为 a 的正四面体的正四面体 P ABC 的外接球的表面积。的外接球的表面积。G1、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为底面圆内，若正方体的边长为 ，求半球的表面积和体，求半球的表面积和体积。积。第二题截图第二题截图A3.C1.2.C