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1、2 2.3 3互斥互斥事件事件1.互斥事件在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.【做一做1】 从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取两个数,分别有下列事件:恰有一个是奇数和恰有一个是偶数;至少有一个是奇数和两个数都是奇数;至少有一个是奇数和两个数都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中为互斥事件的是()A.B.C.D.解析:由互斥事件的定义可知正确,只有的两个事件不会同时发生.答案:C2.互斥事件的概率加法公式(1)事件A+B:给定事件A,B,我们规定A+B是一个事件,事件A+B发生是指事件A和B至少有一个发生.对于三个或三个以上事
2、件,结论同样成立.(2)概率加法公式:在一个随机试验中,如果随机事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A+B)=P(A)+P(B).对于三个或三个以上事件,上式结论同样成立,即如果事件A1,A2,A3,An是互斥事件,则有P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An).名师点拨互斥事件概率加法公式的作用在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知或较容易求出的彼此互斥的事件,再利用互斥事件的概率加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效,但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足前提条件“彼此互斥”. 【做一做2】 在掷骰子
3、的游戏中,向上的数字是1或2的概率是.【做一做3】 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是 ()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球解析:根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事件“三个球都是红球”是两事件的交事件;B中两事件是对立事件;C中两事件能同时发生,如“恰有一个红球和两个白球”,故不是互斥事件;D中两事件是互斥而不对立事件.答案:D思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)事件A与事件B互斥,则事件A与B
4、互为对立事件. ()(2)设A,B为对立事件,则 一定也为对立事件. ()(3)若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1.()(4)对任意两事件A,B,都有P(A+B)=P(A)+P(B). ()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思维辨析当堂检测互斥事件、对立事件的判断互斥事件、对立事件的判断【例1】 (1)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,下列每对事件是对立事件的是 ()A.恰有1名男生与恰有2名男生B.至少有1名男生与全是男生C.至少有1名男生与全是女生D.至少有1名男生与至少有1名女生(2)判断下列给出的每对事件是不是互斥事件,是
5、不是对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从110各10张)中,任意抽取1张.“抽出红桃”与“抽出黑桃”.“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”.“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(1)答案:C(2)解:是互斥事件,不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.既是互斥事件,又是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事
6、件不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.不是互斥事件,当然不可能是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10.因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟判断两个事件是不是互斥事件或对立事件的方法(1)根据互斥事件、对立事件的概念进行判断:若两个事件不能同时发生,则这两个事件是互斥事件,若能同时发生,则这两个事件不是互斥事件;若两个事件不能同时发生,而且必有一个发生,则这两个事件就是对立事件,否则就不是对立事件.(2)借助
7、集合的观点进行判断:设事件A与B所包含的结果组成的集合分别是A,B,若集合AB=,则A与B互斥;若AB=且AB=(表示全集),则A与B对立.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练变式训练1一枚质地均匀的正方体骰子,将这枚骰子向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则()A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件解析:抛掷一次骰子,表示向上的一面点数的所有可能情况的基本事件有1,2,3,4,5,6点,其中事件A包含1,3,5三种,事件B包含1,2,3
8、三种,事件C包含4,5,6三种,所以A与B有可能同时发生,不是互斥事件,故A错误;更不会是对立,故B错误;B与C不可能同时发生,而且不是B发生就是C发生,所以是对立事件,故C错误,D正确.答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测互斥事件概率加法公式的应用互斥事件概率加法公式的应用【例2】 有编号分别为1,2,3的三个白球,编号分别为4,5,6的三个黑球,这六个球除编号和颜色外完全相同,现从中任意取出两个球.(1)求取出的两个球颜色相同的概率;(2)求取出的两个球中白色球个数不多于黑色球个数的概率.分析:(1)“两个球颜色相同”是指“两个球都是白球”或“两个球都是黑球”;(2)“白球个数不多于
9、黑球个数”是指“白球0个,黑球2个”或“白球1个,黑球1个”,因此均可用互斥事件概率公式求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:从六个球中取出两个球的基本事件是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共计15个基本事件.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟处理此类问题要弄清以下三个方面.(1)思路:将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件,分别求出各事件的概率,然后用加法公式求出结果.(2)注意点:运用互斥事
10、件的概率加法公式解题时,首先要分清各事件是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏.(3)常用步骤:确定各事件彼此互斥;各事件中有一个发生;先求各事件分别发生的概率,再求其和.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练变式训练2黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表: 已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,AB型血的人可以接受任一种血型的血.其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,问:(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)对任一人
11、,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A,B,C,D,它们是互斥的.由已知,有P(A)=0.28,P(B)=0.29,P(C)=0.08,P(D)=0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“可以输给B型血的人”为事件B+D.根据互斥事件的概率加法公式,有P(B+D)=P(B)+P(D)=0.29+0.35=0.64.故任找一人,其血可以输给小明的概率为0.64.(2)因为A,AB型血不能输给B型血的人,所以“不能输给B型血的人”为事件A+C,且P(A+C)=P(A)+P(C)=0.28+0.08=0.36.故任找一人,其血不能输给小明的概率为0.36.探究一探究二探究三思维辨析当
12、堂检测对立事件概率的应用对立事件概率的应用【例3】将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数.(1)求两数中至少有一个奇数的概率;(2)求以第一次向上的点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的外部的概率.分析:(1)先求两数均为偶数的概率,利用对立事件的概率公式解出;(2)因为得到的点不可能在圆x2+y2=15上,所以先求出点在圆内的概率,再求点在圆外的概率.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:将一枚均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个等可能的基本事件.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要
13、分类太多,而其对立面的分类较少或唯一,则可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.当所求的事件中含有“至少” “至多”等词语时,常用对立事件的概率公式计算.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练变式训练3某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图所示.随机选取1个成员:(1)他至少参加2个小组的概率是多少?(2)他参加不超过2个小组的概率是多少?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:(1)从图可以看出,3个课外兴趣小组的总人数为60.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测未弄清概率加法公式的适用条件而致误
14、【典例】 战士射击一次,击中环数大于7的概率为0.6,击中环数是6或7或8的概率相等,且和为0.3,则该战士射击1次,击中环数大于5的概率为.错解P=0.6+0.3=0.9.正解记事件A为“击中6环”,事件B为“击中7环”,事件C为“击中7环以上”,则事件A,B,C彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.1,P(C)=0.6.记事件D为“击中5环以上”,则P(D)=P(A+B+C)=0.1+0.1+0.6=0.8.纠错心得本题误认为“击中7环以上”与“击中环数是6或7或8”是互斥事件,从而误认为所求概率为0.6+0.3=0.9,造成解题错误,在运用互斥事件概率加法公式时一定要弄清公式所适用
15、的范围.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练变式训练某射手射击一次,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中成绩不超过8环的概率为()A.0.9 B.0.6 C.0.5 D.0.3解析:设事件A,B分别表示命中10环,9环,事件D表示不超过8环.事件A+B与事件D是对立事件,而事件A与事件B是互斥事件,所以P(D)=1-0.2-0.3=0.5.答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.给出以下结论:互斥事件一定对立;对立事件一定互斥;互斥事件不一定对立;事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中
16、正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:对立必互斥,互斥不一定对立,故正确,错;又当AB=A时,P(AB)=P(A),故错;只有事件A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),故错.答案:C2.若事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8解析:由已知得P(A)+P(B)=0.8,又P(A)=3P(B),于是P(A)=0.6.答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.据统计,在某银行的一个营业窗口等候的人数及其相应的概率如下:则至多有2人等候排队的概率是,至少有3人等候排队的概
17、率是.解析:记A=“至多有2人等候排队”,则P(A)=0.05+0.14+0.35=0.54.B=“至少有3人等候排队”,则P(B)=0.3+0.1+0.06=0.46.答案:0.540.46探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.在20 000张福利彩票中,设有特等奖1名,一等奖3名,二等奖5名,三等奖10名,从中买1张彩票.求获得二等奖或三等奖的概率.解:设P(A),P(B),P(C),P(D)分别表示获得特等奖、一等奖、二等奖、三等奖的概率.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,得到的点数分别记为a,b.求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1不相切的概率.解:先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子,将得到的点数记为a,b,则事件总数为66=36.
