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1、冶金传输原理冶金传输原理北京科技大学冶金与生态工程学院北京科技大学冶金与生态工程学院 冶金传输原理冶金传输原理第一部分流体力学第一部分流体力学第四章：动量传输的微分方程第四章：动量传输的微分方程吴铿吴铿 2009.03.15第四章第四章 流体动力学流体动力学 4.1 连续性微分方程连续性微分方程4.2 理想流体运动方程理想流体运动方程4.3 伯努利方程伯努利方程4.4 伯努利方程的应用伯努利方程的应用4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程4.1 连续性微分方程连续性微分方程微元控制体微元控制体(流体的密度为流体的密度为)流进流进ABCD面面的质量流量的质量流量流出流出EFGH面面的质量流量的
2、质量流量X轴方向的净流入的质量轴方向的净流入的质量(流入和流出之差流入和流出之差)。4.1 连续性微分方程连续性微分方程同理可以给出同理可以给出y和和z两个方向上的表达式。两个方向上的表达式。流体考虑三个方向上净流入质量为：流体考虑三个方向上净流入质量为：净流入量导致微元控制体内流体密度的变化，净流入量导致微元控制体内流体密度的变化，微元体内单位时间微元体内单位时间质量的累积质量的累积(或累积的质量或累积的质量)质量守衡定律质量守衡定律：净流入质量：净流入质量= =累积的质量累积的质量( (质量的累积质量的累积) ) 由前面的方程可以得到连续性方程由前面的方程可以得到连续性方程 式中未涉及力的
3、问题，是运动学方程，对理想流体和式中未涉及力的问题，是运动学方程，对理想流体和粘性流体均适用，实际存在的流体都必满足连续性方程粘性流体均适用，实际存在的流体都必满足连续性方程 将上式展开，考虑将上式展开，考虑可得：可得：不可压缩流，不可压缩流，为常数为常数4.1 连续性微分方程连续性微分方程对于稳定流动对于稳定流动例题例题1：已知某二维不可压缩流的速度分布：已知某二维不可压缩流的速度分布(或速或速度场度场)如下，如下，试分析此流场是否存在？试分析此流场是否存在？解：因为流场是否存在必须满足连续性方程，所以可用解：因为流场是否存在必须满足连续性方程，所以可用上面的直角坐标公式来判断。由于：上面的
4、直角坐标公式来判断。由于：对于园柱坐标，不可压缩流：对于园柱坐标，不可压缩流：4.1 连续性微分方程连续性微分方程例题例题2 试判断下列平面流场是否连续？试判断下列平面流场是否连续？解：解：因为因为 代入前面的园柱坐标公式可得代入前面的园柱坐标公式可得说说明明此此流流场场是是不不连连续续的的，亦亦即不存在。即不存在。说明此流场是连续的。说明此流场是连续的。4.1 连续性微分方程连续性微分方程取一个微分控制体如图所示。由于动量是矢量，首先取一个微分控制体如图所示。由于动量是矢量，首先考察考察x轴方向上的动量。这一方向上动量输入、输出轴方向上的动量。这一方向上动量输入、输出控制体的方式有三种，即沿
5、着控制体的方式有三种，即沿着x轴，以及沿着轴，以及沿着y轴和轴和z轴的输入、输出。轴的输入、输出。沿沿x轴输入和输出的轴输入和输出的动量速率动量速率(流密度流密度)分分别为：别为：4.2 理想流体运动方程理想流体运动方程(欧拉方程欧拉方程)净动量速率为净动量速率为4.2 理想流体运动方程理想流体运动方程(欧拉方程欧拉方程)同理，在沿着同理，在沿着y轴和轴和z轴方向上，轴方向上，x轴方向上的净动量轴方向上的净动量速率分别为速率分别为三个方向之和即为三个方向之和即为 轴方向总的净动量速率：轴方向总的净动量速率：设设x轴方向上单位质量的质量力为轴方向上单位质量的质量力为 ，则整个微元控制，则整个微元
6、控制体的体的x轴方向的质量力为：轴方向的质量力为：4.2 理想流体运动方程理想流体运动方程(欧拉方程欧拉方程)在在x轴方向上，控制体内累积的动量速率为轴方向上，控制体内累积的动量速率为将上述公式代入动量守恒定律中，于是有将上述公式代入动量守恒定律中，于是有展开上式右侧各项，考虑连续性方程，并假定密度不展开上式右侧各项，考虑连续性方程，并假定密度不变，则有：变，则有：4.2 理想流体运动方程理想流体运动方程(欧拉方程欧拉方程)关于关于y、z方向上的力与动量速率，也应该有类似的关方向上的力与动量速率，也应该有类似的关系，它们的表达式如下：系，它们的表达式如下：将前面的动量速率与力的分量式将前面的动
7、量速率与力的分量式(共共3个个)写成矢量式，写成矢量式，可得：可得：这就是理想流体运动方程，是这就是理想流体运动方程，是1775年欧拉年欧拉(Euler)首先首先提出的，亦称欧拉方程。提出的，亦称欧拉方程。4.3 伯努利方程伯努利方程因为只考虑定常流动，所以欧拉方程中的因为只考虑定常流动，所以欧拉方程中的P、x、y和和z都只是坐标都只是坐标x、y、z的函数，而与时间的函数，而与时间t无关。也就是无关。也就是说：说：因此在定常流动下，欧拉方法的速度表达式：因此在定常流动下，欧拉方法的速度表达式： 而而 对时间的全微分并不为零，其表达式对时间的全微分并不为零，其表达式如下：如下：4.3 伯努利方程
8、伯努利方程同理：同理：在流体力学中，从上面的在流体力学中，从上面的 等对时间的全等对时间的全微分不为零看出，流体力学中有了新的加速度概念，微分不为零看出，流体力学中有了新的加速度概念，称为位置变化造成的加速度，简称称为位置变化造成的加速度，简称位变加速度位变加速度，而，而 等不为零时对应的加速度称为等不为零时对应的加速度称为时变加速度时变加速度。不难看出，位变加速度是专属于流体力学的新概念。不难看出，位变加速度是专属于流体力学的新概念。4.3 伯努利方程伯努利方程根据对于欧拉方程，考虑以下特殊条件：根据对于欧拉方程，考虑以下特殊条件： 1. 理想流体；理想流体； 2. 稳定流动；稳定流动； 3
9、. 不可压缩流体；不可压缩流体； 4. 质量力只有重力；质量力只有重力；5. 质点沿一条特定流线运动。质点沿一条特定流线运动。两边乘两边乘以以dx 沿沿流线移动流线移动，流线微分方程式，流线微分方程式4.3 伯努利方程伯努利方程类似的类似的三式相加三式相加稳定流时稳定流时4.3 伯利例方程伯利例方程理想流体沿流线的伯努利方程理想流体沿流线的伯努利方程, , 其物理意义可其物理意义可以分为：以分为： 能量意义：方程中每一项表示单位重力流体所具有的能量意义：方程中每一项表示单位重力流体所具有的能量。能量。gzi和和Pi/分别代表单位重力流体所具有的位能和分别代表单位重力流体所具有的位能和压力能；压
10、力能； 而而i2/2代表单位重力流体所具有的动能。代表单位重力流体所具有的动能。它说明理想流体沿流线流动时，单位重力的流体所具它说明理想流体沿流线流动时，单位重力的流体所具有的位能、压力能和动能三者之间尽管可以转化，但有的位能、压力能和动能三者之间尽管可以转化，但三者之和必为常数。这显然是机械能守恒定律的推广。三者之和必为常数。这显然是机械能守恒定律的推广。4.3 伯利例方程伯利例方程 几何意义：方程中每一项的量纲与长度相同，表示几何意义：方程中每一项的量纲与长度相同，表示单位重力流体所具有的水头。单位重力流体所具有的水头。zi表示所研究点相对某表示所研究点相对某一基准面的几何高度，称为位置水
11、头；一基准面的几何高度，称为位置水头；Pi/g表示所研表示所研究点处压强大小的高度，有与该压强相当的液柱高度，究点处压强大小的高度，有与该压强相当的液柱高度，称为测压管高度，或称为测压管水头；称为测压管高度，或称为测压管水头； i2/2g表示所表示所研究点处速度大小的高度，称为测速高度，或称为速研究点处速度大小的高度，称为测速高度，或称为速度水头。伯努利方程说明在重力作用下的理想流体定度水头。伯努利方程说明在重力作用下的理想流体定常流动中，几何高度、测压管高度和测速高度之和为常流动中，几何高度、测压管高度和测速高度之和为一个常数，称为水力高度和总水头。一个常数，称为水力高度和总水头。柏努利方程
12、柏努利方程都是在一定条件下积分得到的，应用时必都是在一定条件下积分得到的，应用时必须注意下列限制条件：理想流体；不可压缩；定常流须注意下列限制条件：理想流体；不可压缩；定常流动；作用于流体上的力仅有重力；不考虑流体旋转。动；作用于流体上的力仅有重力；不考虑流体旋转。4.3 伯利例方程伯利例方程意义：意义：反映在反映在重力作用下重力作用下理想理想不可压缩不可压缩流体流体稳稳定定流动中，流动中，沿同一流线沿同一流线上，单位重量流体具有上，单位重量流体具有的的位能、压能和动能位能、压能和动能的相互转换和守恒关系。的相互转换和守恒关系。例题例题5 在一均匀的平行于在一均匀的平行于x方向的流动中，放方向
13、的流动中，放置一个半径为置一个半径为R的静止圆柱体，已知在圆柱体的静止圆柱体，已知在圆柱体表面处的流速表面处的流速，试求其压强分布，试求其压强分布。 解：假设距圆柱体很远处的压强为解：假设距圆柱体很远处的压强为P，速度为，速度为 ，在忽略位能项的影响，有：在忽略位能项的影响，有：式中式中P0为滞止压强。为滞止压强。4.3 伯利例方程伯利例方程 以以为为在在无无旋旋流流场场中中滞滞止止压压强强是是一一常常数数，在在圆圆柱柱体体表表面面处的速度为：处的速度为： 因此圆柱体表面处的压强是：因此圆柱体表面处的压强是：图图给给出出了了绕绕圆圆柱柱体体有有势势流动的压强分布曲线。流动的压强分布曲线。 4.
14、3 伯利例方程伯利例方程4.4 伯努利方程的应用伯努利方程的应用伯努利方程应用伯努利方程应用文丘里文丘里管管用途：用途：文丘里管用于测量管路中的文丘里管用于测量管路中的流速或流量。流速或流量。原型：原型：在管路中加接一段截面收缩在管路中加接一段截面收缩的管子，并与压力计相连如右所示的管子，并与压力计相连如右所示。选取沿管轴的一条流线及。选取沿管轴的一条流线及流线上的两点流线上的两点1和和2，对应的管子截面分别为，对应的管子截面分别为A1、A2，流速为，流速为 1、 2。设。设1、2分别为管路中流体与分别为管路中流体与U形形管中流体的重度。管中流体的重度。若测量出压力计的高度差值，即若测量出压力
15、计的高度差值，即可得到管路中的流速或流量值。可得到管路中的流速或流量值。由流管的流量公式，在流量不变的情况下，可以得到：由流管的流量公式，在流量不变的情况下，可以得到： A11=A224.4 伯努利方程的应用伯努利方程的应用根据重力场中不可压缩定常流动的伯努利方程得：根据重力场中不可压缩定常流动的伯努利方程得：因为因为P1-P22h，同时考虑到，同时考虑到1 P2，上式，上式因此变为：因此变为：由此得流速和流量：由此得流速和流量：4.4 伯努利方程的应用伯努利方程的应用伯努利方程应用伯努利方程应用毕托管毕托管用途：测量流场内某点流速的仪器。用途：测量流场内某点流速的仪器。原型原型: 直角管两端
16、开口，一端面向来流，直角管两端开口，一端面向来流， 另一端向上，管内液面高出水面另一端向上，管内液面高出水面H。A端形成一驻点端形成一驻点(速度为速度为0)，驻点处的压力称为总压力。，驻点处的压力称为总压力。B点在点在A点的上游，与点的上游，与A点位于点位于 同一水平流线，不受侧管影响。同一水平流线，不受侧管影响。BAHH04.4 伯努利方程的应用伯努利方程的应用式中：式中：PA总压，总压，PB静压静压动压，动压，N/m2应用伯努利方应用伯努利方程于程于A、B两点两点4.4 伯努利方程的应用伯努利方程的应用例题例题6 一毕托管安装在一毕托管安装在某烟道内，与毕托管连某烟道内，与毕托管连接的酒精
17、压差计读数为接的酒精压差计读数为h=5mm，酒精的相对密，酒精的相对密度为度为 d=0.8，若烟气温，若烟气温度度400 时其重度为时其重度为g=5.13N/m3，求测点处，求测点处烟气的流速。烟气的流速。4.4 伯努利方程的应用伯努利方程的应用例题例题7 如图所示为一如图所示为一虹吸管，水从一个大虹吸管，水从一个大容器经虹吸管流入大容器经虹吸管流入大气中，若出口截面上气中，若出口截面上流速均匀分布，试求流速均匀分布，试求出口处的流速及出口处的流速及A点处流体的压强。设点处流体的压强。设液面高度保持不变。液面高度保持不变。解题思路：两个未知数，两个方程，伯努利解题思路：两个未知数，两个方程，伯
18、努利和质量守恒。和质量守恒。4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程理想流体运动的微分方程理想流体运动的微分方程欧拉方程欧拉方程 实际的流体有粘性实际的流体有粘性粘性运动微分方程粘性运动微分方程 增加了增加了一个粘一个粘性项性项 TX、TY、TZ是作用在流体上的粘性力在是作用在流体上的粘性力在 x、y、z轴上的轴上的投影；投影； 在下面来求三个坐标轴上粘性力的投影。在下面来求三个坐标轴上粘性力的投影。4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程由由牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律(或或牛顿粘性定律牛顿粘性定律)，考虑流体流动，考虑流体流动时流体的内摩擦力时流体的内摩擦力(又称又称粘性力粘性力) 可得：
19、 T=A，其中：其中：A为接触的面积为接触的面积 m2； ：内摩擦力或：内摩擦力或粘性力粘性力 N/m2。ABCyx由速度梯度产由速度梯度产生，作用在流体生，作用在流体接触面上接触面上沿沿x轴方向的粘性力是由在三个方向上的速度梯度产轴方向的粘性力是由在三个方向上的速度梯度产生。分析生。分析x轴方向上，由于法应力作用和切应力作用轴方向上，由于法应力作用和切应力作用引起的粘性当量的输出和输入。引起的粘性当量的输出和输入。对对x轴，法应力为轴，法应力为xx，切应力分别为切应力分别为yx 和和zx4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程 由于切应力作用引起的净黏性动量速率为：由于切应力作用引起的净黏性
20、动量速率为： 图给出作用在微分控制体上的图给出作用在微分控制体上的各种力。各种力。 现考察现考察x方向的分量，由于法方向的分量，由于法应力作用和切应力作用引起的应力作用和切应力作用引起的黏性动量的输入和输出。黏性动量的输入和输出。 由于法应力作用引起的净黏性由于法应力作用引起的净黏性动量速率为：动量速率为： 4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程 x轴方向上总的净黏性动量速率为它们之和，即轴方向上总的净黏性动量速率为它们之和，即 如果把牛顿内摩擦定律推广应用于三维流动，在直角坐如果把牛顿内摩擦定律推广应用于三维流动，在直角坐标系中建立法应力和切应力与速度梯度的关系，则有：标系中建立法应力和切
21、应力与速度梯度的关系，则有：同理可得，在同理可得，在x轴上的切应力分别在轴上的切应力分别在BE两个面和两个面和CH及及DE和和CF两个面上产生的粘性两个面上产生的粘性应力应力之和及粘性力为：之和及粘性力为：4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程 在稳态条件下在稳态条件下(或称稳定流，定常流或称稳定流，定常流)， 如果如果=常数常数，将上式展开则有：，将上式展开则有：4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程可得考虑实际流体中在可得考虑实际流体中在x轴上的粘性项轴上的粘性项同理可得同理可得单位质量单位质量y轴和轴和z轴方向的粘性力：轴方向的粘性力： 将三个方向上的粘性项带入到考虑粘性的方程中可以
22、将三个方向上的粘性项带入到考虑粘性的方程中可以得到不可压缩实际流体的运动微分方程，得到不可压缩实际流体的运动微分方程，亦称纳维亦称纳维斯斯托克斯方程，简称托克斯方程，简称N-S方程。方程。4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程考虑考虑 / / ，给出，给出方程的矢量形式的方程。方程的矢量形式的方程。质量质量力项力项压力压力项项粘性粘性力项力项合力项合力项拉普拉斯算子拉普拉斯算子4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程柱坐标系柱坐标系(r，z)中的质点导数和拉普拉斯算子分别为：中的质点导数和拉普拉斯算子分别为：不可压缩流体纳维不可压缩流体纳维-斯托克斯方程在柱坐标系斯托克斯方程在柱坐标系(r，
23、z)中的相应表达式如下：中的相应表达式如下：4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程考虑考虑v / / ，给出，给出方程的矢量形式的方程。方程的矢量形式的方程。例题例题8 在圆管中不可压缩流体作稳定的层流流在圆管中不可压缩流体作稳定的层流流动，求其速度分布。动，求其速度分布。 解：如选取圆柱坐标系，假设流动是沿解：如选取圆柱坐标系，假设流动是沿z轴方向进行，轴方向进行，且为充分发展的层流流动。根据已知条件可知，流动且为充分发展的层流流动。根据已知条件可知，流动是轴对称，是轴对称，方向可不考虑，仅方向可不考虑，仅z方向有流动。方向有流动。由连续由连续性方程、稳定流动，忽略质量力，则有：性方程、稳
24、定流动，忽略质量力，则有：=常数常数4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程式中式中r为管截面上速度为为管截面上速度为z处到管中心的距离处到管中心的距离R为圆管半为圆管半径。显然其速度分布也呈抛物线形。下面很容易推导出径。显然其速度分布也呈抛物线形。下面很容易推导出z与与zmax的关系为：的关系为：进行第一次积分，并将边界条件进行第一次积分，并将边界条件r=0处，代入，算得积处，代入，算得积分常数分常数C1；再进行第二次积分，并将；再进行第二次积分，并将r=R处，处，z=0代入，代入，算得出算得出C2。最后得到：。最后得到： 平均流速平均流速z平均平均与最大速度与最大速度zmax的关系为：的关
25、系为：4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程例题例题9 不可压缩流体在两无限大的平行平板之间不可压缩流体在两无限大的平行平板之间作稳定层流流动，求其速度分布关系式。作稳定层流流动，求其速度分布关系式。 解：解：假设两平板的间距为假设两平板的间距为2y。x轴取在两平板中间位置，轴取在两平板中间位置，流动沿流动沿x轴正向进行，而远离进出口的地方已为充分发轴正向进行，而远离进出口的地方已为充分发展的层流流动。展的层流流动。 仅仅x轴方向有流动，考虑定常流动，因此简化公式为：轴方向有流动，考虑定常流动，因此简化公式为：由于由于 式中左侧仅为式中左侧仅为x的函数，右侧仅为的函数，右侧仅为y的的函数，故
26、欲使方程成立只有令：函数，故欲使方程成立只有令：4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程进行第一次积分，则有进行第一次积分，则有根据边界条件，当根据边界条件，当y=0， ，所以，所以C1=0。再进行第二。再进行第二次积分，则有，次积分，则有，当当y=y0(即上下平板处即上下平板处)，x=0，所以，所以呈抛物线形呈抛物线形=常数常数4.5 实际流体运动方程实际流体运动方程当当y=0处，处， x= x max，即，即:所以有：所以有： x方向上的平均流速方向上的平均流速m相当于求上述抛物线的平均值：相当于求上述抛物线的平均值： 因此，平均流速与最大速度的关系为：因此，平均流速与最大速度的关系为：
27、再考察最大速度再考察最大速度 x max与与 x之间的关系。之间的关系。4.6 小结小结本章研究了质量守恒和动量守恒在流体流动情况下的本章研究了质量守恒和动量守恒在流体流动情况下的微分方程。通过分析穿过微元体的质量、动量和应力微分方程。通过分析穿过微元体的质量、动量和应力的变化，建立了连续性方程、欧拉方程和纳维的变化，建立了连续性方程、欧拉方程和纳维-斯托克斯托克斯方程。求解微分形式的基本方程，可以得到流动参斯方程。求解微分形式的基本方程，可以得到流动参数在流场中的分布。数在流场中的分布。通过微元控制体建立微分方程的方法，在后面章节中通过微元控制体建立微分方程的方法，在后面章节中有较为普遍的应用。通过本章的学习，要熟悉掌握其有较为普遍的应用。通过本章的学习，要熟悉掌握其思路和方法。思路和方法。建立了定常流运动的伯努利方程，阐述了伯努利方程建立了定常流运动的伯努利方程，阐述了伯努利方程的物理意义和几何意义，并以实例说明了伯努利方程的物理意义和几何意义，并以实例说明了伯努利方程的应用。的应用。
