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1、第第4 4课时课时复数复数知识网络要点梳理知识网络要点梳理答案:纯虚数复数相等加法共轭复数除法 知识网络要点梳理1.复数的概念,包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、复数相等、共轭复数等,成为近年来高考对复数考查的重要对象,准确理解概念的内涵是解决此类问题的关键.解决复数概念问题的方法是按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a,bR)的形式,明确复数的实部与虚部,由实部与虚部满足的条件,列出方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的.2.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除,加减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分
2、母有理化,要注意i2=-1.在进行复数的运算时,要灵活利用i,的性质,或适当变形创造条件,从而转化为关于i,的计算问题,并注意以下结论的灵活应用:知识网络要点梳理3.复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法,即通过几何图形来研究代数问题.特别注意|z|,|z-a|的几何意义距离.知识网络要点梳理思考辨析判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)复数的模可以比较大小. ()(2)z1z2=0,则z1=0或z2=0. ()(3)|z1z2|=|z1|z2|. ()
3、专题归纳高考体验专题一复数的概念【例1】复数z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时,(1)zR;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?解:(1)一个复数是实数的充要条件是虚部为0, 由得x=4,经验证满足式.当x=4时,zR.专题归纳高考体验(2)一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0, (3)一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0,复数z不可能是纯虚数.专题归纳高考体验反思感悟判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数的值使代数式有意义,本题中如果忽略了 就会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍也是非常关键的.专题归纳高考体验
4、专题归纳高考体验专题二复数的四则运算A.1-i B.-2iC.1+iD.-2 答案:A 专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题三复数的几何意义【例3】已知复数z1=i(1-i)3,(1)求|z1|;(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.解:(1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i), (2)(方法一)|z|=1,设z=cos +isin ,|z-z1|=|cos +isin -2+2i|专题归纳高考体验(方法二)|z|=1可看成半径为1,圆心为(0,0)的圆,而z1对应坐标系中的点(2,-2),|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点距离最大.反思感悟在复
5、数集中,|z|表示复数z在复平面内对应的点到坐标原点的距离;若|z|=r,则表示以原点为圆心,r为半径的圆.专题归纳高考体验变式训练变式训练3设复数z=(x-1)+yi(x,yR),若|z|1,则yx的概率为()答案:D 专题归纳高考体验专题四复数问题实数化思想【例4】设存在复数z同时满足下列两个条件:(1)复数z在复平面内的对应点位于第二象限;解:设z=x+yi(x,yR),由(1)得x0.由(2)得x2+y2+2i(x+yi)=8+ai,即x2+y2-2y+2xi=8+ai,由复数相等的充要条件,得专题归纳高考体验反思感悟复数的代数形式z=x+yi(x,yR),从实部虚部来理解一个复数,把
6、复数z满足的条件转化为实数x,y应该满足的条件,从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题.专题归纳高考体验变式训练变式训练4已知复数z1=-2+i,z1z2=-5+5i(其中i为虚数单位),(1)求复数z2;(2)若复数z3=(3-z2)(m2-2m-3)+(m-1)i所对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.解:(1)设z2=a+bi(a,bR),则z1z2=(-2+i)(a+bi)=(-2a-b)+(a-2b)i,(2)z3=(3-z2)(m2-2m-3)+(m-1)i=i(m2-2m-3)+(m-1)i=-(m-1)+(m2-2m-3)i,实数m的取值范围是-1m1.专
7、题归纳高考体验考点一:复数的概念1.(2016全国乙高考)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.3解析:由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.答案:A专题归纳高考体验2.(2015课标全国高考)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2解析:(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i, 答案:B 专题归纳高考体验3.(2015天津高考)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数
8、a的值为.解析:(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.(1-2i)(a+i)是纯虚数,a+2=0,且1-2a0,a=-2.答案:-2专题归纳高考体验考点二:复数的模4.(2017全国高考)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|= ()答案:C 专题归纳高考体验5.(2016全国乙高考)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()解析:(定义、性质)因为(1+i)x=1+yi,x,yR,所以x=1,y=x=1.所以|x+yi|=|1+i|=.故选B.答案:B专题归纳高考体验6.(2017江苏高考)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.专
9、题归纳高考体验专题归纳高考体验8.(2015湖北高考)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.iB.-iC.1D.-1解析:i607=i1514+3=i3=-i,i607的共轭复数为i.答案:A专题归纳高考体验A.1-iB.1+i C.-1-iD.-1+I 答案:A 专题归纳高考体验10.(2015上海高考)若复数z满足3z+=1+i,其中i为虚数单位,则z=.专题归纳高考体验考点四:复数的几何意义11.(2017北京高考)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)解析:设z=(1-i)(a+i
10、)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点答案:B 专题归纳高考体验12.(2016全国甲高考)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+)D.(-,-3)解析:要使复数z在复平面内对应的点在第四象限,应满足 答案:A 专题归纳高考体验考点五:复数的运算A.1+2i B.1-2i C.2+iD.2-I 答案:D 专题归纳高考体验答案:A 专题归纳高考体验A.1B.-1C.iD.-I 答案:C 专题归纳高考体验16.(2016山东高考)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2i B.1-2i C.-1+2iD.-1-2i解析:设z=a+bi(a,bR),则2z+=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.答案:B专题归纳高考体验17.(2016天津高考)已知a,bR,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则 的值为.解析:(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a, 答案:2 专题归纳高考体验18.(2016北京高考)设aR,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.解析:(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)iR,a+1=0,即a=-1.答案:-1
