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1、第二章谓词逻辑2-3谓词公式与翻译授课人：李朔Email:1一、谓词公式简单命题函数与逻辑联结词可以组合成一些命题表达式与命题公式概念类似，不是所有谓词表达式都可以成为谓词公式并进行谓词演算，下面介绍谓词的合式公式的概念。谓词演算原子公式：把A(x1,x2,xn)称作谓词演算谓词演算的原子公式（原子谓词公式）的原子公式（原子谓词公式），其中x1,x2,xn是客体变元。因此命题、命题变元、谓词填式和命命题、命题变元、谓词填式和命题函数题函数都是原子谓词公式。如:Q（可以是命题或命题变元），A(a),A(x,y,z),A(a,y)。2一、谓词公式定定义义2.2.1按下列规则构成的表达式称为谓谓词词
2、演演算算的合式公式的合式公式，简称谓词公式谓词公式。 原子谓词公式是合式公式。 若A是合式公式，则A是合式公式。 若A和B是合式公式，则(AB)，(AB)，(AB)和(AB)是合式公式。 如果A是合式公式，x是A中出现的任意个体变元，则(x)A，(x)A是合式公式。 只有有限次地应用、所得的公式是合式公式。3二、命题翻译谓词公式也有以下约定：最外层的括号可以省略。如果按、在运算中的优先级别，省略括号后不改变原来的运算次序，可以省略括号，但量词后面括号不能省略但量词后面括号不能省略。下面举例说明如何用谓词公式表达自然语言中的命题。例题例题1并非每个实数都是有理数。解：设R(x)：x是实数Q(x)
3、：x是有理数该命题符号化为：(x)(R(x)Q(x) 4二、命题翻译例题例题2没有不犯错误的人。解：设M(x)：x是人F(x)：x犯错误此命题可以理解为：存在一些人不犯错误，这句话是不对的。此时，号化为：(x)(M(x)F(x)也可以理解为：任何人都是要犯错误的。此时，符号化为：(x)(M(x)F(x)5二、命题翻译例例题题3 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)解：x(M(x)P(x)(x)(M(x)P(x)例例 并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快。解：设F(x)：x是兔子。G(x)：x是乌龟。H(x,y)：x比y跑得快。该命题符号化为：(x)(y)(F(x)G(y)H(
4、x,y)6二、命题翻译例题4这只大红书柜摆满了那些古书。n解法一：设F(x,y):x摆满了yR(x):x是大红书柜Q(y):y是古书。a:这只b:那些R(a)Q(b)F(a,b)7二、命题翻译n解法二：设A(x):x是书柜B(x):x是大的C(x):x是红的D(y):y是古老的E(y):y是图书F(x,y):x摆满了ya:这只b:那些A(a)B(a)C(a)D(b)E(b)F(a,b)8二、命题翻译由例题4可知，由命题翻译成谓词演算公式，机动性很大，对个体刻划尝试的不同就可翻译成不同的谓词公式。一般的，对日常语言，我们可以有一个大体的准则，根据这些准则可以进行命题的翻译。n名词：专用名词专用名
5、词（如南京、刘翔等）是客体通用名词通用名词（如熊猫、人）一般是谓词9二、命题翻译n代词：人称代词人称代词（如你、我、她/他等）是客体指示代词指示代词（如这个、那个）是客体不定代词不定代词（如任何、每个、有些）是量词n形容词：一般是谓词。n数词：一般是量词。n动词：一般是谓词。n副词：一般与所修饰的动词合并为谓词，不再分解n连接词：一般是命题联结词以上只是一般准则，具体应用时会有例外10三、命题翻译练习练习1：将下列命题符号化，并讨论真值。令M(x):x是人(1)所有的人都长着黑头发。令F(x):x长着黑头发(2)有的人登上过月球。令G(x):x登上过月球(3)没有人登上过木星。令H(x):x登
6、上过木星(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。令F(x):x是在美国留学的学生,G(x):x是亚洲人11三、命题翻译练习(1)令F(x):x长着黑头发。n命题(1)符号化为 x(M(x)F(x)n设a为某个金发姑娘，则M(a)为真，而F(a)为假，所以M(a)F(a)为假，故所表示的命题为假。 (2)令G(x):x登上过月球。n命题(2)的符号化形式为 x(M(x) G(x)n设a是1969年登上月球完成阿波罗计划的一个美国人，则M(a)G(a)为真，所以表示的命题为真。 12三、命题翻译练习(3)令H(x):x登上过木星。n命题(3)符号化形式为 x(M(x) H(x)n到目前为止，对于任何
7、一个人(含已经去世的人)都还没有登上过木星，所以对任何人a，M(a)H(a)均为假，因而x(M(x)H(x)为假，所以表示的命题为真。(4)令F(x):x是在美国留学的学生,G(x):x是亚洲人。n命题(4)符号化形式为 x(F(x)G(x)n这个命题也为真13三、命题翻译练习例例 将下列命题符号化:(1)兔子比乌龟跑得快。(2)有的兔子比所有的乌龟跑得快。(3)并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。(4)不存在跑得同样快的两只兔子。令F(x):x是兔子，G(y):y是乌龟， H(x,y):x比y跑得快，L(x,y):x与y跑得一样快14三、命题翻译练习解:因为本例中出现二元谓词，因而引入两个客体变
8、元x与y.令F(x):x是兔子，G(y):y是乌龟，H(x,y):x比y跑得快，L(x,y):x与y跑得一样快。这4个命题分别符号化为 x x y(F(x)G(y)H(x,y)y(F(x)G(y)H(x,y) x(F(x) x(F(x) y(G(y)H(x,y) y(G(y)H(x,y) x x y(F(x)G(y)H(x,y) y(F(x)G(y)H(x,y) x x y(F(x)F(y)L(x,y)y(F(x)F(y)L(x,y)还可以符号化为 x x y(F(x)G(y)H(x,y)y(F(x)G(y)H(x,y)还可以符号化为 x x y(F(x)F(y)L(x,y)y(F(x)F(y)L(x,y)15本课小结谓词公式命题翻译16课后作业补充:用谓词写出下列各断言(1)长江比黄河长,金陵饭店比北京饭店高.(2)南京位于武汉和上海之间.(3)不是所有男人都比女人高.(4)有而且仅有一个素数是偶数.(5)凡是资本家都会剥削人,但剥削人者未必都是资本家.P62（2）17
