《学高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 第二课时 函数奇偶性的应用（习题课）课件 新人教A版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 第二课时 函数奇偶性的应用（习题课）课件 新人教A版必修1（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二课时函数奇偶性的应用第二课时函数奇偶性的应用( (习题课习题课) )课标要求课标要求:1.:1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.2.能利用函数的奇偶能利用函数的奇偶性与单调性分析性与单调性分析, ,解决较简单的问题解决较简单的问题. .自主学习自主学习新知建构新知建构自我整合自我整合自我检测自我检测1 1.(.(奇偶性判断奇偶性判断) )若函数若函数f(xf(x)= )= 则则f(xf(x) )为为( ( ) )(A)(A)偶函数偶函数(B)(B)奇函数奇函数(C)(C)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数(D)(D)既不是奇函数又不是偶函数既不是
2、奇函数又不是偶函数2 2.(.(奇偶性与单调性奇偶性与单调性) )已知偶函数在已知偶函数在(-,0)(-,0)上单调递增上单调递增, ,则则( ( ) )(A)f(1)f(2)(A)f(1)f(2)(B)f(1)f(2)(B)f(1)0x0时时, ,f(xf(x)=x)=x2 2+ ,+ ,则则f(-1)f(-1)等于等于( ( ) )(A)-2 (A)-2 (B)0 (B)0 (C)1 (C)1 (D)2(D)24 4.(.(最值最值) )如果奇函数如果奇函数f(xf(x) )在区间在区间3,73,7上是增函数且最小值是上是增函数且最小值是5,5,则则f(xf(x) )在在-7,-3-7,-
3、3上是上是( ( ) )(A)(A)增函数增函数, ,最小值为最小值为-5 -5 (B)(B)增函数增函数, ,最大值是最大值是-5-5(C)(C)减函数减函数, ,最小值为最小值为-5 -5 (D)(D)减函数减函数, ,最大值是最大值是-5-5A AB B题型一题型一 利用奇偶性求函数值利用奇偶性求函数值课堂探究课堂探究典例剖析典例剖析举一反三举一反三【例例1 1】 (2017 (2017江西自主招生江西自主招生) )设设f(x)f(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,当当x0x0时时, ,f(x)=2f(x)=2x x+2x+b(b+2x+b(b为常数为常数),),则则f
4、(-1)f(-1)等于等于( () )(A)3 (A)3 (B)1 (B)1 (C)-1 (C)-1 (D)-3 (D)-3解析解析: :因为因为f(x)f(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,所以所以f(0)=2f(0)=20 0+2+20+b=0,0+b=0,解得解得b=-1,b=-1,所以当所以当x0x0时时,f(x)=2,f(x)=2x x+2x-1,+2x-1,又因为又因为f(x)f(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,所以所以f(-1)=-f(1)=-(2f(-1)=-f(1)=-(2+ +2 21-1)=-3.1-1)=-3.故选故选D.D.误区警
5、示误区警示 本题中当本题中当x0x0时时, ,函数解析式含参数函数解析式含参数b,b,因此需利用奇函数在因此需利用奇函数在原点处有定义原点处有定义, ,则则f(0)=0f(0)=0的性质的性质, ,求出求出b b的值的值, ,然后根据奇函数性质求然后根据奇函数性质求f(-1)f(-1)的值的值. .答案答案: :-2-2【备用例【备用例1 1】 已知已知f(x),g(x)f(x),g(x)分别是定义在分别是定义在R R上的偶函数和奇函数上的偶函数和奇函数, ,且且f(x)-f(x)-g(x)=xg(x)=x3 3+x+x2 2+1,+1,则则f(1)+g(1)=f(1)+g(1)=.解析解析:
6、 :因为因为f(x)-g(x)=xf(x)-g(x)=x3 3+x+x2 2+1,+1,所以所以f(-1)-g(-1)=-1+1+1=1,f(-1)-g(-1)=-1+1+1=1,又因为又因为f(x),g(x)f(x),g(x)分别是定义在分别是定义在R R上的偶函数和奇函数上的偶函数和奇函数, ,所以所以f(1)=f(-1),g(1)=-g(-1),f(1)=f(-1),g(1)=-g(-1),所以所以f(-1)-g(-1)=f(1)+g(1),f(-1)-g(-1)=f(1)+g(1),所以所以f(1)+g(1)=1.f(1)+g(1)=1.答案答案: :1 1题型二题型二 利用奇偶性求函
7、数利用奇偶性求函数f(x)f(x)的解析式的解析式【例例2 2】 (1) (1)已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,当当x0x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-2x-3,-2x-3,求求f(x)f(x)的解析式的解析式. .(2)(2)已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数, ,当当x0x0时时,f(x)=x,f(x)=x3 3+x+1,+x+1,求求f(x)f(x)的解析的解析式式. .方法技巧方法技巧 利用函数奇偶性求解析式时的注意事项利用函数奇偶性求解析式时的注意事项: :(1)(1)求哪个区间上的解析式求哪个区间上
8、的解析式, ,就在哪个区间上取就在哪个区间上取x.x.(2)(2)然后要利用已知区间的解析式写出然后要利用已知区间的解析式写出f(-x).f(-x).(3)(3)利用利用f(x)f(x)的奇偶性把的奇偶性把f(-x)f(-x)写成写成-f(x)-f(x)或或f(x),f(x),从而解出从而解出f(x).f(x).(4)(4)要注意要注意R R上的奇函数定有上的奇函数定有f(0)=0.f(0)=0.若若是是求求整整个个定定义义域域内内的的解解析析式式, ,各各区区间间内内解解析析式式不不一一样样时时其其结结果果一一般般为为分分段段函数的形式函数的形式, ,此点易忽略此点易忽略. .即时训练即时训
9、练2-1:2-1:f(x)f(x)是定义在是定义在(-,+)(-,+)上的偶函数上的偶函数, ,且且x0x0时时,f(x)=x,f(x)=x3 3+x+x2 2, ,则当则当x0x0时时,f(x)=,f(x)=.解析解析: :当当x0x0,f(-x)=(-x),-x0,f(-x)=(-x)3 3+(-x)+(-x)2 2=-x=-x3 3+x+x2 2. .因为因为f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),所以所以f(x)=-xf(x)=-x3 3+x+x2 2. .答案答案: :-x-x3 3+x+x2 2题型三题型三 函数的奇偶性与单调性的综合函数的奇偶性与单调性的综合(1)(1)求函数
10、求函数f(x)f(x)的解析式的解析式; ;(2)(2)解不等式解不等式f(t-1)+f(2t)0.f(t-1)+f(2t)0.变式探究变式探究1:1:若本例将定义域若本例将定义域(-1,1)(-1,1)改为改为R R, ,其他条件不变其他条件不变, ,则不等式则不等式f(t-1)+f(t-1)+f(2t)0f(2t)f(x)f(x2 2) )或或f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )的形式的形式, ,再利用单调性脱掉再利用单调性脱掉“f f ”求解求解. .(2)(2)在在对对称称区区间间上上根根据据奇奇函函数数的的单单调调性性一一致致, ,偶偶函函数数的的单单调调性性相相反反, ,
11、列列出出不不等等式或不等式组式或不等式组, ,求解即可求解即可, ,同时要注意函数自身定义域对参数的影响同时要注意函数自身定义域对参数的影响. .即时训练即时训练3-13-1: :已知已知y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在(-,+)(-,+)上的奇函数上的奇函数, ,且在且在0,+)0,+)上上为增函数为增函数, ,(1)(1)求证求证: :函数在函数在(-,0(-,0上也是增函数上也是增函数; ;(1)(1)证明证明: :设设x x1 1,x,x2 2是是(-,0(-,0上任意两个不相等的实数上任意两个不相等的实数, ,且且x x1 1x-x-x2 2,x=x,x=x2 2-x-x1
12、10,y=f(x0,y=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1).).因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,且在且在0,+)0,+)上是增函数上是增函数,-x,-x1 1-x-x2 2, ,所以所以f(-xf(-x1 1)f(-x)f(-x2 2).).又因为又因为f(x)f(x)为奇函数为奇函数, ,所以所以f(-xf(-x1 1)=-f(x)=-f(x1 1),f(-x),f(-x2 2)=-f(x)=-f(x2 2).).所以所以-f(x-f(x1 1)-f(x)-f(x2 2),),即即f(xf(x1 1)f(x)0.)0.所以函数所以函数f(x)f(x)在在(-,0(-,0上
13、也是增函数上也是增函数. .题型四题型四 抽象函数的奇偶性抽象函数的奇偶性【例例4 4】 已知函数已知函数f(x)f(x)是定义在是定义在-1,1-1,1上的奇函数上的奇函数, ,且且f(1)=1,f(1)=1,若若x,y-1,x,y-1,1,x+y01,x+y0有有(x+y)f(x)+f(y)0.(x+y)f(x)+f(y)0.(1)(1)判断判断f(x)f(x)的单调性的单调性, ,并加以证明并加以证明; ;解解: :(1)(1)函数函数f(x)f(x)在在-1,1-1,1上单调递增上单调递增, ,证明如下证明如下: :由题意由题意, ,设设x x1 1,x,x2 2-1,1,-1,1,且
14、且x x1 1xx2 2, ,则则x x1 1-x-x2 20,0.f(x)+f(y)0.令令x=xx=x1 1,y=-x,y=-x2 2, ,所以所以f(xf(x1 1)+f(-x)+f(-x2 2)0.)0.因为函数因为函数f(x)f(x)是定义在是定义在-1,1-1,1上的奇函数上的奇函数, ,所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,所以函数所以函数f(x)f(x)在在-1,1-1,1上单调递增上单调递增. .(2)(2)解不等式解不等式f f（x+ x+ ）f(1-2x);f(1-2x);(3)(3)若若f(x)mf(x)m2 2-2am+1-2am+1对所有对
15、所有x-1,1,a-1,1x-1,1,a-1,1恒成立恒成立. .求实数求实数m m的取值范围的取值范围. .即时训练即时训练4-1:4-1:已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上不恒为零的函数上不恒为零的函数, ,且对于任意的且对于任意的a,ba,bR R都满足都满足f(ab)=af(b)+bf(a).f(ab)=af(b)+bf(a).(1)(1)求求f(0),f(1)f(0),f(1)的值的值; ;(2)(2)判断判断f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性, ,并证明你的结论并证明你的结论. .解解: :(1)(1)令令a=b=0,a=b=0,则则f(0f(00)=00)=0f(0)
16、+0f(0)+0f(0)=0,f(0)=0,所以所以f(0)=0.f(0)=0.令令a=b=1,a=b=1,则则f(1f(11)=f(1)+f(1),1)=f(1)+f(1),得得f(1)=0.f(1)=0.(2)f(x)(2)f(x)是奇函数是奇函数, ,证明如下证明如下: :令令a=b=-1,a=b=-1,则则f(1)=-f(-1)-f(-1)=0,f(1)=-f(-1)-f(-1)=0,所以所以f(-1)=0.f(-1)=0.令令a=-1,b=x,a=-1,b=x,则则f(-x)=f(-1)f(-x)=f(-1)x=-f(x)+xf(-1)=-f(x).x=-f(x)+xf(-1)=-f(x).故故f(x)f(x)为奇函数为奇函数. .
