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1、 第七章第七章 第三节第三节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 向量的乘法运算向量的乘法运算二、两向量的向量积二、两向量的向量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、向量的混合积二、向量的混合积启示启示 两向量作这样的运算两向量作这样的运算, , 结果是一个数量结果是一个数量. .一、两向量的数量积一、两向量的数量积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明：说明：结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这个向量的投模和另一个向量在这个
2、向量的投影的影的 乘积乘积. .由数量积的定义由数量积的定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 数量积在几何上的一个解释：数量积在几何上的一个解释：数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1）交换律：）交换律：（3）分配律：）分配律：（2）结合律：）结合律：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 分配律的证明：分配律的证明：设设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为机动机动
3、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （A）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （B）（C）解解:证明：证明：如图如图机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、两向量的向量积二、两向量的向量积向量积也称为向量积也称为“叉乘积叉乘积” 或或“外积外积”。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明：说明：向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）反交换律：反交换律：（3）分配律：分配律：（2）结合律：结合律：引理引理ca将矢量将矢量a一投一转（转
4、一投一转（转900），），证明证明 引入引入 证毕证毕(a+b) c=(a c)+(b c)c03. 3. 证明向量积的分配律证明向量积的分配律: : 两向方向两向方向:一致一致；a2|a2|= |a1|a2得得a2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (a+b) c=(a c)+(b c)cbaa+b(a+b) ca c由向量和的平行四边形法则，由向量和的平行四边形法则，得证得证c03.3. 证明向量积的分配律证明向量积的分配律: : .b c将平行四边形一投一转将平行四边形一投一转(a+b) c=(a c)+(b c)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回
5、结束结束 设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表示向量积的坐标表示机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 向量积的行列式表示向量积的行列式表示机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为方便记忆，将上式形式的记为为方便记忆，将上式形式的记为解解1：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2：三角形三角形ABC的面积为的面积为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积三、向量的混合积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则
6、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明：证明：bc a baS=|a b| h4.4. 混合混合积的几何意的几何意义h ac a bb.4.4. 混合混合积的几何意义积的几何意义h ac a bb.其混合积其混合积 (a,b,c) = 0三向量三向量 a, b, c共面共面因此，因此，4.4. 混合混合积的几何意义积的几何意义关于混合积几何意义的说明：关于混合积几何意义的说明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 轮换对称性轮换对称性 即即说明：说明：解：解：例例4 4：机动机动 目
7、录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明：证明： 充分性：充分性：则则结论成立结论成立必要性：必要性：结论成立结论成立则则结论成立结论成立如右图：如右图：结论成立结论成立四、内容小结四、内容小结设设1. 1. 向量运算向量运算加减加减: :数乘数乘: :点积点积: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 叉积叉积: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 混合积：混合积：2. 2. 向量关系向量关系: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题习题6-3(P1
8、8) 7 , 9 , 13, 15, 16第三节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业备用题备用题1. 设设计算计算并求并求夹角夹角 的正弦与余弦的正弦与余弦 . .答案答案: :2. 用向量方法证明正弦定理用向量方法证明正弦定理: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证: : 由三角形面积公式由三角形面积公式所以所以而而机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明：证明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证：证：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
