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1、第十二章推理与证明、算法、复数12.2直接证明与间接证明内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习1.直接证明(1)综合法定义：从 出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.思维过程：由因导果.已知条件知识梳理1 1答案(2)分析法定义：从 出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.思维过程：执果索因.问题的结论答案2.间接证明(1)反证法：假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出
2、 ，因此说明假设错误，从而证明 的证明方法.(2)反证法的步骤：反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.不成立矛盾原命题成立答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过
3、程.()思考辨析答案1.已知点An(n，an)为函数y 图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_.则cn随n的增大而减小，1cn考点自测2 2解析答案123452.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0 (a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是_.假设a，b，c都是偶数；假设a，b，c都不是偶数；假设a，b，c至多有一个偶数；假设a，b，c至多有两个偶数.解析解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故正确.解析答案123453.要证a2b21a2b20只要证明_(填正确的序号
4、).2ab1a2b20；(a21)(b21)0.解析解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.解析答案12345a0，b0且ab解析答案123455.(教材改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_三角形.解析解析由题意2BAC，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，ABC为等边三角形.等边12345解析答案返回题型分类深度剖析题型一综合法的应用解析答案解析答案思维升华设a、b、c均为正数，且abc1，证明：证明证明由a2b22ab，b2c22bc，c
5、2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设知(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.跟踪训练1解析答案解析答案题型二分析法的应用解析答案引申探究解析答案思维升华解析答案跟踪训练2命题点命题点1证明否定性命题证明否定性命题例例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；解解当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，题型三反证法的应用解析答案(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.证明证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，所以22rq2rp1.(*)又因为pqr，且p，q，rN*，所以rq，rpN
6、*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.所以假设不成立，原命题得证.解析答案命题点命题点2证明存在性问题证明存在性问题例例4若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a0 a2b22(ab1)解析解析在中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)恒成立.解析答案2.已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2，所以不正确；对于，其假设正确.d123456789101112131415解析答案ab0 ac0(ab)(ac)0 (ab)(ac)0(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a
7、2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.123456789101112131415解析答案P2Q2，PQ.P1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_.123456789101112131415解析答案6.用反证法证明命题“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_.解析解析“至少有n个”的否定是“最多有n1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除.a，b中没有一个能被5整除123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案8.若二次函数f(x)
8、4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_.123456789101112131415解析答案9.已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明证明要证明2a3b32ab2a2b成立，只需证：2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.123456789101112131415解析答案12345678910111213141510.设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.(1)求
9、证：数列Sn不是等比数列；因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列.解析答案123456789101112131415(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？解解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾.综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，数列Sn不是等差数列.解析答案ABC123456789101112131415解析答案12.如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则下列说法正确的是_.A1B1C
10、1和A2B2C2都是锐角三角形；A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形；A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形；A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形.123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案14.已知二次函数f(x)ax2bxc (a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.证明证明f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，123456789101112131415解析答案由0x0，123456789101112131415
11、解析答案(3)证明：2b0，c0，b0，b2，2b1.123456789101112131415解析答案123456789101112131415(1)求证：SA平面ABCD；证明证明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.解析答案123456789101112131415(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由.解解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，假设不成立.不存在这样的点F，使得BF平面SAD.解析答案返回
