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1、 神奇的神奇的数学数学上流传着这样一个故事：有人上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？粘？跟我学魔术：跟我学魔术：2、将纸带一头不变，另、将纸带一头不变，另一头拧一头拧180度，两头粘度，两头粘贴贴。1、将纸带两头粘贴、将纸带两头粘贴。猜猜看：猜猜看：“怪圈怪圈”有几条边几个面？有几条边
2、几个面？2 2条边条边2 2个面个面1 1条边条边1 1个面个面麦比乌斯带麦比乌斯带(Mobiusstrip) 麦比乌斯圈、怪圈麦比乌斯圈、怪圈 给纸带起个名字吧！给纸带起个名字吧！德国数学家麦比乌斯德国数学家麦比乌斯 神奇的神奇的 麦比乌斯带的发现对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学家麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。 有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。 一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色
3、的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。 麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。 圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。” 麦比乌斯圈就这样被发现了。 实践：实践：体会怪圈的神秘体会怪圈的神秘从从1 12 2处处剪开！剪开！两
4、张叠在一起的长方形纸带制成的麦比乌斯带两张叠在一起的长方形纸带制成的麦比乌斯带（1）将两张叠在一起的长方形纸带同时扭转半）将两张叠在一起的长方形纸带同时扭转半圈，把相应的端头粘合在一起；圈，把相应的端头粘合在一起；（2）把食指放在两层带之间移动；）把食指放在两层带之间移动；（3）把双层带拉开成单层带，比较双、单层带）把双层带拉开成单层带，比较双、单层带的长度与扭转半圈数；的长度与扭转半圈数；（4）将单层带恢复为双层带，同时沿它的中间）将单层带恢复为双层带，同时沿它的中间线剪开。线剪开。再次见证奇迹课题延伸课题延伸 1、麦比乌斯带的意义麦比乌斯带的意义麦比乌斯带乍看起来似乎不过是新奇的玩麦比乌斯
5、带乍看起来似乎不过是新奇的玩具而已，但它的涵义却是很深刻的麦比具而已，但它的涵义却是很深刻的麦比乌斯乌斯1858年就发现了它，可有关论文在巴年就发现了它，可有关论文在巴黎研究院的卷宗里埋藏了黎研究院的卷宗里埋藏了7年之久年之久1865年发表出来后以它奇妙的单侧性吸引无数学年发表出来后以它奇妙的单侧性吸引无数学者步人了拓扑的殿堂，对至今才仅有一百者步人了拓扑的殿堂，对至今才仅有一百多年历史的扮扑学科的诞生和发展起了不多年历史的扮扑学科的诞生和发展起了不可估量的作用可估量的作用2、麦比乌斯带的应、麦比乌斯带的应用与价值用与价值机械传动中使用的平面皮机械传动中使用的平面皮带若以麦比乌斯带的方式带若以
6、麦比乌斯带的方式制作，损耗就较平均，从制作，损耗就较平均，从而可延长使用寿命而可延长使用寿命1979年，美国著名轮胎公司年，美国著名轮胎公司百百路驰路驰创造性地把传送带制成麦创造性地把传送带制成麦比乌斯圈形状，这样一来，整比乌斯圈形状，这样一来，整条传送带条传送带环面环面各处均匀地承受各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。了整整一倍。美国科罗拉多大学化学系的沃尔巴等三美国科罗拉多大学化学系的沃尔巴等三位教授在实验室第一次合成了形状和麦比乌位教授在实验室第一次合成了形状和麦比乌斯带一样的麦比乌斯分子制作这
7、种分子的斯带一样的麦比乌斯分子制作这种分子的方法同制作麦比乌斯带的方法极其相似：先方法同制作麦比乌斯带的方法极其相似：先制造出四经基甲撑二醇制造出四经基甲撑二醇P磺酸联甲苯三元化合磺酸联甲苯三元化合物（简称迪米二醇联甲苯合物），然后将该物（简称迪米二醇联甲苯合物），然后将该化合物分子两端按麦比乌斯带的方式化合物分子两端按麦比乌斯带的方式“连接连接”起来，就形成了具有拓扑结构的迪米起来，就形成了具有拓扑结构的迪米麦麦比乌斯分子若将这种分子的双键剖开，可比乌斯分子若将这种分子的双键剖开，可得到环径加一倍而分子量不变的大环三位得到环径加一倍而分子量不变的大环三位科学家还打算合成拓扑结构更为惊人的有机
8、科学家还打算合成拓扑结构更为惊人的有机分子，以便探索出一套研究有机化学的新方分子，以便探索出一套研究有机化学的新方法法针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色带也常被设计成麦比乌斯圈。表面，色带也常被设计成麦比乌斯圈。在美国在美国匹兹堡匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版加强版”的云霄飞车的云霄飞车它的轨道是一个麦比乌斯圈。乘客在轨道的它的轨道是一个麦比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。两面上飞驰。垃圾回收标志Power Architecture
9、标志麦比乌斯圈循环往复的麦比乌斯圈循环往复的几何几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。此常被用于各类标志设计。微处理器微处理器厂商厂商PowerArchitecture的商的商标就是一条麦比乌斯圈，甚至垃圾回收标志标就是一条麦比乌斯圈，甚至垃圾回收标志和麦比乌斯带相似的三维封闭形和麦比乌斯带相似的三维封闭形克莱因瓶：克莱因瓶： 克莱因瓶是德国数学家克莱因克莱因瓶是德国数学家克莱因1882年发现的，年发现的，它是麦比乌斯带的三维情况。从拓扑学的观点看，它它是麦比乌斯带的三维情况。从拓扑学的观点看，它实际上是两条麦比乌斯带沿边缘粘合而成的，说得
10、直实际上是两条麦比乌斯带沿边缘粘合而成的，说得直观些，它就是将圆柱面两端的观些，它就是将圆柱面两端的圆周扭转圆周扭转180粘合而成的，粘合而成的，这是一个闭曲面，也是单侧的，这是一个闭曲面，也是单侧的，没有里面和外面之分，在拓扑没有里面和外面之分，在拓扑学中，它差不多与麦比乌斯带学中，它差不多与麦比乌斯带齐名齐名在在1882年，著名数学家菲利克斯年，著名数学家菲利克斯克莱因克莱因(FelixKlein)发现了发现了后来以他的名字命名的著名后来以他的名字命名的著名“瓶子瓶子”。这是一个象球面那样封闭。这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）的（也就是说没有边）曲面曲面，但是它却只有一个面。在图
11、片上我，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个就会得到一个轮胎轮胎面面(即即环面环面)。克莱因瓶是一个在四维空克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三把它表现在我们生活
12、的三维空间中我们只好将就点，维空间中我们只好将就点，只好把它表现得似乎和自只好把它表现得似乎和自己相交一样。事实上克莱己相交一样。事实上克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底连起来的，维空间再和瓶底连起来的，并不穿过瓶壁。并不穿过瓶壁。克莱因瓶从上往下的投影即为克莱因瓶从上往下的投影即为太极太极图。图。 太极图抽象地表达了存在于一切事物之中的绝对性质太极图抽象地表达了存在于一切事物之中的绝对性质阴与阳和它们的统一，阴与阳和它们的统一，这就是古老的中国理念这就是古老的中国理念“道道”和和“易易”。“知其白，守其黑，为天下式，知其白，守其黑，为天下式，常德常德不不忒，复归于无极忒，复归于无极。”(老子老子：第二十八章：第二十八章)太极图和老子的这段话的对应性令人惊太极图和老子的这段话的对应性令人惊叹，这不是图形和语言的牵强附会，而是理念的一致。叹，这不是图形和语言的牵强附会，而是理念的一致。虽知道洁白，却安守於昏黑，便能做天下的模式。能做天下的虽知道洁白，却安守於昏黑，便能做天下的模式。能做天下的模式，永恒的德性不相差失，德性回复到不可穷尽的真道模式，永恒的德性不相差失，德性回复到不可穷尽的真道
