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1、第第6讲讲空间向量及其运算空间向量及其运算最最新新考考纲纲1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.知 识 梳 理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有_和_的量相等向量方向_且模_的向量相反向量方向_且模_的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相_或_的向量共面向量平行于_的向量大小方向相同相等相反相等平行重合同一个平面2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0
2、)，ab的充要条件是存在实数，使得_.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在_的有序实数对(x，y)，使p_.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_，其中，a，b，c叫做空间的一个基底.ab唯一xaybxaybzc0，互相垂直(2)空间向量数量积的运算律：结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积ab_共线ab(b0，R)_a1b1a2b2a3
3、b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b30诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)对任意两个空间向量a，b，若ab0，则ab()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(4)若ab0，则a，b是钝角()解析对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若a，b，则ab0，故(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，
4、2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直答案B答案A4.已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，则|b|_.规律方法(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.答案B考点二共线定
5、理、共面定理的应用【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.考点三空间向量数量积的应用【例3】 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.【训练3】 如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值.思想
6、方法1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.4.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.2.求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.3.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角.4.ab0不等价为a，b为锐角，因为a，b可能为0.
