概率论与数理统计习题全解

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1、习题习题 1 11. 1. 写出下列随机试验的样本空间：(1) 一射手射击运动中的气球，连续 3 次都击中，观察其射击次数；(2) 掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和；(3) 观察某加油站一天内前来加油的人数；(4) 从编号 1,2,3,4,5 的 5 件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品；(5) 检查两件产品是否合格；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温（假设最低气温不低于 9C，最高气温不高于 19C） ；(7) 在单位圆内任取两点，观察这两点的距离；(8) 在长为 2 的线段中任取一点，该点将线段分成两段，观察其中一段的长度。解：解：(1) 1,2,3；(2) 2

2、,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ,12；(3) n n为自然数；(4) 1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5；(5) 合格,合格,合格,不合格,不合格,不合格；(6) t1,t2t1 9,t219；(7) d 0 d 2r, r为圆半径；(8) l 0 l 2。2. 2. 在计算机系中学生中任选一名学生， 令事件A表示被选学生是男生， 事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1) 叙述事件ABC的意义；(2) 在什么条件下ABC C成立？(3) 什么时候关系式C B是正确的？解：解：(1)ABC表示不是运动员的三年级男生；(2)

3、当所有三年级男生都是运动员时，ABC C成立；(3)当运动员都是三年级学生时，C B是正确的。3. 3. 将下列事件用A,B,C表示出来：(1)A发生；(2) 只有A发生；(3)A与B都发生而C不发生；(4) 三个事件都发生；(5) 三个事件中至少有一个发生；(6) 三个事件中至少有两个发生；(7) 三个事件中恰好发生一个；(8) 三个事件中恰好发生两个；(9) 三个事件都不发生；(10)三个事件中不多于两个事件发生；(11)三个事件中不多于一个事件发生。解：解：(1)A；(2)ABC；(3)ABC；(4)ABC；(5)A B C；(6)AB BC CA；(7)ABC ABC ABC；(8)A

4、BC ABC ABC；(9)ABC；(10)ABC；(11)ABC ABC ABC ABC。4. 4. 在图书馆中随意抽取一本书，事件A表示“数学书” ，B表示“中文图书” ，C表示“平装书” 。(1) 说明事件ABC的实际意义；(2) 若C B，说明什么情况？(3)A B是否意味着馆中所有数学书都不是中文版的？解：解：(1)ABC表示非平装的中文数学书；(2)若C B，则说明非平装图书都是中文图书；(3)A B A B，即所有数学书都不是中文版的。5. 5. 证明下列等式：(1)AB AAB；(2)AB AB。证：证： (1)A B AB, AAB A AB A AB AA AB AB AB

5、，所以AB AAB。(2)AB AB AB。6. 6. 一部有五卷的长篇小说任意地排列到书架上，问卷号自左向右或自右向左恰好为 12345 顺序的概率等于多少？解：解：将 5 本书排列到书架上共有P5 5!120种排法，卷号自左向右或自右向左恰好为 12345 顺序共有 2 种排法，故所求概率为1 60。7. 7. 在分别写有 2,4,6,7,8,11,12,13 的八张卡片中任取两张，把卡片的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解：解：从八张卡片中任取两张共有C82 28种取法，两个数字组成既约分数共有 18种取法，故所求概率为9 14。8. 8. 一个小孩用 13 个字母A,

6、 A, A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。 如随机地排列字母，问他组成MATHEMATICAN的概率等于多少？解：解： 13个字母随机排列共有13!种排法， 组成MATHEMATICAN共有3!2!2!2! 48种排法，故所求概率为48 13!。9. 9. 一幢 10 层楼中的一架电梯在底层走上 7 位乘客，电梯在每一层都停， 乘客从第二层起离开电梯，设每位乘客在每层离开都是等可能的，求没有 2 位乘客在同一层离开的概率。解：解： 7 位乘客在 210 层的离开情况共有97种， 没有 2 位乘客在同一层离开共有P9777种情况，故所求概率为P99。10.10. 一个班级有2

7、n个男生及2n个女生，把全班学生任意地分成人数相等的两组，求每组中男女人数相等的概率。2n解：解：把全班学生任意地分成人数相等的两组共有C4n种分法，每组中男女人数相等共有C C种分法，故所求概率为Cn2nn2nn22n2nC4n。11.11. 从n双尺码不同的鞋子中任取2r2r n只，求下列事件的概率：(1) 所取2r只鞋子中没有两只成对；(2) 所取2r只鞋子中只有两只成对；(3) 所取2r只鞋子中恰成r对。2r解：解：从n双鞋子中任取2r只共有C2n种取法。(1)所取2r只鞋子应分属n双中的2r双，而每双中又可任取其中一只，即取2r2r2r2r2r法有Cn2C22，故所求概率为Cnn。(

8、2) 所取2r只鞋子中有 2 只属于n双中的某一双，其余2r 2只分属n1双12r22r22r22r22r中的2r 2双， ，即取法有CnCn12，故所求概率为nCnC212n。r(3)将一双鞋子视为一个整体，则2r只鞋子中恰成r对共有Cn种取法，故所r2r求概率为CnC2n。12.12. 设有n根同样长的棒都分成长度为 1 与 2 之比的两根小棒，然后把2n根小棒任意地分成n对，每对又接成一根“新棒” ，求下列事件的概率：(1) 全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的；(2) 全部新棒的长度都与原来的一样。解：解：将2n根小棒接成n根新棒共有2n12n3312n1!种接法。(1)全部新棒都是原

9、来分开的两根小棒相接的情况只有一种，故所求概率为12n1!。(2)全部新棒的长度都与原来的一样共有nn1率为n!2n1!。13.13. 在三角形ABC中任取一点P， 证明：ABP与ABC面积之比大于n1n的概率为1 n2。证明：证明：故所求概21 n!种情况，如图，由SABPn1hn1 hABC1，得ABP,。SABCnhABCnhABCn2显然，当P落在ABC中时才满足上述要求，由几何概率知，上述事件发 hS1生的概率为ABCABC2SABChABCn14.14. 两艘船都要停靠同一泊位，它们都可能在一昼夜内的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为 1 小时与 2 小时，求两艘船都不需要等

10、候泊位空出的概率。解：解：设两艘船的到达时刻为x, y， 则0 x, y 24， 两船相会的条件为0 x y 1，0 y x 2。如图，由几何概率知，所求概率为121223 2222 0.879。22415.15. 两人约好在某地相会，两人随机地在下午 1 点与 2 点之间到达相会地点，求一个至少要等候另一个人十分钟的概率。解：解：设两人的到达时刻分别为x, y，则0 x, y 1，一人至少等候十分钟的条件为x y 1 6。如图，由几何概率知，所求概率为11625。1236216.16. 圆内有一内接正方形，随机地向圆内投 10 点，求其中 4 点落在正方形内，3点落在一个弓形内，其余 3 点

11、分别落在其他 3 个弓形内的概率。解：解：不妨设圆半径为 1，则圆面积为，内接正方形的面积为 2，弓形面积为24，点落在内接正方形内的概率为2 ，点落在一个弓形内的概率为24。 2 2符合题意的点的落法有许多方式， 在一种方式中， 概率显然为 。 410! 2 2而这种方式应有C C P ，故所求概率为 。223! 43!4103644610!4617.17. 在某城市中共发行甲、乙、丙三种报纸。这城市的居民中订甲报的有 45%，订乙报的有 35%，订丙报的有 30%，同时订甲、乙两报的有 10%，同时订乙、丙两报的有 5%，同时订甲、丙两报的有 8%，同时订三种报的有 3%，求下列百分比：(

12、1) 只订甲报的；(2) 只订甲、乙两报的；(3) 只订一种报纸的；(4) 正好订两种报纸的；(5) 至少订一种报纸的；(6) 不订任何报纸的。解：解： 设A,B,C居民订甲、 乙、 丙三种报纸， 则PA0.45,PB0.35,PC0.3，PAB 0.1,PBC 0.05,PAC 0.08,PABC 0.03。(1)因为P ABC P ABC PA，故所求P ABC PAPAB AC PAPABPACPABC 0.450.10.080.0330%。(2)因为P ABC PABC PAB，故所求P ABC PAB PABC 0.10.03 7%。(3)类似(1)计算可得，P ABC 0.23,P

13、 ABC 0.2，故所求P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC 0.30.230.2 0.73。(4) 类似(2)计算可得，P ABC 0.02,P ABC 0.05，从而所求P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC 0.02 0.05 0.07 14%。(5) 所 求PABC PA PB PCPABPBCPCAPABC0.450.350.30.10.080.050.0390%。(6)所求PABC1 PA BC10.9 10%。18.18. 某年级有 100 个学生进行测验， 数学成绩得优的有 70 人， 语文成绩得优的有75 人，英语成绩得优的有

14、 80 人，政治成绩得优的有 85 人，证明：4 门课程全部得优的学生至少有 10 人。证明：证明：由PA1 A2 A3 A41k14k1PA1PAkPAk，得PA1A2A3A4 2.11k23k1PA1 2.1 P A1A2A3 A2A3A4P A1A3A4 A1A2A4 0.1，故 4 门课程全部得优的学生至少有 10%即 10 人。19.19. 某班级有n个人n365，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？n解：解：n个人的生日共有365n种情况，所有人生日都不在同一天共有P365种情况，故所求概率为1365!。n365365n!20.20. 设M件产品中有m件废品，从中任取两件。(

15、1) 在所取产品中有一件是废品的条件下，求另一件也是废品的概率；(2) 在所取产品中有一件是正品的条件下，求另一件是废品的概率。解：解：设A表示至少有一件废品，B表示两件都是废品，C表示至少有一件正品，D表示两件中一件正品一件废品，则112112CMCMmCmCmmCmCM m，PA,PC22CMCM211CmCM mCm。PAB PB2, PCD PD2CMCM(1)所求为PB A(2)所求为PD CPABm1；PA2M m1PCD2m。PCM m121.21. 某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手8 人，三级射手 7人，四级射手 1 人。一、二、三、四级射手能通过选

16、拔进入比赛的概率分别是 0.9,0.7,0.5,0.2，求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率。解：解：设A表示任选一名射手能通过选拔，Bii 1,2,3,4表示此射手为i级，则PBi1 5, 2 5,7 20,1 20, PA Bi 0.9,0.7,0.5,0.2。4由全概率公式PAPA BiPBi 0.645。i122.22. 有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是1 4,1 3,1 12，而乘飞机则不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？解：解：设A表示朋友迟到了，Bii 1,2

17、,3,4分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机，则PBi 0.3,0.2,0.1,0.4,PA Bi1 4,1 3,1 2,0。由全概率公式PAPA BiPBi 0.15，再由贝叶斯公式i14PB1APA B1PB1PA 0.5。23.23. 设男女两性人口之比为 51：49，男性中的 5%是色盲患者，女性中的 2.5%是色盲患者，今从人群中随机地抽取一人，恰好是色盲患者，求此人为男性的概率。解：解：设A表示被抽取之人是色盲，Bii 1,2分别表示此人为男性、女性，则PBi 0.51,0.49, PA Bi 0.05, 0.025。2由全概率公式PAPA BiPBi 0.03775，再由贝叶斯公

18、式i1PB1APA B1PB1PA 0.6755。24.24. 一个大学生想借某本专业书，决定到 3 个图书馆去借。对每个图书馆而言，有无这本书的概率相等，若有，是否借出的概率也相等。假设这 3 个图书馆采购、出借图书是相互独立的，求这个大学生能借到此专业书的概率。解：解： 设Aii 1,2,3表示在第i个图书馆能借到， 根据题意，PAi1 21 2 1 4。所求为PA1 A2 A31 P A1A2A31 P A1P A2P A313 4 37 64。3 25.25. 某厂产品的废品率不得超过 0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于 0.9 的概率保证每箱中至少有 100 个正品，那么每箱至

19、少要装多少个产品？解：解：设至少要装n个产品，X表示n个产品中废品数，则X Bn,0.03。e0.03n0.03n由题意和泊松近似，PX n100 0.9， 0.1。k!kn99nk 0.03n, x n99, p 0.1，即 2.97 0.03x，根据泊松分布表，满足上述关系最小的x 6, 3.15，从而n 105，即至少要装 105 个产品。26.26. 为了防止意外， 在矿内同时设有两种报警系统A与B， 每种系统单独使用时，对系统A其有效的概率为 0.92，对系统B其有效的概率为 0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为 0.85，求：0.9880.829(1) 发生意外时，这两种报警

20、系统至少有一个有效的概率；(2)B失灵的条件下，A有效的概率。解：解： 由题意知，PA 0.92, PB 0.93, P B A 0.85， 得P AB P B A P A 0.068，PAB PB P AB 0.862，故 (1)所求为PAB PAPBPAB 0.988；(2)P AB PAPAB 0.058，所求为P A B 0.829P B P AB27.27. 加工一个产品需要三道工序， 第一、 二、 三道工序不出废品的概率分别为 0.9,0.95,0.8，若假定各工序是否出废品为独立的，求经过三道工序而不出废品的概率。解：解：设A,B,C分别表示第一、二、三道工序不出废品，则A,B,

21、C相互独立，且PA 0.9,PB0.95,PC0.8，所求为PABC PAPBPC0.684。28.28. 某机构有一个 9 人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是0.7，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率。解：解：设X为贡献正确意见的顾问数，则X B9,0.7。5678所求为PX 5C90.750.34C90.760.33C90.770.32C90.780.310.79 0.9012。习题习题 2 21. 1. 掷一颗匀称的骰子两次， 以X表示前后两次出现的点数之和， 求X的分布律，并验证其满足分布律的条件。解：解：X的取值

22、为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的概率为PX i11116 i7。36PX ii2i26 i736111543210123451。6362. 2. 一学习小组中有 7 位同学，他们的学号分别为 8,11,21,23,27,30,35。现从该组中任意选出 3 位同学，用X表示取出的同学中学号最小的。求X的分布律和分布函数。232323解：解：X的取值为 8,11,21,23,27，对应的概率为C6C73 7,C5C7 2 7,C4C72323 6 35,C3C73 35,C2C71 35，所以分布律为X8112123273 703 75 7分布函数为Fx31 3534

23、351p2 76 35x 88 x 1111 x 21。21 x 2323 x 27x 273 351 353. 3. 100 只同型号的手机中，有 5 只是次品，其余为正品。现从这 100 只手机中任取 5 只，以X表示其中的正品次数，求X的分布律和分布函数。解：解：X=0,1,2,3,4,5，5PX 01 C1001.328108,15PX 1 C54C95C100 6.309106,325PX 2 C5C95C100 5.93104,PX 3 C C25395C51001.8410 ,2145PX 4 C5C95C100 0.21,55PX 5 C95C100 0.77,故 X 的分布律

24、为X0125.9310431.8410240.2150.77P1.3281086.309106分布函数0,1.328108,6.322106,F(x) 5.994104,21.8410 ,0.23,1,x 00 x 11 x 22 x 3。3 x 44 x 5x 54. 4. 在同花色的 13 张扑克中任取一张，取到 A 时记X 1，取到 J 时记X 11，取到 Q 时记X 12，取到 K 时记X 13，其余的X为取到的数。求X的分布律，并求(1)P1 X 5；(2)F6。解：解：X的分布律为PX k113,k 1,2,(1)P1 X 55 13。(2)F6PX k 6 13。5. 5. 设离

25、散型随机变量X的分布律为k16,13。PX k1 2k求(1)PX 2,4,6,解：解：(1)PX 2,4,6,k 1,2,，；(2)PX 3。11 41。2k11 43k12(2)PX 311 81。k211 24k36. 6. 设离散型随机变量X的分布律为PX k Ap(1 p)k1, k 1,2,试求A。，解：解： 由分布律性质知，即ApPX kAp(1 p)k11，k1k111, A1。11 p7. 7. 一校园内有 4 个 ATM 取款机，设每个取款机在任一时刻被使用的概率都是0.1，求下列事件的概率：(1) 恰有两个取款机被同时使用；(2) 至多有两个取款机被同时使用；(3) 至少

26、有两个取款机被同时使用。解：解：设同时被使用的取款机数为X，则XkB4,0.1,PX kC40.1k0.94k。2(1) 所求为PX 2C40.120.942 0.0468。1132(2) 所求为PX 20.94C40.10.9 C40.120.920.9963。23(3) 所求为PX 2C40.120.92C40.130.90.140.0523。8. 8. 人类共有四种血型O, A,B和AB，设一群人中，这四种血型所占比例分别为35%,40%,20%和 5%，现从该人群中随机地抽取 4 人，计算下列事件的概率：(1) 恰有 2 人血型为A；(2) 没有B血型的人。解：解：(1) 设X表示 4

27、 人中血型为A的人数，则X B4,0.4，所求为2PX 2C40.420.620.3456。(2) 设X表示 4 人中血型为B的人数，则X B4,0.2，所求为PX 0 0.84 0.4096。9. 9. 公园中有一射击游戏，买一张票可以打 10 发子弹，中靶两次就奖一气球，一游客每次射中的概率为 0.3，求(1) 打了 3 发子弹，就得一个气球的概率；(2) 打了 5 发子弹，才得一个气球的概率。解：解：设X为击中次数，则2(1)X B3,0.3，PX 2C30.320.70.33 0.216。(2)X B5,0.3，P2 X 3C50.3 0.7 C50.3 0.7 0.441。22333

28、210.10. 甲，乙两射手的中靶率分别为 0.6 和 0.5，现每人个射击两次，求(1) 两人中靶次数相同的概率；(2) 甲射中的次数比乙多的概率。解：解：设X,Y为甲、乙投中次数，则X B2,0.6,Y B2,0.5。(1)PX Y PX 0,Y 0PX 1,Y 1 PX 2,Y 2122 0.420.52C120.60.4C20.50.50.6 0.5 0.37。(2)PX Y PX 1,Y 0PX 2,Y 0PX 2,Y 122122 C120.60.40.5 0.6 C20.50.50.6 0.5 0.39。11.11. 夏季用电高峰时，某城市在t0，t0t的时间内发生的停电次数X服

29、从(0.6t)，求(1) 7 月中旬的一天从上午 10 时到下午 4 时，最多停一次电的概率；(2) 7 月下旬的一天从上午 10 时到下午 3 时半，至少停两次电的概率。解：解：PX k0.6tke0.6tk!。(1)t 6，PX 10.66.50!0e0.660.66e0.66 0.1257。1!0.65.5e0.65.5 0.8414。1!(2)t 5.5，PX 20.65.510e0.65.50!12.12. 为了保证业主的正常生活，小区的物业公司必须配备一定数量的维修人员。小区有 1000 户居民， 任一时刻每户发生报修的概率都是 0.005， 且相互独立，而一名维修人员同一时刻只能

30、处理一户的报修。 问至少要配备多少维修人员，才能保证业主报修时得到及时修理的概率为 95%。解：解：设n为配备的维修人员数，X为同时报修的业主数，则X B1000,0.05，用泊松近似得，X 5。由题意，PX n0.95，经查表得n 9。13.13. 设连续型随机变量X的分布密度为Af (x) ,x(,)，1 x2求(1)A；(2)X的分布函数F(x)；3(3)PX 1, P 0 X 3 , P 3 X 。3解：解：(1)由概率密度性质，(2)Fxxfxdx 1，即xA1dx 1A ，得。1 x2ftdt 11 dt arctanx。21t213(3)PX 1 F1, P 0 X 3 F4 3

31、 F01，3331P 3 X F F 3 。32314.14. 设连续型随机变量X的分布函数为x2abexp, x 0Fx，20,x 0(1) 求常数a和b；(2) 求随机变量的概率密度函数；(3) 求Pln4 X ln16。解：解：(1)由分布函数的性质，F1, F00 F00，得a 1,b 1。x2xexp, x 0(2)fx Fx。20,其它(3)Pln4 X ln16 Fln16 Fln42ln421expln16221exp1。415.15. 设连续型随机变量X的概率密度函数为1,x(0,)，f (x) (1 x)20,其他求X的分布函数F(x)，并画出F(x)的图形。x解：解：Fx

32、xx1dt , x0,201 xftdt 1t。0,其它16.16. 一小城市每天的用水量为X万立方，随机变量X的概率密度为212x1 x, 0 x 1f (x) ，0,其他求(1)每天的用水量大于 7000 立方的概率；(2)每天的用水量在 6500 立方到 8500 立方之间的概率。解：解：(1)PX 0.70.7fxdx 12x1 xdx 0.0837。0.70.850.6512(2)P0.65 X 0.85fxdx 0.850.6512x1 xdx 0.1145。217.17. 设随机变量K U2,4，求方程x22Kx2K 3 0有实根的概率。1, x2,4解：解：K的概率密度为fx6

33、，实根的概率为其它0,P 4K28K 12 0 PK 1K 3(1) 手机寿命大于 600 天的概率；(2) 手机寿命在 600 天到 900 天之间的概率；(3) 当一只手机的寿命不超过 600 时，另一只手机寿命超过 900 天的概率。x 1600e, x 0解：解：fx600。0,x 0x1600fxdx edx e1。600600x1600edx e1e1.5。600124111dxdx 。366318.18. 某种型号的手机的寿命X（天）服从参数为 600 的指数分布，求(1)PX 600600(2)P600 X 900900600fxdx 900600(3) 由(1)、(2)知，手

34、机的寿命不超过 600 的概率为1e1，超过 900 天的概率为e1.5，所以当一只手机的寿命不超过600 时，另一只手机寿命超过900天的概率1e1e1.5。19.19. 设每人每次打电话的时间(min)服从参数为 0.5 的指数分布，求 282 人次所打的电话中，有两次或两次以上超过 10 min 的概率。解：解：设打电话的时间为X，打电话时间超过 10 min 的次数为Y，则X e0.5，由泊松近似，p PX 100.5e0.5xdx e5 0.006738。Y B282, p，10 282p 1.9，PY 21e1.91.9e1.90.56625。20.20. 一个路段的噪声X服从正态

35、分布N(65,9)，求该路段(1) 噪声小于 69.5 的概率；(2) 噪声在 60 到 70 之间的概率。X 65解：解：(1)PX 69.5 P1.5 1.5 0.9332 。3X 65(2)P60 X 70 P1.67 1.67 21.671 0.905。321.21. 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器设定在d，液体的温度X(C)是一随机变量，服从N(d,0.52)。(1) 当d 90时，求X小于 89 的概率；(2) 若要保持液体的温度至少为 80的概率不小于 0.99，问d至少为多少？X 90解：解：(1)PX 89 P 212 0.0228。0.5X d80d 8

36、0d (2)PX 80 0.99, P1 0.99，0.50.50.580d80d 0.1, 2.33,d 81.165。0.50.522.22. 一小区大门口， 每天早晨 8 时， 人们等候出租车的时间X满足正态分布N(10, 2)，如果P8 X 120.9，求。2X 102 2 解：解：P8 X 120.9，P 21 0.9， 2 0.95,1.212。23.23. 设随机变量X的分布律为XP00.1e0.22e0.33e0.4求随机变量Y的分布律：(1)Y X e；(2)Y lnX e。解：解：(1)Y200.21e24e2p(2)Y0.40.4ln2eln3eln4e0.20.30.4

37、p0.124.24. 设随机变量X的分布函数为0,0.3,Fx0.8,1,(1) 求X的分布律；(2) 求Y X的分布律。x 11 x 1，1 x 2x 2解：解：(1)X的分布律为X-10.3Y10.510.820.220.2p(2)Y的分布律为p(1)Y 2X 1；(2)Y eX；(3)Y X2。解：解：X的概率密度函数为fXx25.25. 设随机变量X N0,1，求下列随机变量Y的概率密度函数：1e2x22。y1 y1(1)FYy PY y P2X 1 y PX FX，22fYy FYy1 y11fXe222 2y128, y 。(2)FYy PY y PeX y。当y 0时，FYy 0

38、；当y 0时，FYy PX ln y1FXln y，1 1fYy FYy fXln yey2y2ln2y2，从而ln y1e2, y 0fYy 2y。0,其它(3)FY(y) PY y P X2 y。当y 0时，FY(y) 0，fY(y) FY(y) 0；当y 0时，FY(y) P y X y FXfY(y) FY(y) fXy Fy，X 1 fXy fXy 2 y2 y1y1y，故y 11y2e2,fY(y) 20,y 0y 0。26.26.设随机变量X U0,，求下列随机变量Y的概率密度函数：(1)Y 2ln X；(2)Y cos X；(3)Y sin X。1, x0,解：解：X的概率密度

39、函数为fXx。其它0,yy(1)FYy PY y P2ln X y PX e2 FXe2，y 121e , y 2ln。fYy FYyfXee 220,其它y2y2(2)FYy PY y PcosX y。当y 1时，FYy 0；当y 1时，FYy1；从而fYy FYy0。当1 y 1时，FYy PX arccosy1FXarccosy，1fYy FYy fXarccosy1 y21 ，从而1 y21, 1 y 12fYy1 y。0,其它(3)FYy PY y Psin X y。当y 0时，FYy 0；当y 1时，FYy1；从而fYy FYy0。当0 y 1时，FYy PX arcsiny X

40、arcsiny FXarcsiny1FXarcsiny，得fYy FYy fXarcsin y从而2, 0 y 12fYy1 y。0,其它11 y2 fXarcsin y11 y221 y2，习题习题 3 31. 1. 将一枚硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。试写出 X 和 Y 的联合分布律。解：解：3 正 0 反2 正 1 反1 正 2 反0 正 3 反(X,Y)(3,3)(2,1)3102212113221111232201013322(1,1)(0,3)显然，X B(3,1 2)， 183，PX 2,Y 1 PX

41、2 C 83，PX 1,Y 2 PX 1 C 8，PX 0,Y 3 PX 0 C 18故X与Y的联合分布律为Y312PX 3,Y 3 PX 3 C33210313308801800182. 2. 一个箱子中装有 20 只电动剃须刀，均用相同的小盒装好，其中有 3 只次品。在放回抽样和不放回抽样的情况下，定义随机变量X和Y为0, 如第一次取出的是正品0, 如第二次取出的是正品，Y 。X 1, 如第一次取出的是次品1, 如第二次取出的是次品分别写出两种情况下，X和Y的联合分布律。解：解：放回抽样：171728917351,PX 0,Y 1，2020400202040031751339PX 1,Y

42、0,PX 1,Y 1，20204002020400X和Y的联合分布律为X01YPX 0,Y 001不放回抽样：PX 0,Y 0289 40051 40051 4009 400171627217351,PX 0,Y 1，2019380201940031751326PX 1,Y 0,PX 1,Y 1，20193802019380X和Y的联合分布律为XY0101272 38051 38051 3806 3803. 3. 设随机变量X,Y的概率密度为：A8 x y， 0 x 4, 0 y 4f (x, y) ，0，其他(1) 求常数A；(2) 求PX 1, Y 2；(3) 求PX 2；(4) 求PX

43、Y 3。解：解：(1)由1。64121138 x y dxdy (2)PX 1,Y 2。64006414258 x y dxdy (3)PX 2。64008133y278 x y dxdy (4)PX Y 3。 006464fx, ydxdy 1，得64A 1, A 4. 4. 将一枚硬币上抛 5 次，5 次中着地时正面朝上的次数记为X，前 3 次中正面朝上的次数记为Y，求X和Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律。解：解：X和Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律为YX012304005000p j4 3212 3212 324 32101231 320002 323 32001 326

44、 323 3203 326 323 321 322 325 321 321 32pi1 325 3210 3210 325. 5. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为Axy， 0 x 1, x y 1，f (x, y) 0，其他(1) 求常数A；(2) 求(X,Y)的边缘概率密度。解：解：(1)由1fx, ydxdy 1，得A 1, A 8。8128xxydy 4x1 x, 0 x 1(2)fXxfx, ydy ，0,其它y380xydx 4y , 0 y 1。fYyfx, ydx 0,其它6. 6. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ey，0 x y，f (x, y) 其他0，求(X,

45、Y)的边缘概率密度。yxxe dy e ,解：解：fXxfx, ydy 0,yyy0e dx ye,fYyfx, ydx 0,x 0其它，y 0其它。7. 7. 随机变量X为在 0,1,2,8,9 这 10 个数中任取的一个数， 在X到 9 之间再任取一数，记为Y，求条件分布律PY K X i。111解：解：PX i,PX i,Y k，所以条件分布律为1010 9i11, k iPY k X i10i。0,k i8.8. 记某医院中一天出生的新生儿数为X，而其中男孩数记为Y。设X和Y的联合分布律为eambnmPX n,Y m, (m 0,1,m!(nm)!(1) 求边缘分布律；(2) 求条件分

46、布律。n,n 1,2,)，eambnme解：解：(1)PX nm!(nm)!n!m0nm0Cnmnambnmeab，n!neambnmeamPY mm!nmm!nm!bnmebam。m!nmnm!PX n,Y mebbnm(2)PX n Y m，PY mnm !PX n,Y mambnmn!PY m X n。nPX nabm!nm!9. 9. 设一乳品厂公司 3 月份收到的酸奶订货数为X，4 月份收到的酸奶订货数为Y，过去的数据得到X和Y的联合分布律为XY3031323334300.010.010.050.010.010.09310.050.050.100.020.060.28320.050.

47、070.100.050.050.32330.060.010.050.030.050.2340.010.010.050.010.030.11p j0.180.150.350.120.21pi(1) 求边缘分布律；(2) 求 3 月份的订货数为 33 时，4 月份订货数的条件分布律。解：解：(1)边缘分布律pi、p j见表格。(2)从表格中易得条件分布律为k10.10. 在 5 题中(1) 求条件概率密度fX Yx y；1(2) 求条件概率密度fY Xy x及X 时Y的条件概率密度；33031323334PY k X 331122 125 123 1211211(3) 求条件概率PY X 。422

48、xfx, y2, x y 1,0 x 1解：解：(1)fX Yx y。yfYy其它0, 2y, x y 1,0 x 1fx, y(2)fY Xy x，1 x2fXx其它0,9y 11, y 1。fY Xy4330,其它18y111(3)PY X 1fY Xydy 1dy 1。42422311.11. 设随机变量(X,Y)的概率密度为 3x，0 x 1, 0 y x，f (x, y) 其他0，求条件概率密度fY Xy x，fX Yx y。解：解：fXxx203xdy 3x , 0 x 1，fx, ydy 0,其它fYy313xdx1 y2, 0 y 1y，fx, ydx 20,其它1fx, y,

49、 0 y x, 0 x 1，fX Yx yxfYy其它0, 2x, 0 y x,0 x 1fx, y2。fX Yx y1 yfYy其它0,12.12. (1)问第 2 题中的随机变量X和Y是否相互独立？(2)问第 11 题中的随机变量X和Y是否相互独立？解：解：(1)从计算表格中易看出，放回时独立，不放回时不独立。(2)因为fXxfYy fx, y，所以X和Y不独立。13.13. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在0,1上服从均匀分布，Y的概率密度为y12 e, y 0，fYy20,其它(1) 求X和Y的联合概率密度；(2) 设含有a的二次方程a22XaY 0，试求a有实根的概率。y121

50、, 0 x 1 e, 0 x 1,y 0解：解：(1)fXx，fx, y fXxfYy2。0,其它0,其它(2)P 4X 4Y 0 PX Ydx2201x20y12edy 0.8556。214.14. 进行打靶，设弹着点AX,Y的坐标X和Y相互独立，且都服从N0,1分布，规定点A落在区域D1X,Yx2 y21得2分， 点A落在区域D21 x2 y2 4得 1 分，点A落在区域D3X,Yx2y2 4得 0 分，以Z记X,Y打靶的得分，写出X和Y的联合概率密度，并求Z的分布律。x2 y21解：解：因X,Y独立，所以X和Y的联合概率密度为fx, yexp。22PZ 0PZ 1x2y241fx, yd

51、xdy 2fx, ydxdy 20de22r22rdr e2，1x2y2412020der2rdr e1 2e2，11221PZ 2fx, ydxdy 2x2y21Z的分布律为2der2rdr 1e1 2，0Z0e2pke121e221e1215.15. 设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为2xex, x 02yey, y 0，fXx, fYyx 0y 00,0,其中 0和 0是常数。(1)求条件概率密度fX Yx y；(2)求U maxX,Y和U minX,Y的分布函数和概率密度。2xex, x 0解：解：(1)因X,Y独立，所以fX Yx y fXx；x 00,xy1x1e, x

52、 01y 1e, y 0, FYy(2)FXx，0,x 00,y 0zz1z 1 e1z 1 e, z 0，FUz FX(z)FY(z) 0,z 0z, z 01z 1z 1eFVz11 FX(z)1 FY(z)，0,z 02z2z222ez, z 0 z zzeze，fUz0,z 0222ez, z 0 z z。fVz0,z 016.16. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为1 2fX(x) 0解：解：因X,Y独立，故fZ(z) 令t z x，则fZ(z) 0 x 2ey，fY(y) 其它0y 0其它，求随机变量Z X Y的概率密度。12fX(x) fY(z x)dx fY(

53、z x)dx，201zfY(t)dt。z22当z 0时，fY(t) 0, fz(z) 0；101z1zt1当0 z 2时，fZ(z) fY(t)dt fY(t)dt e dt 1ez；2z2202021z1当z 1时，fZ(z) etdt e21ez；2z220z 0 1故fZ(z) 1ez0 z 2。212e 1ezz 2217.17. 某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为xex, x 0，fx0,其它设各周的需要量是相互独立的，求(1)两周需要量的概率密度；(2)三周需要量的概率密度。解：解：(1)因为各周需要量相互独立，所以两周需要量Z X Y的概率密度为fZ(z) zxz3

54、zzxdx e , z 0xez xefX(x) fY(zx)dx 0。60,其它 z5ze , z 0(2)类似可得，三周需要量的概率密度为fZ(z) 120。0,其它18.18. 设随机变量X,Y的概率密度为1xy, x, y 0x ye，fx, y20,其它(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z X Y的概率密度。解：解：(1)fXx11xydy x1ex,x 00x ye，fx, ydy 220,其它1yy1e,y 0同理，fYy2，显然X和Y不相互独立。0,其它(2)fZ(z) 12zz1zze dx z e ,z 0f (x,z x)dx 02。20,其它19.19. 设X和Y是相

55、互独立的随机变量，它们都服从正态分布N0, 2，试验证：随机变量Z X2Y2具有概率密度zz22exp2, z 0fZz，20,其它称Z服从参数为0的瑞利分布。证：证：因X和Y相互独立，故fx, y fXxfYy12e2x2y222。设G表示区域x2 y2 z2，则FZ(z) PZ z P当z 0时，FZ(z) 0, fz(z) 0；X2Y2 z。当z 0时，FZ(z) P X2Y2 z2fx,ydxdy G12Ge2x2y222dxdy12220de0zr222rdr 1ez222，fZ(z) FZ(z) ze2z222，故zz2exp2, z 0。fZz220,其它20.20. 设某种型号

56、的节能灯的寿命(以小时计)近似地服从N2000,2002分布，随机地选取 5 只，求其中没有一只寿命小于 1900 的概率。解：解：设节能灯的寿命的为X，则X N2000,2002，X 200019002000PX 1900 P 0.510.5 0.6915。200200再设 5 只中寿命小于 1900 的节能灯数为Y，则Y B5,0.6915，所求为PY 00.691550.1581。21.21. 对某种电子装置的输出测量了 5 次，得到的结果为X1,X2,相互独立的随机变量且都服从参数 2的瑞利分布。(1)求Z maxX1,X2,(2)求PZ 4。解：解：(1)FXixx, X5。设它们是

57、,X5的分布函数；xt2x2ftdt 2exp2dt 1exp，028tz21e8FX5z0, ,5FZz FX1zz 0其它。4(2)PZ 41FZ411e82 0.5167。522.22. 设随机变量X和Y相互独立，且服从同一分布，密度函数为fx1,21 x x 。试证：0.5X Y也有同样形式的密度函数。证：证：令Z 0.5X Y，记G为区域 x y 2z，则Z的分布函数FZ(z) PZ z P0.5X Y z2zyf (x, y)dxdy先x后yf (x, y)dxdyG2zyf (x, y)dydx 记为2zyg(x)dx，Z故fZ(z) F (z) 2g(z y) 2f (2z y

58、, y)dy 或2f (x,2z x)dx。若X与Y独立，即f (x, y) fX(x) fY(y)，则fZ(z) 2fZ(z) 2fX(2z y) fY(y)dy 或 fZ(z) 2fX(x) fY(2z x)dx 2fX(x) fY(2z x)dx。111dx 1 x212z x21 z2即0.5X Y也有同样形式的密度函数。23.23. 设随机变量X和Y是相互独立的，其分布律分别为PX k pk, k 1,2,i, PY r qr, r 1,2,，证明：随机变量Z X Y的分布律为PZ ipkqi k,i 1,2,k0。证：证：因为X和Y相互独立，所以PZ iPX k,Y i kPX k

59、PY i kk0k0iipkqik,i 1,2,k0i。24.24. 设X和Y是相互独立的随机变量，X 1,Y 2，证明：Z X Y Z 12。证：证：PX ii1e1i!k, PX j2jej!2, i, j 0,1,2,，kii1ek2e12PZ kPX iPY k ii0i0i!(k i)!1 kiiki121212即Z 12。Ck12ee, k 0,1,2,，k!i0k!k25.25. 设随机变量X和Y相互独立，且X 1, Y 2,，这里的1,2,均大于 0，则X Y 12,。注：注：如X ,，则分布的密度函数为x1ex,x 0fx。 0,x 0证：证：因X,Y独立，故fZ(z) fX

60、(x) fY(z x)dxzx111xe201z xe221zx11z111ez, z 0，dx 110,其它所以X Y 12,。26.26.设随机变量X,Y的分布律如下表所示：XY012Y30.070.070.060.0740.090.080.070.0701230.000.020.020.030.030.030.040.030.050.060.060.05(1)求PX 2 Y 2, PY 3 X 0。(2)求V maxX,Y的分布律；(3)求U minX,Y的分布律；(4)求W X Y的分布律。解：解：(1)PY 2 0.25, PX 2,Y 2 0.06, PX 2 Y 2PX 2,Y

61、26。PY 225PX 0,Y 33。PX 07PX 00.07,PX 0,Y 30.03,PY 3 X 0(2)V的取值为 0,1,2,3,4。PV 0 PX 0,Y 0 0，PV 1 PX 0,Y 1X 1,Y 0X 1,Y 10.08，同理，PV 20.23,PV 3 0.38,PV 40.31，V的分布律为Vp0010.0820.2330.3840.31(3)U的取值为 0,1,2,3。PU 0 PX 0,Y 0X 0,Y 1X 4,Y 0 0.030.05 0.07 0.09 0.02 0.02 0.03 0.31，同理，PU 1 0.31, PU 20.24,PU 30.14，U的

62、分布律为Up00.3110.3120.2430.14(4)W的取值为 0,1,2,3,4,5,6,7。PW 0 PX 0,Y 00，同理，PW 1 0.05,PW 2 0.1, PW 3 0.2,PW 40.25，PW 5 0.19,PW 50.14,PW 70.07，W的分布律为Wp0010.0520.130.240.2550.1960.1470.07习题习题 4 41. 1. 在一副去掉大、小王的扑克牌中，随意抽取一张，记录花色后放回，洗一下牌，再抽取一张，记录花色，如此循环，直至抽到红桃为止，求抽取次数的期望。解：解：随意抽取一张，抽到红桃的概率显然为p 1 4。设X为第一次抽到红桃时的

63、抽取次数，则X服从参数为p的几何分布，即PX k pk1 pk1p, k 1,2,k1。k1EXkpkk1 pk1k1p pkqk1q1 pq p 4。k11qpk2. 2. 射击考核中规定，射击 5 发子弹，其中 5 发都不命中目标得 0 分，命中k发得k分k 1,2,得分。解：解：设X为射手的得分，依题意知，X B5,0.7，故EX np 3.5。3. 3. 一机器生产瓶装饮料，每瓶饮料质量的误差不超过 2%。检验员每天两次检查瓶装饮料的质量，每次随机取 50 瓶。如其中有两瓶或两瓶以上质量的误差超过 2%，则要调整机器，一周(共 5 天)中调整设备的次数为X，求EX。 （设各瓶饮料的误差

64、相互独立） （缺条件）解：解：设Y为每次检验时发现的次品数，则Y B10,0.1，调整设备的概率p ,5。一射手每次击中目标的概率为 0.7，求这一射手的期望PY 110.910100.990.10.2639。X B4, p，EX 4p 1.0556。4. 4. 高一(1)班和高一(2)班用同一张试卷进行数学测验，成绩分为不及格、及格、中、良、优五等，这五等成绩分别用 1、2、3、4、5 表示。用X表示(1)班任一同学的成绩，Y表示(2)班任一同学的成绩， 统计两班成绩得下面概率分布：XpYp10.110.3720.220.130.430.0940.240.0950.150.35问一般认为哪个

65、班级的成绩较好?解：解：因为EX3,EY 2.95，所以(1)班成绩较好。5. 5. 设随机变量X的概率分布为PX 2k1,k 1,2,k2，证明：EX不存在。证：证：因为EXkpk2kk1k11 ，不收敛，所以EX不存在。k26. 6. 设随机变量X的概率密度函数为1, x 12fx1 x，0,其它求EX。解：解：EXxfxdx x1111 x2dx 0。7. 7. 气体分子的速度服从麦克斯威尔分布，概率密度函数为2x2Ax exp2, x 0fx，a0,其它其中a 0是常数，确定系数A，并计算气体分子速度的期望。解：解：由fxdx 1，即0x2Aa34。Ax exp2dx 1,得A34aa

66、2EXxfxdx 0x22a。xAx exp2dx a28. 8. 设随机变量X的概率密度函数为1, 0 x 2fx1 x，0,其它证明：EX不存在。证：证：因为EXxfxdx 0x11 x2xdx ln1 x ，不收x10敛，所以EX不存在。9. 9. 一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求EX（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立） 。0, 在第i站没有人下车解：解：引入随机变量Xi, i 1,2,1, 在第i站有人下车 9 EXi p 1，且X X1 X21020,10，

67、则Xi01， X10，所以 9 20EX10EX11018.784。1010.10.对第 4 题中的随机变量X，计算EX2和E5X2 4。解：解：易得EX210.2，E5X2 4 55。11.11.设随机变量X的概率密度函数为ex, x 0，fx0, 其它求(1)Y X3的期望；(2)Y eX的期望。解：解：(1)EX3x fxdx 30x3exdx 6；(2)EeXexfxdx exexdx 0.5。012.12.对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间a,b内，求球体积的均值。 13axb4 X 13解：解：球径测量值X的密度f(x)ba，故球体积Y X的326其它01b1322均值E(

68、Y) EX3 x3f (x)dx x dx (a b)(a b ) 。a66b a24613.13.设二维随机变量X,Y的概率密度函数为12y2, 0 y x 1，fx, y其它0,求EX,EY,EXY,EX2Y2。解：解：EXEY1xxfx, ydxdy xdx12y2dy 004，51x3yfx, ydxdy dx12y3dy ，005EXYxyfx, ydxdy xdx12y3dy 001x1，2x0EX2Y2x2 y2fx, ydxdy dx12y2x2 y2dy 0116。1514.14.设随机变量X和Y相互独立，概率密度函数分别为3x2, 0 x 1yey, y 0，fXx, fY

69、y其它0,0,其它求EXY。解：解：EXxfXxdx x3x2dx 013，4EYyfYydy 0y2eydy 2，3。2因为X和Y相互独立，所以EXY EXEY15.15.将编号为 1 到n的n个球随机地放进编号为 1 到n的n只盒子中去，一只盒子装一个球。若一个球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记总的配对数为X，求EX。解：解：因为每个球都有配对和不配对两个可能，所以引入随机变量1第i个球配对，i 1,2,Xi0第i个球不配对则 X Xi，EXEXi。i1i1nn,n，显然，EXi1 n，故EX1。16.16.现有n把样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁。用它们去试开门上的锁，设

70、取到每把钥匙是等可能的，并且每把钥匙试开一次后除去，求试开次数的期望。解：解：显然第一次打开的概率为110。设A为“第一人没打开” ，B为“第二次打开” ，则A B，B A为“第一人没打开，第二人打开” ，显然PB A1n1，故P(B) P(AB) P(B A)P(A) P(B A)1 P(A)1n111 n1 n。同理可得第三次, 第n次打开的概率均为1 n。11所求期望为12nnn11 1n1nn1。nn 2217.17.18.18.求第 4 题中随机变量X,Y的方差。解：解：EX3,EY 2.95，EX210.2，EY211.77，DX EX2 E2X1.2，DY EY2 E2Y 3.0

71、675。19.19.求第 6 题中随机变量X的方差。解：解：EX2x fxdx x21121dx ，21 x211DX EX2 E2X。220.20.求第 7 题中气体分子速度的方差。解：解：E X 2x fxdx 20x23x Ax exp2dx a2，2a22 34 DX EX2 E2Xa2。221.21.设X为一加油站在一天开始时储存的油量，Y为一天中卖出的油量，Y X，设X,Y的概率密度函数为3x 0 y x 1，fx, y0求每天剩油量X Y的期望和方差。解：解：EX Y1xx yfx, ydxdy 0dx03xx ydy 3，812fx, ydxdy dx3xx ydy ，0051

72、92DX Y EX Y E2X Y。3202EX Yx y21x22.22.设X为取值于区间a,b内的连续型随机变量，证明：a EXb, DXba42。证：证：因为在a,b内X的概率密度fx 0， 得EXxfxdx afxdx a, EXxfxdx bfxdx b，aaaabbbb所以a EXb。baa bbaabba X 由a X b，得，X ，2222222abba EX ，从而2222ababDX EX E X EX E X 2222abab EX E X 2222ba42。23.23.设随机变量X和Y相互独立，证明：DXY DXDYE2XDYE2YDX。证：证：DXDYE2XDYE2Y

73、DX22EY2 E2YE X EX 22 E2YEX2E2XE2XE Y EY 22 EX2EY2E2XE2Y EXYE XY DXY。24.24.设随机变量X1,X2,求X1 X2n Xn, Xn相互独立，且EXi, DXi2, i 1,2,的期望和方差。,n， X X2解：解：E1n X X2D1n Xn1nEXi，ni1 Xn1n。D Xi2nni125.25.设二维随机变量X,Y的概率密度函数为1x y, 0 x 2,0 y 2，fx, y80,其它求XY。解：解：EX1277x xy dy E Y ，同理。 600862214EXY xyfx, ydxdy xdxxy y2dy ，0

74、0831CovX,Y EXY EXEY 。362215EX2 x2fx, ydxdy x2dxx ydy ，008322xfx, ydxdy dxDX EX2 E2X1111，同理DY，3636所以XYCovX,YDXDY 1。1126.26.设DX9,DY16,XY 0.2，求D(X Y),D(X Y)。解：解：D(X Y) D(X) D(Y)2Cov(X,Y) D(X) D(Y)2XYD(X) D(Y) 91620.234 254.8 29.8, 20.2。27.27.设X服从2,2上的均匀分布，Y sin X，求XY。1, 2 x 2 2解：解：fXx，EX 0, DX。120,其它EY

75、 Esin Xsin xfXxdx 122sin xdx 0，22EXY EX sin X2xsin xfXxdx 21xsin xdx 12，1，2DY E Y EYsin x EYfXxdx 22sin2xdx 故XYEXYEXEYD(X) D(Y)4 62。228.28.设X为随机变量，c是常数，证明：对于c EX，有DX EX c。2证：证：令fc EX c c22cEX EX2，则f c 2c2EX，有唯一驻点c EX。又f c 2 0，所以c EX为fc的最小值点，fc的最小值为2X c2。DX E X E X D X E，从而时，有c E X 习题习题 5 51. 1. 已知成人

76、每天需要蔬菜 250 克，方差为 25 克2，试用切比雪夫不等式估计需要蔬菜在 237.5 克到 262.5 之间的概率。解：解：由切比雪夫不等式PX 122，得P237.5 X 262.5 PX 250 12.5125 12.52 0.84。2. 2. 设随机变量X服从参数为的泊松分布，使用切比雪夫不等式证明：P0 X 21。证：证：2，取，由切比雪夫不等式PX 122，得PX 1 2，即P0 X 21。3. 3. 设由机器灌装的饮料每瓶含量是一个随机变量，其均值是640ml，方差是16ml2，求 12 瓶这种饮料的总含量在 7668 到 7692 之间的概率。解：解：设Xk为第k瓶含量，则

77、Xk相互独立，且 E(Xk) 640,2 D(Xk) 16。n1212由独立同分布定理，YnXk1knXk1k7680Xk1k7680n1248 3 N(0,1)，12X 76801233k1k所求为P7668Xk 7692 P PYn228 3k13 221 0.6156。4. 4. 一加法器同时收到 20 个噪声电压Vii 1,2,近似值。解：解：EVk 5, DVk100, k 1,2,20。12由独立同分布中心极限定理知，设它们是相互独立的随机,20，变量，并且都服从区间0,10上的均匀分布，记V Vi，计算PV 105的Z Vk120V 205近似的 N0,1，10010020201

78、212k205 V 100V 205105205 P 0.387PV 105 P1010100202020 1212121(0.387) 0.348。5. 5. 一个小区有 1000 户居民。现业主委员会想建一健身区，需要有 800 户居民投同意票才可以建造。若每户居民投赞成票的可能性是 0.76，求健身区能够建造的概率。解：解：设X为投赞成票的居民数，则X B1000,0.76,EX760,DX182.4。由 Laplace 中心极限定理，X EXDX N0,1，所求为X 760PX 800 P 2.9612.96 0.0015。182.46. 6. 每月 26 日，某银行要发放一笔养老金。

79、该银行共负责 5000 人的养老金发放，每人为 800 元。如退休者在 26 日这一天去银行领取养老金的概率为 0.3，问银行 26 日这一天至少准备多少现金，才能以 99%的概率满足养老金的发放。解：解： 设所求现金数为n，X为领养老金的人数， 则X B5000,0.3,EX1500，DX1050。由 Laplace 中心极限定理，X EXDX N0,1。X 1500n1200000由题意，PX n 800 0.99, P800 1050 1050n1200000 n1200000 0.99, 2.33,n 1260400。800 1050 800 1050 习题习题 6 61. 1. 已知

80、T tn，试证：(1)ET0；(2)T2 F1,n。证：证：(1)fxn121x nnn 22n12，2n12ETxfxdx n121x xnnn 2dx 0。(2)令Z T2，则FZz PZ z PT2 z，z 0时，FZz 0, fZz0；z 0时，FZz P z T z FT12z F z，TfZz fT 2z1z fT12n1 2z11 znn 2n2 z n12n12 1z11z1 2n 2nnn12，所以T2 F1,n。2. 2. “三农”问题中经常要讨论农民的收入问题。已知一个地区农民的年收入服从均值 2500，方差2 5002的正态分布。现随机地选取 100 人，求他们年收入平

81、均(1)大于 2600 的概率；(2)小于 2400 的概率；(3)在 2300 到 2600 之间的概率。解：解： 设X为年收入， 则X N2500,5002, X N2500,502,Y X 2500 N0,1。50X 2500(1)P X 2600 P 212 0.0228。50X 2500(2)P X 2400 P 212 0.0228。50X 2500(3)P 2300 X 2600 P4 2 241 0.9772。503. 3. 设总体X ，X1,X2,(1)求X1,X2,(2)求X1 X2, Xn为取自X的一个样本。,Xn的分布律； Xn的分布律；(3)求E X , D X及ES

82、2。解：解： (1)因为X1,X2,(2)因为X1,X2,以X1 X2所以X1,X2, Xn独立同分布， exi。,Xn的分布律为x !i1in, Xn独立且Xi，所以X1 X2x Xnn，所 Xnn的分布律为enx!。(3)E X EX, D X 4. 4. 设总体X 2n，X1,X2,解：解：E X EX n, D X DX，ES2 DX。nn, Xk为取自X的一个样本，求E X , D X。DX2n 2。nn 5. 5. 设总体分布为N12,4，X1, X2,独立的两个样本，求P X Y 0.2。4 141 解：解： 因为Xi,Yi N12,4， 所以 X N12,Y N12, X Y

83、N0,。4251002 X YPX Y 0.2 P 20.311 0.2434。41 1041, X16与Y1,Y2,Y25分别为来自该总体的相互6. 6. 设总体分布为N,100，现从中抽取了一容量为36 的样本，求PS2 60。n1S235S222解：解：因为n1，所以PS 60 P2 21 0.975。10027. 7. (1)求0.9515；(2)当n 25时，求使P 2 c 0.1的c。2解：解：(1)0.95157.261。(2)查表得c 34.382。8. 8. (1)求t0.059；(2)当n 16时，求使PT c0.99的c。解：解：(1)t0.0591.8331。(2)由t

84、1n tn得，查表得t0.0116 2.5835，Pt16t0.01160.01，所以c t0.9916 t0.0116 2.5835。9. 9. (1)求F0.0259,15；(2)求F0.999,15。解：解：(1)F0.0259,153.12。(2)F0.999,1511 0.2016。F0.0115,94.96习题习题 7 71. 1. 设X1,X2, Xn为总体的一个样本，x1,x2,求下列各总,xn为相应的样本值。体的密度函数或分布律中未知参数的矩估计量和估计值。 2a x, 0 x a(1)fxa2，0,其它其中a 0为未知参数。x1ex,x 0(2)fx，0,其它其中 0为已知

85、，未知参数 0。kkp1 p(3)PX k Cm, k 0,1,2,m，其中0 p 1为未知参数。a2a解：解：(1)EXxfxdx x2a xdx ，0a3a 3X。由矩法，令EX X，即 X，得a3mk(2)EXxfxdx 0xx1exdx ，由矩法，令EX X，即。 X，得XX。m (3)由矩法，EX mp X，得p2. 2. 设X1,X2, Xn为总体的一个样本，x1,x2,求下列各总,xn为相应的样本值。体的密度函数或分布律中未知参数的极大似然估计量和估计值。1,x cc x(1)fx，其中c 0为已知，1为未知参数。其它0,kkp1 p(2)PX k Cnnk, k 0,1,2,n

86、1,n, 0 p 1，p为未知参数。解：解：(1)L LX1, X2, Xn,cXii1nncnX1Xn1，lnL nlnnlnc1lnXi，i1nlnLnnlnclnXi 0,di1nln Xi1XinXin。nlncXii1nni(2)L LX1, X2,n, Xn, pCpi1n1 pnXi p1 pn2Xii1Ci1nXin，n2nlnL ln pXin Xiln1 plnCnXi，i1i1i1nnXin Xid lnL1i1i1 0, p 2dpp1 pn2Xii1nX。n3. 3. 一企业生产铝合金薄板， 从其产品中随机地抽取 10 块， 测量薄板的厚度得数据如下：0.257, 0

87、.258, 0.246, 0.248, 0.255, 0.261, 0.267, 0.253, 0.245, 0.256。试求总体均值及方差 2的矩估计值。解：解：X 0.2546,S2 4.738105。1n21n222由矩法，EX X,EXXi，即 X,Xi，得ni1ni12 X 0.2546,2n12S 4.264105。n4. 4. (1)设总体X具有分布律X123pk 22112其中01为未知参数，已取得了样本值x11,x2 2,x31，试求的矩估计值和最大似然估计值。(2)设X1,X2,3, Xn为来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的最大似然估计量及矩估计量。解：解：(1)E

88、Xxkpk24131 32，i12由矩法，令EX X，即32345，得矩估计值。36L Lx1,x2,x3,PX x12212 251，i1d ln L515 0， 最大似然估计值为。lnL ln25lnln1，d16(2)EX，由矩法，令EX X，即矩估计量 X。X的分布律为PX kkek!n, k 0,1,2,，nL LX1,X2,n,Xn,pXi,i1i1XeiXi!，XielnL lni1Xi!nnnXilnlnXi!lnXinlnXi!，i1i1i1d lnL1n1nXin 0,Xi，即的极大似然估计值为 X。di1ni15. 5. 设某种电子器件寿命T服从双参数的指数分布，其概率密

89、度为1xcexp, x c，fx0,其它其中,c,c 0为未知参数，自一批这种器件中随机地取n件进行寿命试验，它们的失效时间依次为x1 x2(1)求与c的最大似然估计。 xn。(2)求与c的矩估计。解：解：(1)L Lx1,x2,nxicxicn，,xn,expexpi1i11nlnLn1 n x nc 0in2xic i1，。lnL nlni1lnLn 0 c因为ln L单调增加，且xic，所以c minx1,x2, xx。 x ,从而c与的最大似然估计值为c11,xn x1时，ln L最大，(2)EXEX2xfxdx c1xc xexpdx c ，22xc 2。expdx cx fxdx

90、2cx11n21n222由矩法，EX x,EXxi，即c x,cxi，得ni1ni122211 xxi x,xi x。cni1ni1n12n126. 6. 科学家为了研究南疆地区某谷地的植物构成，随机地从该地区取了 100 次，每次取 10 棵小苗， 观察其中是红柳的小苗数。 设这 100 次取样是相互独立的，根据过去的观测，红柳数服从二项分布B10, p，p是该地区中一棵植物是红柳的概率。求p的最大似然估计值。观察的数据如下：N001225384215256227108592100n一个样品中含有几棵红柳苗记为N，n为 100 次观察中N出现的次数。解：解： L Lx1,x2,x100, p

91、PX xi Apm1 pi110010100m，其中A为常数，m 12 2538 4215256227108592 505。lnL ln Amln p1000mln1 p，md lnLm1000m 0.505。 0，故p的最大似然估计值p 1000dpp1 p7. 7. 某维权机构发现一个商店在一定时间内所遭遇到的投诉次数服从泊松分布。通过观测，得到下列数据：N0391282183104550n观察了 100 家商店。N为 1 年中一商店被投诉的次数，n为 100 次观察中N出现的次数。求一家商店在 1 年内未被投诉的概率p的最大似然估计。解：解：L Lx1,x2,x100, pi1100xe

92、ixi!em100x !，ii1100其中m 128 218310 45 114。100d ln Lm100 0,1.14，lnL mln100lnxi!，di1p的最大似然估计p PX 0 e 0.3198。8.8. 设总体的数学期望为，方差为2，X1,X2,体的两个样本。(1)对任意正数a1,a2, Xn和Y1,Y2,Ym为取自该总,an，且a1a2an1，证明：a1X1a2X22anXn是的无偏估计量；1n(2)证明：S Xi Xmn2i12Y Y是2ii1m2的无偏估计量，这里1n1mX Xi, Y Yi。ni1mi1证：证：因为X1,X2, Xn和Y1,Y2,Ym为总体的两个样本，故

93、EXi EYi。nn(1)Ea1X1a2X2anXnaiEXiai，得证。i1i122nn(2)EXi X E(X )(X )ii1i1nn2 E(Xi) 2(X )(Xi)n(X )2。i1i11n因(Xi) nXi n(X )，i1ni1n22n2故EXi XEXiE(Xi)nX E(X)i1i1nD(Xi)nD(X) n2i1i1nn2nn12。2m同理，EYiYm12，从而i122n1mESEXi X EYiYmn2i1i12122222n1 m1S，即是的无偏估计量。mn29. 9. 设X1,X2, Xn为来自总体X的一个样本，X, S2分别为样本均值和样本方n差，EX, DX2。(

94、1)确定常数c，使cXi1 Xi为 2的无偏估计；i12(2)确定常数c，使X 2cS2为2的无偏估计。n12n1222解：解：(1)EcXi1 Xi cEXi12EXi1EXi EXii1i122222 2cn122，得c c2i1n11。2n1(2)EX 2cS E X2 2cES2 D X E2X cES2 2n2c22，得c 1。n10.10. 设总体的数学期望为， 方差为2，X1,X2, Xn为取自该总体的一个样本，,an为不全相等的正数，且W a1X1a2X2a1a2anXn为统计量，其中a1,a2,解：解：显然，E X EW，即X与W均为的无偏估计量。 an1，试比较样本均值X与

95、W哪一个更有效。nDW Da1X1a2X2令Fa1,a2,nanXn2ai12i。F21n 2ai 0, , ai，,ana ai1，则ainni1i12in 11即ai2的最小值为。ni1i1nn2又a1,a2,an为不全相等的正数，所以DW2ai1n2i2n D X，从而 X比W更有效。11.11. 在前面的例子中，我们知道，如总体X服从均匀分布，即X Ua,b，X1, minX1,则a,b的最大似然估计量aX2, Xn为该总体的一个样本，是否分别为a,b的的无偏估计？ maxX ,X，问a ,bb1nx a0, 1, a x babxa解：解：fxba。,Fx, a x b，EX2ba其

96、它0,x b1,Xn, maxX ,设b1,Xn的分布函数、密度函数分别为Fnx, fnx，则Fnxxan1, a x bn。Fnx，fnxnFn1xfxban0,其它xaEbxfnxdx xnnababn1dx abn EX， 当n 1时，E bn1不是b的无偏估计。同理可得，a不是a的无偏估计。即b12.12. 设从均值为、方差为 2的总体中分别抽取容量为m、n的两独立样本，X1和X2分别是两样本的样本均值。试证：对于任意常数a,bab 1，Y aX1bX2都是的无偏估计，并确定常数a,b使DY达到最小。证：证：因为X1和X2分别是两样本的样本均值，所以E X1 E X2，D X12m,

97、D X22n，从而E aX1bX2aX1bX2是的无偏估计。 aEXbEX ab，即12 DY D aX1bX2 a2D X1b2D X2a2m b2n2，不难得出，当a mmn, b nmn时，DY达到最小值2mn。13.13. 一个电子线路上电压表的读数X服从,1上的均匀分布，其中是该线路上电压的真值，但它是未知的。假设X1,X2,组样本。(1)证明样本均值X不是的无偏估计；(2)求的矩估计，证明它是的无偏估计。证：证：(1)因为E X EX1 2 ，所以X不是的无偏估计。(2)由矩法，令EX X，即1 2 X, X 1 2。 , Xn是此电压表上读数的一 显然，E E X 1 2 ，故的

98、矩估计是的无偏估计。14.14. 某人为了确定一件物体的重量，将其称了 10 次，得到数据如下：19.8, 20, 20.1, 19.9, 19.9 ,20.3, 20.5, 20.1, 19.7, 20.2。设所称出的该物体的重量服从正态分布N,2，试在下面两种情况下分别求物体重量的置信度为 0.95 的置信区间。(1)已知 0.1；(2)为未知。解：解：X 20.05, S2 0.05833。X z , X z(1)的置信度为1的置信区间为。n2n2 0.05, z212 0.975, z21.96，为20.050.062。n所求置信区间z 0.062 ，2SS。X t (n 1), X

99、t (n 1)(2)的置信度为1的置信区间为n2n2 0.05, t2(n1)t0.025(9) 2.2622,所求置信区间为20.050.17。S0.05833t2(n1)2.2622 0.17，10n15.15. 随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮口速度的样本标准差S 11。设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差置信水平为 0.95 的置信区间。22n1Sn1S。解：解：的置信度为1的置信区间为,22n1n1122222n10.025817.535,2n10.9758 2.18，所求置信区间为21281128112,17.5352.18 7.43,21.07。16.16.实

100、验室里甲、乙两位同学合作做一项实验。乙先休息，甲观察实验情况，然后甲再休息，由乙继续观察实验情况(这是同一项实验在不断地重复进行)。甲得到的实验数据为：12.6, 11.9, 12.8, 13.4, 13.0, 12.7, 13.1；乙得到的实验数据为：13.5, 12.8, 12.7, 13.3, 13.4, 13.1, 12.4, 13.0。已知每次实验的结果服从总体为N,2的正态分布，,2未知。(1)对甲的数据求和置信水平为 0.95 的置信区间；(2)对乙的数据求和置信水平为 0.95 的置信区间；2(3)如甲的数据X N1,12， 乙的数据Y N2,2， 又设1222， 求12置信水

101、平为 0.95 的置信区间；2(4)求方差比122置信水平为 0.95 的置信区间。SS。X t (n 1), X t (n 1)解：(1)的置信度为1的置信区间为n2n2X 12.79,S2 0.22， 0.05, t(n1) t0.025(6) 2.45,2St(n1) 0.44 ，n2所求置信区间为12.790.44。22n1Sn1S。,的置信度为1的置信区间为22n1n1122222n10.025614.449,2n10.97561.237，所求置信区间为21260.2260.2214.449,1.2370.31,1.04。(2)X 13.025,S2 0.14, 0.05,t(n1)

102、t0.025(7) 2.36,2St(n1) 0.32，n2所求置信区间为13.0250.32。222n10.025716.013,2n10.97571.690，所求置信区间为21270.1470.1416.013,1.690.25,0.77。11。X Y Stn n 2(3)12置信度为1的置信区间为12n1n22X Y 0.235, 0.05,t(n1n22) t0.025(13) 2.1604，2Sn11S12n21S22n1n2260.2270.1411 0.42, 0.52，13n1n2所求置信区间为0.2350.420.522.16040.2350.48。22S11 S2的置信区间

103、为12,122。SFm1,n1SFm1,n122122(4)120.05,F0.0256,75.12,F0.9756,70.175，所求置信区间为0.2210.22,5.70.31,9.01。0.14 5.12 0.1417.17.随机地从A批导线中抽取 4 根，又从B批导线中抽取 5 根，测得电阻为A批：0.143,0.142,0.143,0.137；B批：0.140,0.142,0.136,0.138,0.140。设测定数据分别来自分布N1,2、N1,2，且样本相互独立，又1,2,2均为未知，试求12置信度为 0.95 的置信区间。11tn1 n2 2解：解：12置信度为1的置信区间为X

104、Y S。nn122X Y 0.002,Sn11S12n21S22n1n2230.82510541.0451057 0.00308,11 0.76,0.05,t(n1n22) t0.025(7) 2.3646，n1n22所求置信区间为0.0020.003080.762.36460.0020.006。18.18.研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似为 0.05。 取样本容量为m n 20， 得燃烧率的样本均值分别为X118, X2 24。设两样本独立，求两燃烧率总体均值差12置信度为 0.99 的置信区间。11。X Y Stn n 2解：解：12置

105、信度为1的置信区间为12n1n22X Y 6,Sn11S12n21S22n1n22 0.05，11 0.316, 0.05,t(n1n22) t0.005(38) 2.7116，n1n22所求置信区间为60.050.3162.711660.04。19.19.甲、乙两企业均生产同样的铝合金管。为了观察这两企业生产的铝合金管的厚度，随机地抽取了甲生产的管子 10 根，测得样本方差为S12 0.034；随机2地抽取了乙生产的管子 20 根，测得样本方差为S2 0.039。设两样本相互独2立，且甲生产的管子厚度X N1,12，乙生产的管子厚度Y N2,2。2试求方差比122置信水平为 0.95 的置信

106、区间。解：解：1222S11 S2,12置信度为1的置信区间为12。2S2Fm1,n1S2F1m1,n122 0.05,F0.0259,19 2.88,F0.9759,193.66，所求置信区间为 0.03410.034,3.660.30,3.19。0.039 2.88 0.03920.20.(1)随机地从一批货物中抽取 100 件， 检验后发现其中有 20 件次品， 试求这批货物次品率p的置信水平为 0.95 的置信区间。(2)在某一城市中随机地询问了 100 人，发现其中 65 人有手机，试求该城市居民手机拥有率p的置信水平为 0.95 的置信区间。解：解：p的置信水平为1的置信区间近似为

107、p z2p 1 pn, p z2p 1 p。n(1)p 0.2, 0.05, z212 0.975, z21.96，所求置信区间为0.20.80.20.8,0.2 1.960.21.960.20.0784。100100(2)p 0.65, 0.05,z212 0.975, z21.96，所求置信区间为0.650.350.650.350.651.96,0.65 1.960.650.0935。10010021.21.(1)求 14 题中的置信水平为 0.95 的单侧置信上限。(2)求 17 题中1 2的置信水平为 0.95 的单侧置信上限。2(3)求 19 题中122的置信水平为 0.95 的单侧

108、置信上限。解：解：(1)已知 0.1时，的置信水平为1的单侧置信上限为X nz。0.05,z10.95,z1.645，所求单侧置信上限为20.050.11.645 20.050.052。10St(n1)。n为未知时，的置信水平为1的单侧置信上限为 0.05, t(n1)t0.05(9) 1.8331,所求单侧置信上限为20.05 0.14。0.058331.8331 0.14，10(2)1 2的置信水平为 0.95 的单侧置信上限为X Y S212211tn1n22 0.0020.003080.761.8946n1n2S121(3)的置信水平为1的单侧置信上限为2。S2F1m1,n10.05,

109、F0.959,190.34，所求单侧置信上限为0.0341 2.56。0.039 0.3422.22.为研究某种汽车轮胎的磨损特性，随机地选择 16 只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止，记录所行驶的路程如下：41250,40187,43175,41010,39265,41872,42654,41287,38970,40200,42550,41095,40680,43500,39775,40400。假设这些数据来自正态总体N,2，其中,2未知，试求的置信水平为0.95 的单侧置信上限。S解：解：为未知时，的置信水平为1的单侧置信区间为X t(n1),。nX 41116.875,S21.81106，

110、0.05, t(n1)t0.05(15)1.7531，所求单侧置信上限为S1.81106X t(n1) 411161.7531 40526。16n习题习题 8 81. 1. 试叙述区间估计与假设检验之间的区别与联系。解：解：对于未知参数，给出一个区间做为的范围，并同时给出此区间包含参数真值的可信程度。这种形式的估计称为区间估计。在总体分布函数完全未知或只知其形式但不知其参数的情况下， 为了推断总体分布或总体分布中的未知参数，可先提出假设，再根据总体的样本对假设进行检验，从而决定接受或拒绝假设，这一过程称为假设检验。区间估计与假设检验都是利用样本对所研究的总体进行统计推断。 区间估计是用一个区间

111、对未知参数进行估计， 而假设检验则是对总体是否服从某种分布或参数是否为某值进行检验。2. 2. 一食品企业生产的一批盒装饼干，每盒标定净重 1 千克。质检部门从某一超市中随机抽取了 10 盒，称得它们的质量分别为：0.98, 0.97, 1.02, 1.01, 1.03, 0.98, 1.04, 1.04, 0.99, 1.01。假设每盒饼干的实际质量服从正态分布N,2，试在(1) 0.01；(2)未知的情况下检验该企业饼干净重是否为 1 千克 0.05。解：解：已知01，经计算x 1.007, s 2.58102，要检验的假设为H0:01。(1) 0.01，构造统计量ZX0n，则Z N(0,

112、1)。令PZ z，即PZ z0.025 0.975，得z0.0251.96。2根据样本观察值，z0x0n1.00712.2136，0.01 10因为z0 z0.025，故拒绝H0，即认为该企业饼干净重不是 1 千克。(2)未知，构造统计量tX 0Sn，则t t(9)。令Pt t(n 1)，即Pt t0.025(9) 0.025，得t0.025(9) 2.26。2根据样本观察值，t0x0sn1.0071 0.8580，22.581010因为t0 t0.025(9)，故接受H0，即认为该企业饼干净重是 1 千克。3. 3. 设某地区的噪声服从正态分布N,2。现在该地区随机观察 16 次，测得噪声的

113、平均值X 65.2，样本方差S2 6.25。试在显著性水平 0.01下检验“该地区的平均噪声 64”的结论是否正确。解：解：已知 64，X 65.2，S2 6.25，H0:该地区的平均噪声 64。构造统计量tX，则t t(15)。Sn令Pt t(n 1)，即Pt t0.005(15)0.005，得t0.005(15) 2.95。2根据样本观察值，t0x65.264 2.4，sn6.2510因为t0t0.025(15)，故接受H0，即认为该地区的平均噪声是 64。4. 4. 设某厂生产的产品尺寸服从正态态分布N,2，规定标准尺寸为 120mm。现从该厂抽得 5 件产品，测量其尺寸分别为119,

114、120, 119.2, 119.7, 119.6。试判断产品是否符合规定要求，即检验假设H0:120 0.05。解：解：已知120，X 119.5，S2 0.16，H0:120。构造统计量tX，则t t(4)。Sn令PZ z，即PZ z0.025 0.975，得z0.0251.96。2根据样本观察值，t0x119.5120 2.5，sn0.44因为t0t0.025(4)，故拒绝H0，即认为产品不符合规定要求。5. 5. 设甲、乙两煤矿所产的煤中含煤粉分别为N1,7.5和N2,2.6，为检验这两个煤矿的煤含煤粉率有无明显差异， 从两矿中取样若干份，测试结果如下：甲矿(%)：24.3, 20.8,

115、 23.7, 21.3, 17.4；乙矿(%)：18.2, 16.9, 20.2, 16.7。试在显著性水平 0.05下，检验“含煤粉率无差异”这个假设。2解：解：已知X 21.5,127.5,Y 18,2 2.6,n15,n2 4，H0:12。构造统计量Z0XY，则Z N(0,1)。1212n122n2令PZ z，即PZ z0.025 0.975，得z0.0251.96。2XY2.39，根据样本观察值，z 12012n122n2因为z0 z0.025，故拒绝H0，即认为含煤粉率有差异。6. 6. 为了比较 A, B 两个不同地区所种小麦的蛋白质含量， 随机抽取样本获得数据如下：A 地区小麦的

116、蛋白质含量 X：12.6, 13.4, 11.9, 12.8, 13.0；B 地区小麦的蛋白质含量 Y：13.1, 13.4, 12.8, 13.5, 13.3, 12.7, 12.4。X, Y 都服从正态分布，且具有相同方差。试在显著性水平 0.01下检验两种小麦的蛋白质含量有无差异。2解：解：已知X 12.74,S12 0.308,Y 13.03,S2 0.166,n15,n27，H0:12。XY构造统计量t ，则t t(n n12S1n11n2122)。Sn11S12n21S22n1n22 0.472，t0XY1.05，12S1n11n2tn1n22t0.005103.17，t0 t0.

117、05(10)，2从而应接受H0，即认为两种小麦的蛋白质含量无差异。7. 7. 某地区不少青少年迷恋上网，有报道认为该地区青少年平均每星期上网 6 小时。 某学校校长在自己的学校里抽取了 100 个同学， 调查后发现其中 10 人上网 2 小时，50 人上网 5 小时，20 人上网 6 小时，15 人上网 8 小时，5 人不上网。问显著性水平 0.05下，能否认为该校的情况比报道的好？S2 7.36。解：解： 待检假设为H0: 6， 100 个同学的加权平均上网时间为X 5.1，TnX 6 N0,1， 0.05，z0.051.645，拒绝域为W t 1.645。S1005.16 3.32， 因为

118、tn 1.645， 所以应拒绝H0，7.36100统计量Tn的值为tn即能认为该校的情况比报道的好。8. 8. 某厂生产的瓶装纯净水要求标准差 0.02L， 现在从超级市场上随机抽取 20瓶这样的纯净水，发现它们所装水量的样本标准差S 0.03L，假定瓶装纯净水装水量服从正态分布，试问显著性水平 0.05下，能否认为它们达到标准差 0.02L的要求？22解：解：待检假设为H0: 0.02，n 20,n10.0251932.852,2n121220.975n1S2198.907，观察值22 42.75。根据2检验法，拒绝域为W 0,8.907) (32.852,)，故不能认为它们达到标准差 0.

119、02L的要求9. 9. 在漂白工艺中要改变温度对针织品断裂强度的影响，在两种不同的温度下分别做了 8 次试验，测得断裂强度的数据如下：70C80C20.517.718.820.319.820.020.918.821.519.019.520.121.020.221.219.1判断两种温度下的强力有无差别(可认为断裂强度服从正态分布， 0.05)。2解：解：已知X 20.4,S12 0.8857,Y 19.4,S2 0.8286,n1 n28，H0:12。构造统计量t XY，则t t(n n12S1n11n2122)。Sn11S12n21S22n1n22 0.9258，t0XY2.16，12S1n

120、11n2tn1n22t0.02514 2.1448，t0 t0.025(14)，2从而应拒绝H0，即认为两种温度下的强力有差别。210.10. 试对第 6 题的数据，在显著性水平 0.05下，检验原假设H0:122以及2备择假设H1:122。2解：解：已知S12 0.308,S2 0.166,n15,n2 7，S12构造统计量F2，则F F(n11,n21)。S1F12(n11,n21) F0.975(4,6) 0.16, F2(n11,n21) F0.025(4,6) 9.20，S120.3082F21.86，在拒绝域外，从而应接受H0，即认为122。S10.16611.11. 为了了解 A

121、, B 两种安眠药的效果情况，找了 10 个患者记录了他们服药后的睡眠改变时间：A 药：1.4, -1.5, 4.0, -2.5, 4.5, 5.5, -2, 1.5, 0.5, 5.5；B 药：1.9, 3.0, -0.5, 3.0, 0.8, 2.5, -0.5, 2.5, 2.0, 2.5。其中“”号为睡眠减少，并设患者服药后的睡眠改变时间服从正态分布，试比较两种药效果和稳定性0.1。2解：解：已知X 1.69,S129.461,Y 1.72,S21.768,n1 n210，H0:12。构造统计量t XY，则t t(n n12S1n11n2122)。Sn11S12n21S22n1n22

122、2.369，t0XY0.0283，12S1n11n2tn1n22t0.05181.7341，t0t0.05(18)，2从而应接受H0，即认为两种药效果无差别。2下面检验假设H0:122。S12构造统计量F2，则F F(n11,n21)。S2统计量的值F9.4615.35，F0.1(n11,n21) F0.1(9,9) 2.44，1.7682因为F F(n11,n21)，所以应拒绝H0，即认为122，亦即认为 B 种药稳定性较高。12.12. 某种导线要求电阻标准差不超过0.005， 今在生产的一批导线中随机抽取 9根，测量后算得S 0.07。设电阻测量值服从正态分布，问在 0.05下，能否认为

123、这批导线的电阻值满足原来的要求？22解：解：待检假设为H0: 0.005，n 9,n10.025817.535,2n121220.975n1S28 2.180，观察值22 0.0408。根据2检验法，拒绝域为W 0,2.180) (17.535,)，观察值落在拒绝域内，故认为这批导线的电阻值不满足原来的要求。13.13. 某厂生产了一大批产品，按规定次品率p 0.05才能出厂，否则不能出厂。现从产品中随机抽查50件， 发现有4件次品， 问该批产品能否出厂( 0.05)?解：解：问题归结为在 0.05下检验假设H0: p 0.05,H1: p 0.05。这是一个单侧检验问题，用u检验法，H0的拒

124、绝域为U X p0p01 p0n u。已知，n 50, p00.05, X 4 500.08，代入得U 0.080.0550 0.97 u u0.051.645，0.050.95故应接受H0，即该批产品能出厂。14.14. 设需要对某一正态总体的均值进行假设检验：H0:15, H1:15。已知 2 2.5，取 0.05，若要求当H1中的13时犯第二类错误的概率不超过 0.05，求所需的样本容量。 。解：解：0.05,z z1.645,2.5 1.5811, 2，z根据公式n z 6.76，得样本容量n 7。15.15. 某汽车修理公司想知道每天送来修理的车数是否服从泊松分布，下表给出了该公司

125、250 天的送修车数(记送修车数M，送这么多车的天数m)：M0218221331444548639722817913105m试在 0.05下，检验原假设H0:一天内送修车数服从泊松分布。 x 5.0，解：解：首先由最大似然估计法估计参数得若H0为真，则iX ii Pp用2检验法，构造统计量e5ie5,i 0,1,2,i!i!，i)2( finp2(411)，inpi124计算结果为2=1.460(表格略)。 因为2(411)0.052(2)=5.9911.46， 所以在显著性水平为 0.05 下接受H0，即认为总体服从泊松分布。16.16. 为检验一颗骰子的均匀性，对这颗骰子投掷 120 次，

126、观察到出现 1,2,3,4,5,6点的将数分别为 23,26,21,20,15,15，试在 0.05下，检验原假设：这颗骰子是均匀的，即每个点出现的概率均为1 6。解：解：设Ai表示第i点出现，i 1,2,计算结果见下表：i,6，则待检假设为H0:PAi1 6。在H0成立的条件下，理论概率pi pAi1 6，由n 120得频率npi 20。fi23pi1 6npi20finpi2npi19 2023456合计26212015151201 61 6202020202036 201 2001 61 61 6225 2025 204.822又k 6, 0.05，查表得k 10.05511.071，由

127、上表知，2i16finpinpi 4.8 11.071，故接受H0，即认为这颗骰子是均匀的。17.17. 甲、乙两条生产线生产相同的钢管。从这两条生产线上生产的钢管中，随机抽取一些钢管，测量其直径得到数据如下：甲生产线：40.4, 40.2, 39.8, 39.6, 40.7, 39.4, 39.3, 40.8；乙生产线：39.5, 40.3, 40.9, 39.7, 40.6, 40.0, 39.2, 39.9, 40.1。试用秩和检验法检验这两条生产线所生产的钢管直径是否服从相同的分布。解：解：将两组测量值按自小到大的次序排列，如下表所示：秩甲乙139.2239.334539.6639.7

128、739.889101112131415161740.240.340.440.640.740.840.939.439.539.94040.1甲生产线生产的钢管直径的秩和为R1 25711131516 69。显然T1 R1T2， 故可以认为这两条生产m 8,n 9, 0.05,T151,T293，线所生产的钢管直径服从相同的分布。习题习题 9 91. 1. 把大片条件相同的土地分成 20 个小区，播种 4 种不同的小麦， 进行产量对比试验。 每一种播种在 5 个小区地块上， 共得到 20 个小区产量的独立观察值如下表表示：小区产量品种因素A1试验批号132.333.330.329.3234.033

129、.034.326.0334.336.335.329.8435.036.932.328.0536.534.535.828.8A2A3A4问不同品种小麦的小区产量有无显著差异 0.05？解：解：本问题是在 0.05下检验假设：H0:1234，H1:1,2,3,4不全相等。计算结果见下表：12345Ti172.1174168141.95Ti29618.41302762822420135.61452xj152ijA132.334.034.335.036.55933.036078.335665.64035.97A233.333.036.336.934.5A330.334.335.332.335.8A42

130、9.326.029.828.028.845Ti2 21650.8T 656i142ijxi1j12ij 21712.93T21STx 21712.936562196.13，n20i1j1Ti2T21SA 21650.86562134，n20i1m4SE STSA196.13134 62.13。方差分析表如下：方差来源因子误差总和平方和自由度F 值临界值显著性*SA196SE 62r 1 3nr 16F SAfA16.86F3,163.240.05SEfEST17.83n119因为F F0.053,16，所以F落在拒绝域中，拒绝H0，即认为不同品种小麦的小区产量有显著差异。2.2. 粮食加工厂试

131、验 5 种储藏方法，检验它们对粮食含水率是否有显著影响。在储藏前这些粮食的含水率几乎没有差别，储藏后含水率如下表：小区产量A1试验批号17.35.48.17.97.128.37.46.49.537.67.110.048.458.3品种因素A2A3A4A5问不同的储藏方法对含水率的影响是否有无显著差异 0.05？解：解：本问题是在 0.05下检验假设：H0:12345，H1:1,2,3,4,5不全相等。计算结果见下表：A117.35.48.17.97.128.37.46.49.55ni37.67.110.048.458.3Ti39.919.914.527.47.15Ti1592.01396.01

132、210.25750.7650.415ni2xj1ni2ij319.39134.33106.57252.6650.41A2A3A4A5Ti2856.19T 108.8ni1ixi1j12ij836.36T21STx 863.36108.8217.8286，n14i1 j12ijTi2T21SA856.19108.8210.66，n14i1ni5SE STSA17.828610.66 7.17。方差分析表如下：方差来源因子误差总和平方和自由度F 值临界值显著性*SA10.66r 1 4SE 7.17nr 9F SAfA 3.335SEfEF0.054,93.63ST17.83n113因为F F0.

133、054,9，所以F未落在拒绝域中，接受H0，即认为不同的储藏方法对含水率的影响没有显著差异。3.3. 试根据下面的试验记录表，分析出生月份对新生儿的体重是否显著影响 0.05？性出生月份123456789101112男308430203306329433063312317036943340328033543210别女318631593200290633682834311431683119323430743360解：解：STyij yi1 j1rm2 689013.3，SAm yi yi1r2 261262.3，SE STSA 427751，fA11, fe12，F SAfA 0.666 F0.

134、0511,12 2.71，SEfE即出生月份对新生儿的体重没有显著影响。4. 4. 某酿造企业有化验员 3 名，担任发酵粉的颗粒检验，今有 3 名化验员每天从该企业所产的发酵粉中抽样一次， 连续 10 天，每天检验其中所含颗粒的百分率，结果如下表：化验员A2A3A3化验时间B1B2B3B4B5B6B7B8B9B1010.110.010.24.74.94.83.13.13.03.03.23.07.87.87.88.28.28.47.87.77.86.06.26.14.95.15.03.43.43.3试分析 3 名化验员的化验技术与每天所抽样本之间有无显著差异 0.05?解：解：化验技术：STyi

135、j yi1j1rmr2 20，SAm yi yi12 9.5，SE STSA10.5，fA19, fE10，F SAfA 0.476 F0.0519,10 2.77，SEfE即化验员的化验技术之间无显著差异。化验时间：STyij yi1 j1rmr2 247.5，SAm yi yi12 217.533，SE STSA 29.967，fA19, fE10，F SAfA 3.821 F0.0519,10 2.77，SEfE即不同化验时间的样本有显著差异。5. 5. 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验 ,得到腐蚀深度与腐蚀时间之间对应的数据：时间深度561010151020133016401750196

136、0237025902912046试求腐蚀深度对腐蚀时间的回归方程。解：解：xi 510,yi 214,xiyi13910,xi2 36750，i1i1i1i1nnnna xy xx y2iiiii1i1ni1nnnninnx xii1i12innni1236750214510139105.34，11367505102b nxiyixiyii1i1nnx xii1i12ini121391011510214 0.30,11367505102腐蚀深度对腐蚀时间的回归方程为y 5.340.30x。6. 6. 有人认为，企业的利润水平和它的研究费用之间存在近似的线性关系。下面的数据能否证实这种结论 0.

137、05？时间费用利润199510100199610150199782001998818019998250200012300200112280200212310200311320200411300解：解：假设企业的利润水平和它的研究费用之间存在近似的线性关系，则xi1ni102,yi 2390,xiyi 25040,xi21066，i1i1i1nnna xy xx y2iiiii1i1ni1nnnninnx xii1i12innni121066239010225040 24.77，2101066102b nxiyixiyii1i1nnx xii1i12ini1210250401022390 25.

138、87,2101066102利润水平和研究费用的线性关系为y 25.87x24.77，相关系数为0.57。tn2t0.0258 2.306，Sxx 25.6,Syy53090,Sxy 662，2SyybSxyn2 67.05，t bSxx1.95 tn2，2综上所述， 回归效果不显著，即不能认为企业的利润水平和它的研究费用之间存在近似的线性关系。7. 7. 对不包含常数项的一元线性回归模型Yi bxii,i N0,2,各i相互独立i 1,2,；(1)求斜率b的估计b,n。(2)导出假设H0：b 0的检验统计量。解：解：(1)由题意知，a xy xx y2iiiii1i1ni1nnnninxi2x

139、ii1i1nnni12 0，即xi1n2iy xx y，iiiii1i1i1nnn代入b nxiyixiyii1i1nnnx xii1i12ini12，得b yxi1nnii1ny。xi(2)将上述结果代入得SyybSxyn2yi12ib2nxi12in2，2n2n2xinxbi1。假设H0：b 0的检验统计量为t Sxxbn2n2yibxi2i1i18. 8. 为了解某商品的供给量与销售价格之间的相关关系，在一定的时间内对该商品的供给量与销售价格作里观察，得到数据如下，其中销售价格记为xi，供给量记为Yi，试分析该商品的供给量与销售价格之间的相关关系 0.05。xi7571272651957

140、10608551270655117095312761056Yi解：解：xi1ni112,yi 732,xiyi 7011,xi21100，i1i1i1nnna xy xx y2iiiii1i1ni1nnnninnx xii1i12innni1211007321127011 30.44，2121100112b nxiyixiyii1i1nnx xii1i12ini12127011112732 3.27，2121100112X与Y的一元线性回归方程为Y 30.44 3.27X。tn2t0.02510 2.228，Sxx54.67, Syy802,Sxy179，2SyybSxyn2 4.65，t b

141、Sxx 5.20 tn2，即回归效果显著。29.9. 随机抽取了 10 个家庭，调查了他们家庭的月收入X（单位：百元）和月支出Y（单位：百元） ，记录于下表：家庭收入、支出数据表X2018151420172520161420191817191822201613Y(1)在直角坐标系下作X与Y的散点图，判断X与Y是否存在线性相关关系；(2)试求X与Y的一元线性回归方程；(3)对所得的回归方程作显著性检验 0.05；(4)对家庭月收入X017，求对应Y0的点预测和包含概率为 95%的预测区间。解：解：(1)X与Y的散点图如下：从图中可以看出，X与Y存在近似线性关系。(2)xi191,yi170,xi

142、yi3310,xi23731，i1i1i1i1nnnna xy xx y2iiiii1i1ni1nnnninnx xii1i12innni1237311701913310 2.48，2103731191b nxiyixiyii1i1nnx xii1i12ini12103310191170 0.76，2103731191X与Y的一元线性回归方程为Y 2.48 0.76X。(3)tn2t0.0258 2.306，Sxx82.9,Syy58,Sxy 63，2SyybSxyn21.125，t bSxx 6.15 tn2，即回归效果显著。2(4)对应于X017的Y0的点预测值为Y 2.480.7617

143、15.40。X0 X1Y0的置信度为1的预测区间为abX0tn21nSxx22，11nX0 XSxx211719.11.125 11.208，所求预测区间为1082.9215.402.786。10.10.设某河流的一个水文检测站观测到的河水年流量为Y，该站上游区域年平均降水量为X1，年平均饱和差为X2，现有 14 年的观测记录列于下表：ix1x217202553357545485572645375408579951510576115471256813720147001.802.671.752.072.493.591.882.222.413.031.831.901.982.90290135234

144、18214569205151131106200224271130Y(1)求Y对X1和X2的二元线性回归方程；(2)对回归方程作显著性检验 0.05；(3)对回归系数作显著性检验 0.05；(4)求出每个回归系数的置信区间(置信系数为 95%)；0(5)设某年x10 600,x2 2.50，求对应的Y0的点预测和区间预测（包含概率为0.95） 。a x1b1 x2 y解：解：(1)将数据代入方程组l11b1l12b2l1y后可解得l21b1l22b2l2ya 209.875,b10.292,b2 81.647，所以Y对X1，X2的二元线性回归方程为Y 209.8750.292X187.647X2

145、。(2)回归方程的显著性检验：二元线性回归方差分析表方差来源回归剩余总和平方和46788.626104.59652893.21自由度21113F 值42.155临界值显著性*F0.052,113.98因为F F0.052,11，所以认为Y与X1, X2之间的线性相关关系显著。(3)回归系数的显著性检验：tn p1t0.02511 2.201，t13.286,t2 7.044，tit0.02511，所以认为回归系数b1,b2显著。(4)b1,b2置信度为 0.95 的置信区间分别为0.096,0.488,115.03,60.26。0(5)x10 600,x2 2.50时，Y0的点预测值为165.

146、96。2Y0的包含概率为 0.95 的区间预测为114.86,217.32。11.11. 某化工产品的生产中，影响产品收率Y的主要变量为化学反应时间X1和反应温度X2，为提高收率希望找出Y与X1，X2的经验回归方程，做了 9 次试验生产获得了有关数据，见下面的化学反应试验数据，试完成下列计算：(1)求Y对X1，X2的二元线性回归方程；(2)对回归方程作显著性检验 0.05；(3)对回归系数作显著性检验 0.05。ix1x2Y12345673030404035353515016015016015515515539.340.040.941.540.340.540.789353515515540.2

147、40.6a x1b1 x2 y解：解：(1)将数据代入方程组l11b1l12b2l1y后可解得l21b1l22b2l2ya 24.944,b1 0.155,b20.065，所以Y对X1，X2的二元线性回归方程为Y 24.9440.155X10.065X2。(2)回归方程的显著性检验：二元线性回归方差分析表方差来源回归剩余总和平方和2.8250.1773.002自由度268F 值47.8临界值显著性*F0.052,65.14因为F F0.052,6，所以认为Y与X1, X2之间的线性相关关系显著。(3)回归系数的显著性检验：tn p1t0.0256 2.4469，t19.019,t23.782，

148、t1,t2t0.0256，所以认为回归系数b1,b2显著。12.12. 设Y为树干的体积，X1为离地面一定高度的树干直径，X2为树干高度，一共测量了 31 棵树，数据列于下表，我们的目的是要研究Y与X1，X2的关系，以便用简单方法从X1和X2估计一棵树的体积，进而估计一片森林的木材储量。树干体积问题数据表树干体积问题数据表2X18.308.608.8010.5010.7010.8011.0011.0011.1011.2011.30X270.0065.0063.0072.0081.0093.0066.0075.0080.0075.0079.00Y10.3010.3010.2016.4018.80

149、19.7015.6018.2022.6019.9024.20X111.4011.4011.7012.0012.9012.9013.3013.7013.8014.0014.20X276.0076.0069.0075.0074.0085.0086.0081.0064.0078.0080.00Y21.0021.4021.3019.1022.2033.8027.4025.7024.9034.5031.70X114.5016.0016.3017.3017.5017.9018.0018.0020.60X274.0072.0077.0081.0082.0080.0080.0080.0087.00Y36.30

150、38.3042.6055.4055.7058.3051.5051.0077.00(1)作Y对X1，X2的二元线性回归方程；(2)作回归方程显著性检验 0.05；(3)作回归系数显著性检验 0.05；0(4)对x1011.5,x2。80，求对应的Y0的点预测和区间预测（包含概率为0.95）a x1b1 x2 y解：解：(1)将数据代入方程组l11b1l12b2l1y后可解得l21b1l22b2l2ya 50.868,b1 4.850,b2 0.219，所以Y对X1，X2的二元线性回归方程为Y 50.8684.850X10.219X2。(2)回归方程的显著性检验：二元线性回归方差分析表方差来源回归剩余总和平方和自由度22830F 值228.1临界值显著性*76374698106F0.052,283.34因为F F0.052,28，所以认为Y与X1, X2之间的线性相关关系显著。(3)回归系数的显著性检验：tn p1t0.02528 2.0484，t118.232t0.02528,t21.821t0.02528，所以认为回归系数b1显著，而b2不显著。0(4)x1011.5,x280时，点预测值为Y0 22.427。2Y0的包含概率为 0.95 的区间预测为4.72,68.09。