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1、 第二十六章第二十六章 二次函数二次函数讨论与思考：讨论与思考：1、正方体的六个面是全等的正方形，设、正方体的六个面是全等的正方形，设 正方体的棱长为正方体的棱长为x，表面积为，表面积为y，显然，显然 对于对于 x 的每一个值，的每一个值， y 都有一个对应都有一个对应 值，即值，即 y 是是 x 的函数，他们的具体关的函数，他们的具体关 系是可以表示为什么？系是可以表示为什么？y=6x2x2、n个球队参加比赛，每两队之间进行一个球队参加比赛，每两队之间进行一 场比赛场比赛. 比赛的场次数比赛的场次数 m 与球队数与球队数 n 有有 什么关系？什么关系？讨论与思考：讨论与思考：即即3、多边形的
2、对角线数、多边形的对角线数d与边数与边数n有什么关有什么关 系？系？讨论与思考：讨论与思考：即即4、某工厂一种产品现在的年产量是、某工厂一种产品现在的年产量是20件，件， 计划今后两年增加产量。如果每年都计划今后两年增加产量。如果每年都 比上一年的产量增加比上一年的产量增加 x 倍，那么两年倍，那么两年 后这种产品的产量后这种产品的产量 y 将随计划所定的将随计划所定的 x 的值而确定，的值而确定， y 与与 x 之间的关系应之间的关系应 怎样表示？怎样表示？讨论与思考：讨论与思考：y=20(1+x)2即即 y=20x2+40x+20yydxxn 认真观察以上出现的三个函数解析式，认真观察以上
3、出现的三个函数解析式，分别说出哪些是自变量和函数分别说出哪些是自变量和函数这些函数有什这些函数有什么共同点？么共同点？这些函数这些函数自变量自变量的最高的最高次项都是次项都是二次二次！y=6x2y=20x2+40x+20自变量自变量函数函数函数解析式函数解析式二次函数的定义：二次函数的定义：注意：注意：1、其中，、其中，x是自变量，是自变量， ax2是二次项，是二次项，a是二次项系数，是二次项系数， bx是一次项，是一次项，b是一次项系数，是一次项系数， c是常数项是常数项. 一般地，形如一般地，形如 _的函数，叫做的函数，叫做二次函数二次函数. 2、函数解析式的右边最高次数为函数解析式的右边
4、最高次数为 2，可以没，可以没 有一次项和常数项，但不能没有二次项有一次项和常数项，但不能没有二次项.y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，是常数，a0）1.1.下列函数中下列函数中, ,哪些是二次函数？哪些是二次函数？(1) y=3(x- -1)+1(3) s=3- -2t(5) y=(x+3)- -x(6) v=10r（是）（是）（否）（否）（是）（是）（否）（否）（否）（否）（是）（是）(7) y=x+x+25(8) y=2+2x（否）（否）（否）（否）知识运用知识运用例例1. 判断下列函数是否为二次函数，如果是，判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数指出其中常数a、b、c的
5、值的值.(1) y = 1- -3x2 (2) y = x(x- -5) (3) y = x2 - - x + 1 (4) y = 3x(2- -x) + 3x2(5) y = x4 + 2x2- -1 (6) y = x+32(7) y = (8) y =例例2. 关于关于 x 的函数的函数 y=(m+1)xm2- -m 是二次函是二次函数数, 求求 m 的值的值.解解: : 由题意可得：由题意可得：m2 - -m=2m+10解得：解得：m=2. 当当m=2时，函数时，函数为二次函数为二次函数.注意注意: : 二次函二次函数的二次项系数的二次项系数不能为数不能为0.0.1. .若函数若函数y
6、=( (m2- -1)x m2- -m为二次函数，求为二次函数，求m的的值值. .基础巩固基础巩固2. 请举请举 1 个符合以下条件的个符合以下条件的 y 关于关于 x 的二的二次函数的例子次函数的例子2. 请举请举 1 个符合以下条件的个符合以下条件的 y 关于关于 x 的二的二次函数的例子次函数的例子基础巩固基础巩固1. 函数函数y=ax2+bx+c(其中其中a，b，c 是常数是常数)，当当a，b，c满足什么条件时满足什么条件时(1)它是二次函数？它是二次函数？(2)它是一次函数？它是一次函数？(3)它是正比例函数？它是正比例函数？综合运用综合运用2. 如果函数如果函数 y=(k- -3)
7、xk2- -3k+2+kx+1 是二次函是二次函数，则数，则 k 的值一定是的值一定是_.1. 函数函数y=ax2+bx+c(其中其中a，b，c 是常数是常数)，当当a，b，c满足什么条件时满足什么条件时(1)它是二次函数？它是二次函数？(2)它是一次函数？它是一次函数？(3)它是正比例函数？它是正比例函数？综合运用综合运用3. 如果函数如果函数 y=(k- -3)xk2- -3k+2+kx+1 是二次函是二次函数，则数，则 k 的值一定是的值一定是_.02. 如果函数如果函数 y=xk2- -3k+2 +kx+1 是二次函数，是二次函数，则则 k 的值一定是的值一定是_. 0或或3综合运用综
8、合运用例例4写出下列各函数关系式，并判断它们是哪种写出下列各函数关系式，并判断它们是哪种函数函数.(1)写出正方体的表面积写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；之间的函数关系；(2)写出圆的面积写出圆的面积y(cm2)与它的周长与它的周长x(cm)之间的之间的函数关系；函数关系；(3)菱形的两条对角线的和为菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面求菱形的面积积S(cm2)与一对角线长与一对角线长x(cm)之间的函数关系之间的函数关系解解: (1) 由题意得由题意得S=6a2(a0) ，S是是a的二次函数的二次函数；(2)由题意得由题意得 , y是是x
9、的二次函数；的二次函数；例例4写出下列各函数关系式，并判断它们是哪种写出下列各函数关系式，并判断它们是哪种函数函数.(1)写出正方体的表面积写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；之间的函数关系；(2)写出圆的面积写出圆的面积y(cm2)与它的周长与它的周长x(cm)之间的之间的函数关系；函数关系；(3)菱形的两条对角线的和为菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面求菱形的面积积S(cm2)与一对角线长与一对角线长x(cm)之间的函数关系之间的函数关系(3)由题意得由题意得 (0x26)，S是是x的二次函数的二次函数已知二次函数已知二次函数y=2(x-
10、 -1)2+4.能力提升能力提升 注意注意: : 当二次函数表示某个实际问题时当二次函数表示某个实际问题时, ,还必须根据题意确定自变量的取值范围还必须根据题意确定自变量的取值范围. .例如：圆的面积例如：圆的面积 y ( ) ( )与圆的半径与圆的半径 x（cmcm) )的函数关系是的函数关系是 y =x2能力提升能力提升小结小结 拓展拓展 1.定义：一般地，形如定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a，b，c是常数，是常数，a0)的函数叫做的函数叫做x的的二次函数二次函数. 一般形式的几种不同表示形式一般形式的几种不同表示形式: (1)y=ax(a0，b=0，c=0,). (2)y=ax+
11、c(a0，b=0，c0). (3)y=ax+bx(a0，b0，c=0). 2.定义的实质是：定义的实质是：ax+bx+c是整式，自变量是整式，自变量x的最高次数是二次，自变量的最高次数是二次，自变量x的取值范围的取值范围是全体实数是全体实数. m取何值时，函数是取何值时，函数是y= (m+1)xm2- -2m- -1+(m- -3)x+m 是二次函数？是二次函数？ 基础巩固基础巩固 已知函数已知函数 (1) k为何值时，为何值时，y是是x的一次函数？的一次函数？ (2) k为何值时，为何值时，y是是x的二次函数？的二次函数？解：解：(1)根据题意得：根据题意得：k=1时，时，y 是是 x 的一次函数的一次函数.(2)当当 k2- -k0，即，即 k0 且且 k1 时，时，y 是是 x 的二次函数的二次函数.综合运用综合运用 要用长要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为一个矩形的花圃，设连墙的一边为x，矩形，矩形的面积为的面积为y，试，试(1)写出写出y关与关与x的函数关系式的函数关系式.(2)当当x=3时，矩形的面积为多少时，矩形的面积为多少?(0x10)解：解：(1) y=x(20 - -2x)= - -2x2+20x(2) y= - -232+203 = 42(m)能力提升能力提升
