运筹学1线性规划PPT课件

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1、运筹学运筹学管理学院管理学院朱卫未朱卫未运运 筹筹 帷帷 幄幄 之之 中中决决 胜胜 千千 里里 之之 外外线性规划及单纯形法LinearProgramming第一章第一章第一章线性规划线性规划 LP的数学模型的数学模型 图解法图解法 单纯形法单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用模型的应用本章主要内容：本章主要内容：第一章第一章线性规划线性规划1.规划划问题生生产和和经营管理中管理中经常提出如何合理安排，使人力、常提出如何合理安排，使人力、物力等各种物力等各种资源得到充分利用，源得到充分利用，获得最大的效益，得最大的效益，这就是就是规划划问题。

2、线性规划通常解决下列两类问题：线性规划通常解决下列两类问题：线性规划通常解决下列两类问题：线性规划通常解决下列两类问题：（1 1）当任）当任务或目或目标确定后，如何确定后，如何统筹兼筹兼顾，合理安排，用，合理安排，用最少的最少的资源源 （如（如资金、金、设备、原、原标材料、人工、材料、人工、时间等）等）去完成确定的任去完成确定的任务或目或目标（2 2）在一定的）在一定的资源条件限制下，如何源条件限制下，如何组织安排生安排生产获得最得最好的好的经济效益（如效益（如产品量最多品量最多 、利、利润最大最大. .）第一章第一章线性规划线性规划某工厂某工厂拥有有A A、B B、C C三种三种类型的型的设

3、备，生，生产甲、甲、乙两种乙两种产品。每件品。每件产品在生品在生产中需要占用的中需要占用的设备机机时数，每件数，每件产品可以品可以获得的利得的利润以及三种以及三种设备可利用的可利用的时数如下表所示：数如下表所示：例一：例一：产品甲品甲产品乙品乙设备能力能力（h h）设备A A3 32 26565设备B B2 21 14040设备C C0 03 37575利利润（元（元/ /件）件）1500150025002500求求该工厂工厂应该如何生如何生产才能才能获得最大利得最大利润。目目标函数函数 Max Max z z =1500=1500x x1 1+2500+2500x x2 2约束条件束条件 s

4、.t.s.t. 3 3x x1 1+2+2x x2 2 6565 2 2x x1 1+ + x x2 2 4040 3 3x x2 2 7575 x x1 1 ,x,x2 2 0 0 subject toMaximize第一章第一章线性规划线性规划习题习题1 1某厂生产两种产品，下表给某厂生产两种产品，下表给出了单位产品所需资源及单出了单位产品所需资源及单位产品利润位产品利润 问：应如何安排生产计划，才问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？能使总利润最大？ 解：解：1.1.决策变量：设产品决策变量：设产品I I、IIII的产量的产量 分别为分别为 x1、x22.2.目标函数：设总利润为目标

5、函数：设总利润为z z，则有：，则有： maxz=2x1+x23.3.约束条件：约束条件： 5x2156x1+2x224 x1+x25 x1， x20第一章第一章线性规划线性规划 某混合某混合饲料加工厂料加工厂计划从市划从市场上上购买甲、乙两种原料甲、乙两种原料生生产一种混合一种混合饲料。混合料。混合饲料料对VA、VBl、VB2和和VD的最的最低含量有一定的要求。已知低含量有一定的要求。已知单位甲、乙两种原料位甲、乙两种原料VA、VBl、VB2和和VD的含量，的含量，单位混合位混合饲料料对VA、VBl、VB2和和VD的最低含量以及甲、乙两种原料的的最低含量以及甲、乙两种原料的单位价格如表所示。

6、位价格如表所示。例二：例二：原料甲原料甲原料乙原料乙混合饲料最低含量混合饲料最低含量V VA A含量含量0.50.50.50.52 2V VBlBl含量含量1 10.30.33 3V VB2B2含量含量0.20.20.60.61.21.2V VD D含量含量0.50.50.20.22 2原料单价原料单价( (元元) )0.30.30.50.5问该加工厂加工厂应如何搭配使用甲乙两种原料，才能使混合如何搭配使用甲乙两种原料，才能使混合饲料料在在满足足VA、VBl、VB2和和VD的最低含量要求条件下，的最低含量要求条件下，总成本最小成本最小?第一章第一章线性规划线性规划例三：例三：污水水处理理问题

7、环保要求河水含保要求河水含污低于低于2，河水可自身，河水可自身净化化20%。 问：化工厂：化工厂1、2每天各每天各处理多少理多少污水，水，使使总费用最少？用最少？200200万万m m3 3500500万万m m3 32 2万万m m3 31.41.4万万m m3 3化工厂化工厂1 1化工厂化工厂2 210001000元元/ /万万m m3 3800800元元/ /万万m m3 3第一章第一章线性规划线性规划习题习题2 2已知资料如下表所示，问如已知资料如下表所示，问如何安排生产才能使利润最大何安排生产才能使利润最大？或如何考虑利润大，产品？或如何考虑利润大，产品好销。好销。 设设 备备产产

8、品品 A B C D利润利润（元）（元） 2 1 4 0 2 2 2 0 4 3 有有 效效 台台 时时12 8 16 12解：解：1.1.决策变量：设产品决策变量：设产品I I、IIII的产量的产量分别为分别为 x1、x22.2.目标函数：设总利润为目标函数：设总利润为z z，则，则有：有： maxz=2x1+x23.3.约束条件：约束条件： x10,x202x1+2x212x1+2x284x1164x212第一章第一章线性规划线性规划习题习题3 3某厂生产三种药物，这些药某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同的原料中物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单位原料提取。下表给出了单位原料

9、可提取的药物量可提取的药物量 解：解：要求：生产要求：生产A种药物至少种药物至少160单位；单位；B种药物恰好种药物恰好200单位，单位，C种药物不超过种药物不超过180单位，且单位，且使原料总成本最小。使原料总成本最小。1.1.决策变量：设四种原料的使用决策变量：设四种原料的使用 量分别为：量分别为：x1、x2、x3、x42.2.目标函数：设总成本为目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x43.3.约束条件：约束条件： x1+2x2+x3+x41602x1+4x3+2x42003x1x2+x3+2x4 180 x1、x2、x3、x40第一章第一

10、章线性规划线性规划线性规划的数学模型由三个要素构成线性规划的数学模型由三个要素构成线性规划的数学模型由三个要素构成线性规划的数学模型由三个要素构成决策决策变量量 Decisionvariables目目标函数函数 Objectivefunction约束条件束条件 Constraints其特征是：其特征是：其特征是：其特征是：（1 1 1 1）问题的目标函数是多个决策变量的）问题的目标函数是多个决策变量的）问题的目标函数是多个决策变量的）问题的目标函数是多个决策变量的线性线性线性线性函数，函数，函数，函数，通常是求最大值或最小值；通常是求最大值或最小值；通常是求最大值或最小值；通常是求最大值或最小

11、值；（2 2 2 2）问题的约束条件是一组多个决策变量的）问题的约束条件是一组多个决策变量的）问题的约束条件是一组多个决策变量的）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性线性线性线性不不不不等式或等式。等式或等式。等式或等式。等式或等式。 怎怎样辨辨别一个模型是一个模型是线性性规划模型？划模型？ 建模条件建模条件(1)(1) 优化条件优化条件优化条件优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值能够用极值能够用极值能够用极值 （maxmax或或或或 minmin）来

12、表示；）来表示；）来表示；）来表示；(2)(2) 限定条件限定条件限定条件限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的用决策变量的用决策变量的用决策变量的 线性等式或线性不等式表示；线性等式或线性不等式表示；线性等式或线性不等式表示；线性等式或线性不等式表示；(3)(3) 选择条件选择条件选择条件选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找：有多种可选择的方案供决策者选择，以便

13、找出最优方案。出最优方案。出最优方案。出最优方案。建模步骤建模步骤(1)(1) 确定决策变量确定决策变量确定决策变量确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。：即需要我们作出决策或选择的量。：即需要我们作出决策或选择的量。：即需要我们作出决策或选择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；(2)(2) 找出所有限定条件找出所有限定条件找出所有限定条件找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束；：即决策变量受到的所有的约束；：即决策变量受到的所有的约束；：即决策

14、变量受到的所有的约束；(3)(3) 写出目标函数写出目标函数写出目标函数写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是：即问题所要达到的目标，并明确是：即问题所要达到的目标，并明确是：即问题所要达到的目标，并明确是maxmax还是还是还是还是 minmin。目标函数：目标函数：目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：约束条件：约束条件： 线性规划数学模型的一般形式线性规划数学模型的一般形式简写为：简写为：向量形式：向量形式：向量形式：向量形式：其中：其中：矩阵形式：矩阵形式：矩阵形式：矩阵形式：其中：其中： 标准形式准形式特点：特点：(1)目标函数求最大值目标函数求最大值(2)约束条件都为等式方

15、程，且右端常数项约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零都大于或等于零(3)决策变量决策变量xj为非负。为非负。如何转化为标准形式如何转化为标准形式 目目标函数的函数的转换 如果是求极小如果是求极小值即即 ，则可将目可将目标函数乘以函数乘以(-1)，可化，可化为求极大求极大值问题。也就是：令也就是：令 ，可得到上式。，可得到上式。即即 若存在取若存在取值无无约束的束的变量量 ，可令，可令 其中：其中： 变量的量的变换 约束方程的束方程的转换：由不等式：由不等式转换为等式。等式。称称为松弛松弛变量量称称为剩余剩余变量量 常量常量 bi0 的的变换: :约束方程两束方程两边乘以乘以（1

16、）如何转化为标准形式如何转化为标准形式例四：例四：将下列将下列线性性规划划问题化化为标准形式准形式如何转化为标准形式如何转化为标准形式例四：例四：解解:(1)因因为x3无符号要求无符号要求 ，即，即x3取正取正值也可取也可取负值，标准型中准型中要求要求变量非量非负，所以，所以用用 替替换 ，且，且 (2)第一个第一个约束条件是束条件是“”“”号，在号，在“”“”左端加入松左端加入松驰变量量x4，x40,化化为等式；等式；(3)第二个第二个约束条件是束条件是“”“”号，在号，在“”“”左端减去剩余左端减去剩余变量量x5，x50；(4)第第3个个约束方程右端常数束方程右端常数项为-5，方程两，方程

17、两边同乘以同乘以(-1),将右将右端常数端常数项化化为正数；正数； (5)目目标函数是最小函数是最小值，为了化了化为求最大求最大值，令，令z=-z,得到得到maxz=-z，即当，即当z达到最小达到最小值时z达到最大达到最大值，反之亦然，反之亦然;标准形式如下：准形式如下：如何转化为标准形式如何转化为标准形式习题四：习题四：将将线性性规划划问题化化为标准型准型解：解：如何转化为标准形式如何转化为标准形式习题五：习题五：将将线性性规划划问题化化为标准型准型解：解：Minf=-3x1+5x2+8x3-7x4s.t.2x1-3x2+5x3+6x4284x1+2x2+3x3-9x4396x2+2x3+3

18、x4-58x1 , x3 , x40； x2无约束无约束 Maxz=3x15x2+5x2”8x3 +7x4s.t.2x13x2+3x2”+5x3+6x4+x5=284x1+2x2-2x2”+3x3-9x4-x6=39-6x2+6x2”-2x3-3x4-x7=58x1 ,x2,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x70习题 Warm Up 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：线的货运量、货运成本如下表所示：航线号航线号船队船队类型类型编队形式编队形式货运成本货运成本（千元队）（千元队）货运量货运量（千吨）（千

19、吨）拖轮拖轮A型型驳船驳船B型型驳船驳船1112362521436202322472404142720船只种类船只种类船只数船只数拖拖 轮轮30A型驳船型驳船34B型驳船型驳船52航线号航线号合同货运量合同货运量12002400问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？习题 Warm Up解：解：设：设：x xj j为第为第j j号类型船队的队数（号类型船队的队数（j = 1j = 1，2 2，3 3，4 4），）， z z 为总货运成本为总货运成本minz=36x1+36x2+72x3+27x4x1+x2+2x3+x4

20、302x1+2x3344x2+4x3+4x45225x1+20x220040x3+20x4400xj0（ j=1,2,3,4）习题 Warm Up将下列非标准型线性规划化为标准型：将下列非标准型线性规划化为标准型： Minf(x)=3x1-2x2+4x3s.t.2x1+3x2+4x3300300x1+5x2+6x3400400x1+x2+x3200 200 x10,0,x20 ,0 ,x3正负不限正负不限图解法图解法线性性规划划问题的求解方法的求解方法一一 般般 有有两种方法两种方法图图 解解 法法单纯形法单纯形法两个变量、直角坐标两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标三个变量、立体坐标适用于任

21、意变量、但必需将适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式一般形式变成标准形式下面我们分析一下简单的情况下面我们分析一下简单的情况 只有两个决策只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。性规划基本原理和几何意义等优点。 解解题步步骤4 4 将最将最优解代入目解代入目标函数，求出最函数，求出最优值。1 1 在直角平面坐在直角平面坐标系中画出所有的系中画出所有的约束等式，并找出束等式，并找出所有所有约束条件的公共部分，称

22、束条件的公共部分，称为可行域，可行域中的可行域，可行域中的点称点称为可行解。可行解。 2 2 标出目出目标函数函数值增加或者减小的方向。增加或者减小的方向。3 3 若求最大（小）若求最大（小）值，则令目令目标函数等函数等值线沿（逆）沿（逆）目目标函数函数值增加的方向平行移增加的方向平行移动，找与可行域最后，找与可行域最后相交的点，相交的点，该点就是最点就是最优解。解。图解法解法图解法解法maxZ=2X1+X2X1+1.9X23.8X1-1.9X23.8s.t.X1+1.9X210.2X1-1.9X2-3.8X1，X20用用图解法求解解法求解线性性规划划问题图解法解法x1x2oX1-1.9X2=

23、3.8()X1+1.9X2=3.8()X1-1.9X2=-3.8()X1+1.9X2=10.2()4 = 24 = 2X1+X220 = 220 = 2X1+X217.2 = 217.2 = 2X1+X211 = 211 = 2X1+X2 Lo： 0=2X1+X2（7.6，2）DmaxZminZ此点是唯一最此点是唯一最优解，解，且最且最优目目标函数函数值 maxZ=17.2可行域可行域maxZ=2X1+X2图解法解法x1maxZ=3X1+5.7X2x2oX1-1.9X2=3.8()X1+1.9X2=3.8()X1-1.9X2=-3.8()X1+1.9X2=10.2()（7.6，2）DL0： 0

24、=3X1+5.7X2maxZ（3.8，4）34.2= 3= 3X1+5.7X2蓝色色线段上的所有点都是最段上的所有点都是最优解解这种情形种情形为有无有无穷多最多最优解，但是最解，但是最优目目标函数函数值maxZ=34.2是唯一的。是唯一的。可行域可行域图解法解法minZ=5X1+4X2x1x2oX1-1.9X2=3.8()X1+1.9X2=3.8()X1+1.9X2=10.2()DL0：0=5X1+4X2maxZminZ8=5X1+4X243=5X1+4X2（0，2）可行域可行域此点是唯一最此点是唯一最优解解图解法解法( (无界解无界解) )246x1x2246无界解无界解( (无最无最优解解

25、) )maxZ=x1+2x2x1+x2=4()x1+3x2=6()3x1+x2=6()maxZminZ图解法解法( (无可行解无可行解) )x1x2O10203040102030405050无可行解无可行解(即无最即无最优解解)maxZ=3x1+4x2图解法解法 根据以上例根据以上例题，进一步分析一步分析讨论可知可知线性性规划的可行域划的可行域和最和最优解有以下几种可能的情况：解有以下几种可能的情况： 1.1.可行域可行域为封封闭的有界区域的有界区域 (a)(a)有唯一的最有唯一的最优解；解； (b)(b)有无有无穷多个最多个最优解；解； 2.2.可行域可行域为封封闭的无界区域的无界区域 (c

26、)(c)有唯一的最有唯一的最优解；解； (d)(d)有无有无穷多个最多个最优解；解； (e)(e)目目标函数无界函数无界( (即即虽有可行解，但在可行域中，目有可行解，但在可行域中，目标函数可以无限增大或无限减少函数可以无限增大或无限减少) )，因而没有有限最，因而没有有限最优解。解。 3.3.可行域可行域为空集空集 (f)(f)没有可行解，原没有可行解，原问题无最无最优解解图解法解法(1) (1) 线性性规划划问题解的情况：唯一最解的情况：唯一最优解；无解；无穷多最多最优解；无界解；无可行解解；无界解；无可行解 (3) (3) 最最优解一定是在凸集的某个解一定是在凸集的某个顶点点(2) (2

27、) 线性性规划划问题的可行域是的可行域是凸集（凸多凸集（凸多边形）形） (4) (4) 解解题思路是，先找出凸集的任一思路是，先找出凸集的任一顶点，点，计算其目算其目标函数函数值，再与周，再与周围顶点的目点的目标函数函数值比比较，如不是最，如不是最大，大，继续比比较，直到找出最大，直到找出最大为止。止。图解法解法学学习要点：要点：1.通通过图解法了解解法了解线性性规划有几种解的形式划有几种解的形式（唯一最（唯一最优解；无解；无穷多最多最优解；无界解；无可行解）解；无界解；无可行解）2.作作图的关的关键有三点：有三点： (1)可行解的区域要画正确可行解的区域要画正确 (2)目目标函数增加的方向不

28、能画函数增加的方向不能画错 (3)目目标函数的直函数的直线怎怎样平行移平行移动线性性规划划问题解的概念解的概念线性规划问题标准型：线性规划问题标准型：求解线性规划问题，就是从满足约束条件求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)(2)、(3)(3)的方程的方程组中找出一个解，使目标函数组中找出一个解，使目标函数(1)(1)达到最大值。达到最大值。线性性规划划问题解的概念解的概念 可行解：可行解：满足足约束条件束条件、的解的解为可行解。所有可行解可行解。所有可行解的集合的集合为可行域。可行域。 最最优解：使目解：使目标函数达到最大函数达到最大值的可行解。的可行解。 基：基：设A为约束条件束条件的

29、的mn阶系数矩系数矩阵(m04010换出出行行将将3化化为15/311801/301/31011/3303005/304/3乘乘以以3/5后后得得到到103/51/518011/52/540011单纯形法的形法的计算步算步骤用用单纯形法求解形法求解解：将数学模型化解：将数学模型化为标准形式：准形式：不不难看出看出x4、x5可作可作为初始基初始基变量，列量，列单纯形表形表计算。算。单纯形法的形法的计算步算步骤cj12100icB基变量bx1x2x3x4x50x4152-32100x5201/31501121000x42x220x x2 221/3150120753017131/309022560

30、x x1 111017/31/31250128/9 -1/92/335/300-98/9 -1/9 -7/3习题 Warm upWarm up变成标准型变成标准型单纯形法的形法的计算步算步骤学学习要点：要点：1.线性性规划解的概念以及划解的概念以及3个基本定理个基本定理2.熟熟练掌握掌握线性性规划划问题的的标准化准化 3.熟熟练掌握掌握单纯形法的解形法的解题思路及求解思路及求解步步骤单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论人工变量法人工变量法人工人工变量法：量法：前面前面讨论了在了在标准型中系数矩准型中系数矩阵有有单位矩位矩阵，很容易确定一，很容易确定一组基可行解。在基可行解。在实际问题中有些

31、模型并不含有中有些模型并不含有单位矩位矩阵，为了得到一了得到一组基向量和初基可行解，在基向量和初基可行解，在约束条件的等式束条件的等式左端加一左端加一组虚虚拟变量，得到一量，得到一组基基变量。量。这种人种人为加的加的变量称量称为人工人工变量量，构成的可行，构成的可行基称基称为人工基人工基，用，用大大M M法法或或两两阶段法段法求解，求解，这种用人工种用人工变量作量作桥梁的求解方法称梁的求解方法称为人工人工变量法量法。单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论大大M法法用大M法解下列线性规划解：首先将数学模型化解：首先将数学模型化为标准形式准形式系数矩系数矩阵中不存在中不存在单位矩位矩阵，无法建，

32、无法建立初始立初始单纯形表。形表。单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论大大M法法故人故人为添加两个添加两个单位向量，得到人工位向量，得到人工变量量单纯形形法数学模型：法数学模型：其其中中：M是是一一个个很很大大的的抽抽象象的的数数，不不需需要要给出出具具体体的的数数值，可可以以理理解解为它它能能大大于于给定定的的任任何何一一个个确确定定数数值；再再用用前前面面介介绍的的单纯形法求解形法求解该模型，模型，计算算结果果见下表。下表。 cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7i-Mx64-431-101040x5101-1201005-Mx712-21000113-2M2+

33、M-1+2M-M-Mx63-650-1013/50x58-3300108/3-1x312-210005-6M5M0-M002x23/56/5101/500x531/53/5003/5131/3-1x311/52/5012/505 00002x213010123x131/310015/3-1x319/300102/3000-5-25/3单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论大大M法法 用大用大M法解下列法解下列线性性规划划解：首先将数学模型化解：首先将数学模型化为标准形式准形式系数矩系数矩阵中不存在中不存在单位矩位矩阵，无法建，无法建立初始立初始单纯形表。形表。单纯形法的进一步讨论单纯形法的进

34、一步讨论大大M法法故人故人为添加两个添加两个单位向量，得到人工位向量，得到人工变量量单纯形法数学模形法数学模型：型：其其中中：M是是一一个个很很大大的的抽抽象象的的数数，不不需需要要给出出具具体体的的数数值，可可以以理理解解为它它能能大大于于给定定的的任任何何一一个个确确定定数数值；再再用用前前面面介介绍的的单纯形法求解形法求解该模型，模型，计算算结果果见下表。下表。 Cj3-1-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70x4111-21100011-Mx63-4120-1103/2-Mx71-20100011Z-4M3-6M-1+M-1+3M0-M000x4103-20100-1

35、-Mx610100-11-21-1x31-2010001Z-M-11-1+M00-M0-3M+1Cj3-1-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70x4123001-22-54-1x210100-11-2-1x31-2010001Z-21000-1-M+1-M-13x141001/3-2/32/3-5/3-1x210100-11-2-1x390012/3-4/34/3-7/3Z2000-1/3-1/3-M+1/3-M+2/3单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论两阶段法两阶段法 用计算机处理数据时，只能用很大的数代替用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M,可能造成可能造成计算

36、机上的错误，故多采用计算机上的错误，故多采用两阶段法两阶段法。 第一第一阶段：段： 在原在原线性性规划划问题中加入人工中加入人工变量，构造如下模型：量，构造如下模型：对上述模型求解（上述模型求解（单纯形法），若形法），若=0,说明明问题存在基可存在基可行解，可以行解，可以进行第二个行第二个阶段；否段；否则，原，原问题无可行解，停止无可行解，停止运算。运算。单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论两阶段法两阶段法第一第一阶段的段的线性性规划划问题可写可写为：第一第一阶段段单纯形法迭代的形法迭代的过程程见下表下表单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论两阶段法两阶段法Cj0000011CBXBbx

37、1x2x3x4x5x6x70x4111-211000111x63-4120-1103/21x71-2010001146-1-301000x4103-20100-11x610100-11-210x31-201000110-1001030x4123001-22-50x210100-11-20x31-201000000000011单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论两阶段法两阶段法第二第二阶段：段： 在第一在第一阶段的最段的最终表中，去掉人工表中，去掉人工变量，将目量，将目标函函数的系数数的系数换成原成原问题的目的目标函数系数，作函数系数，作为第二第二阶段段计算的算的初始表（用初始表（用单纯形法

38、形法计算）。算）。单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论两阶段法两阶段法cj3-1-100CBXBbx1x2x3x4x50x4123001-24-1x210100-1-1x31-20100Z-21000-13x141001/3-2/3-1x210100-1-1x390012/3-4/3Z2000-1/3-1/3 最最优解解为（41900），目），目标函数函数 Z=2单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论通通过大法或两大法或两阶段法求初始的基本可行解。但是段法求初始的基本可行解。但是如果在大法的最如果在大法的最优单纯形表的基形表的基变量中仍含有人工量中仍含有人工变量，或者两量，或者两阶段法的

39、段法的辅助助线性性规划的目划的目标函数的极小函数的极小值大于零，那么大于零，那么该线性性规划就不存在可行解。划就不存在可行解。 无可行解无可行解 单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论C -3 -2 -1 0 0 0 -M -M CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 0-M-M x4x7x8 643 1 1 1 1 0 0 0 01 0 -1 0 -1 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1 6/1-3/1 Z -7M -6-4M -15-M -3+M -2+M -1-2M 0 -M -M 0 0 0-M-2 x4x7x2 343 1 0 2 1 0 1 0

40、-11 0 -1 0 -1 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1 3/14/1- Z Z -3+M 0 -3-M 0 -M -2 0 2-M -3-M-2 x1x7x2 313 1 0 2 1 0 1 0 -10 0 -3 -1 -1 -1 1 10 1 -1 0 0 -1 0 1 0 0 3-3M 3-M -M 1-M 0 -1 例例运算到运算到检验数全数全负为止，仍含有人工止，仍含有人工变量，无可行解。量，无可行解。单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论无最无最优解与无可行解解与无可行解时两个不同的概念。两个不同的概念。 无可行解是指原无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度

41、解划不存在可行解，从几何的角度解释是指是指 线性性规划划问题的可行域的可行域为空集；空集； 无最无最优解解则是指是指线性性规划划问题存在可行解，但是可行解的目存在可行解，但是可行解的目 标函数达不到最函数达不到最优值，即目，即目标函数在可行域内可以函数在可行域内可以趋于无于无穷大大（或者无（或者无穷小）。无最小）。无最优解也称解也称为有限最有限最优解，或无界解。解，或无界解。 判判别方法：无最方法：无最优解判解判别定理定理在求解极大化的在求解极大化的线性性规划划问题过程中，若某程中，若某单纯形表的形表的检验 行存在某个大于零的行存在某个大于零的检验数，但是数，但是该检验数所数所对应的非基的非基

42、变量量 的系数列向量的全部系数都的系数列向量的全部系数都为负数或零，数或零，则该线性性规划划问题 无最无最优解解无最无最优解解单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论C 2 2 0 0 CXB B x1 x2 x3 x4 0X3 1-11100X4 2-1/2101Z02200因因 但但 所以原问题无最优所以原问题无最优解解单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论退化退化 即即计算出的算出的 （用于确定（用于确定换出出变量）存在有两个以上相同的最量）存在有两个以上相同的最小比小比值，会造成下一次迭代中由一个或几个基，会造成下一次迭代中由一个或几个基变量等于零，量等于零，这就是就是退化退化（会（

43、会产生退化解）。生退化解）。 为避免出避免出现计算的循算的循环，勃，勃兰特特(Bland)提出一个提出一个简便有效便有效的的规则（摄动法原理）：法原理）： 当存在多个当存在多个 时，选下下标最小的非基最小的非基变量量为换入入变量；量；(2)当当值出出现两个以上相同的最小两个以上相同的最小值时，选下下标最小的基最小的基变量量为换出出变量。量。单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论000-242-8030Z-5-60-420-805Z10001001x3 212060-2411x1 3321300-803x5 00-30-425-800Z1100 1001x7 00106-1-2410x1 30

44、-1130-3-800x5 0-11001001x7 000106-1-2410x6 0000136-4-3210x5 0x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 b XB CB 000-242-803C 第第一一次次迭迭代代中中使使用用了了摄摄动动法法原原理理，选选择择下下标标为为6的的基基变量变量x6离基。离基。可得最优解可得最优解maxZ=，单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论无无穷多最多最优解解 若若线线性性规规划划问问题题某某个个基基本本可可行行解解所所有有的的非非基基变变量量检检验验数数都都小小于于等等于于零零，但但其其中中存存在在一一个个检检验验数数等等于于零零，那那么么该该

45、线性规划问题有无穷多最优解。线性规划问题有无穷多最优解。例：最优表：例：最优表：非基变量检验非基变量检验数数，所以有无穷多所以有无穷多最优解。最优解。C 1 2 0 0 0CBXBb x1 x2 x3 x4 x5021x3x2x12320 0 1 2 -10 1 0 1 01 0 0 -2 12/23/1-Z8 0 0 0 0 -1单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论解的判解的判别：1）唯一最）唯一最优解判解判别：最：最优表中所有非基表中所有非基变量的量的检验数非零数非零,则线性性规划具有唯一最划具有唯一最优解。解。2）多重最）多重最优解判解判别：最：最优表中存在非基表中存在非基变量的量的检验数数为零零,则线性性规划具有多重最划具有多重最优解（或无解（或无穷多最多最优解）。解）。3）无界解判）无界解判别：某个：某个k0且且aik（i=1，2,m）则线性性规划具有无界解。划具有无界解。4）无无可可行行解解的的判判断断：当当用用大大M单纯形形法法计算算得得到到最最优解解并并且存在且存在Ri0时，则表明原表明原线性性规划无可行解。划无可行解。5）退化解的判）退化解的判别：存在某个基：存在某个基变量量为零的基本可行解。零的基本可行解。