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1、一元二次方程的应用一元二次方程的应用本节内容2.5 一元二次方程在数学和实际生活中有许多应用，一元二次方程在数学和实际生活中有许多应用，本节来举一些例子本节来举一些例子动脑筋动脑筋 某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率的合理使用率. . 若今年的使用率为若今年的使用率为40%，计划后年，计划后年的使用率达到的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均，求这两年秸秆使用率的年平均增长率增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变假定该省每年产生的秸秆总量不变
2、) ) . . 由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：关系是：今年的使用率今年的使用率（1+年平均增长率年平均增长率）2 = =后年的使用率后年的使用率. .设这两年秸秆使用率的年平均增长率为设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量，则根据等量关系，可列出方程：关系，可列出方程： 40%（1 + x ）2 = 90%.整理，得整理，得 （1 + x ）2 = 2.25.因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%. 解得解得 = 0.5 = 50% ， = - -2.5（不合题意，舍去）（不
3、合题意，舍去）举举例例例例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元元降为降为81元元. . 求平均每次降价的百分率求平均每次降价的百分率分析分析问题中涉及的等量关系是：问题中涉及的等量关系是：原价原价（1- -平均每次降价的百分率平均每次降价的百分率) ) 2= =现行售价现行售价. .设平均每次降价的百分率为设平均每次降价的百分率为 x ，则根据等量关系得则根据等量关系得 100（ 1 - - x ) ) 2 = 81，解解答：答： 平均每次降价的百分率为平均每次降价的
4、百分率为10%.整理，得整理，得（ 1 - - x ) ) 2 = 0.81解解得得 = 0.1 = 10%， = 1.9（不合题意，舍去不合题意，舍去） 为什么为什么x = 1.9不合题意呢？不合题意呢？举举例例例例2 某商店从厂家以每件某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品元的价格购进一批商品若每件商品的售价为若每件商品的售价为x 元，则可卖出（元，则可卖出（350- -10x）件，）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%若该商店计划从这批商品中获取若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计元利润（不计其他成本），问需要卖出多少
5、件商品，此时的售价其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少是多少？分析分析问题中涉及的等量关系是：问题中涉及的等量关系是：（售价售价- -进价进价）销售量销售量= =利润利润. .解得解得 = 25， = 31.根据等量关系得根据等量关系得 （x- -21）（）（350 - -10x）= 400.解解整理，得整理，得 - - 56x + 775 = 0.又因为又因为 21 120% = 25.2，即售价不能超过，即售价不能超过 25.2 元，元， 所以所以 x = 31 不合题意，应当舍去不合题意，应当舍去故故 x=25，从而卖，从而卖出出 350 - -10x = 350- -10
6、5 =100（件件）答：该商店需要卖出答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价件商品，且每件商品的售价 是是 25 元元 运用一元二次方程模型解决实际问题运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些的步骤有哪些？议一议议一议议一议议一议议一议议一议实际问题实际问题建立一元二建立一元二次方程模型次方程模型解一元二次方程解一元二次方程一元二次方程的根一元二次方程的根实际问题的解实际问题的解分析数量关系分析数量关系设未知数设未知数检验检验练习练习某校图书馆的藏书在两年内从某校图书馆的藏书在两年内从5 万册增加到万册增加到7.2 万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少万册，问平均每年藏书增长的
7、百分率是多少？1.设平均每年藏书增长的百分率为设平均每年藏书增长的百分率为 x ，则根据等则根据等量关系得量关系得 5（1 + x ) ) 2 = 7.2，解解.答：答： 平均平均每年藏书增长的百分率是每年藏书增长的百分率是为为20%.整理，得整理，得（ 1+ x ) ) 2 = 1.44.解解得得 ， （不合题意，舍去不合题意，舍去）.2. 某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利件，每件可盈利44元元若每件降价若每件降价1 元，则每元，则每天可多售出天可多售出5件件若要平均每天盈利若要平均每天盈利1600元，元， 则则应降价多少元应
8、降价多少元？解解设应降价设应降价x元，则由已知条件可得：元，则由已知条件可得：（44- -x）（）（20+5 x）=1600，答：若要平均每天盈利答：若要平均每天盈利1600元，则应降价元，则应降价36元元或或4元元.化简，得化简，得 解得解得 动脑筋动脑筋如图，在一长为如图，在一长为40 cm、宽为、宽为28 cm的矩形铁皮的四角的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子盒子若已知长方体盒子的底面积为若已知长方体盒子的底面积为364 cm2， 求截求截去的四个小正方形的边长去的四个小正方形的边长将铁皮截去四个小正方形后，可
9、以得到下图将铁皮截去四个小正方形后，可以得到下图这个长方体盒子的底面就是图中的阴影部分，因此这个长方体盒子的底面就是图中的阴影部分，因此本问题涉及的等量关系是：本问题涉及的等量关系是：盒子的底面积盒子的底面长盒子的底面积盒子的底面长盒子的底面宽盒子的底面宽.设截去的小正方形的边长为设截去的小正方形的边长为xcm， 则无盖长方体盒子的则无盖长方体盒子的底面长与宽分别为底面长与宽分别为（402x）cm，（282x）cm. 根据等根据等量关系，量关系， 可以列出方程可以列出方程（402x）（）（282x） = 364.整理，整理， 得得解解得得 = 27， =7.因此，截去的小正方形的边长为因此，截
10、去的小正方形的边长为7cm 如果截去的小正方形的边长为如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这超过了，这超过了矩形铁皮的长度矩形铁皮的长度（40cm）因此因此 = 27不合题意，应不合题意，应当舍去当舍去举举例例如图，如图， 一长为一长为32 m、宽为、宽为24 m 的矩形地面的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），上修建有同样宽的道路（图中阴影部分）， 余余下部分进行了绿化下部分进行了绿化. 若已知绿化面积为若已知绿化面积为540 m2， 求道路的宽求道路的宽. .例例3 3分析分析虽
11、然虽然“整个矩形的面积整个矩形的面积- -道路所占面积道路所占面积= =绿化面积绿化面积”， 但道路不是规则图形，因此不便于计算。若把道路但道路不是规则图形，因此不便于计算。若把道路平移，则可得到下图：平移，则可得到下图： 此时绿化部分就成了一个新的矩形了，再由此时绿化部分就成了一个新的矩形了，再由本问题涉及的等量关系：矩形的面积本问题涉及的等量关系：矩形的面积= =矩形的长矩形的长矩形的宽，就可建立一个一元二次方程矩形的宽，就可建立一个一元二次方程答：道路宽为答：道路宽为2m. .根据等量关系得根据等量关系得 （32 - - x）（20- -x） = 540.解解设道路宽为设道路宽为x m，
12、则新矩形的长为，则新矩形的长为（32 - - x）m，宽为，宽为（20 - -x）m. .解得解得 （不合题意，舍去）（不合题意，舍去）. .整理，得整理，得 为什么为什么x = 50 不合题意？不合题意？例例4 4 如图所示，在如图所示，在ABC 中，中，C = 90，AC = 6cm， BC = 8cm. . 点点P沿沿AC边从点边从点A向终点向终点C以以1cm/s 的速度移动；同的速度移动；同时点时点Q沿沿CB边从点边从点C向终点向终点B以以2cm/s的速度移动，且当其中的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动一点到达终点时，另一点也随之停止移动. .问点问点P，Q出发几
13、出发几秒后，可使秒后，可使PCQ的面积为的面积为9cm2？根据题意得根据题意得 AP=xcm，PC=（6- -x）cm，CQ=2xcm. .设点设点P，Q出发出发xs后可使后可使PCQ的面积为的面积为9cm2. .解解答：点答：点P，Q同时出发同时出发3s后可使后可使PCQ的面积为的面积为9cm2 . .整理，整理， 得得解得解得则由则由SPCQ= 可得可得 练习练习1. 如图，如图， 在长为在长为100m、宽为、宽为80m 的矩形地面上要修建的矩形地面上要修建两条同样宽两条同样宽且互相垂直且互相垂直的道路，余下部分的道路，余下部分进行绿化进行绿化若若要使绿化要使绿化面积面积为为7644 m2
14、，则路宽应为多，则路宽应为多少少米米？解解设设修建的路宽应为修建的路宽应为x米米，则根据题意得，则根据题意得化简，得化简，得解得解得（不合题意，舍去不合题意，舍去）修建的路宽应为修建的路宽应为2m.答：答：100m80m2.如图，在如图，在Rt ABC 中，中，C = 90 ，AC = 8 cm，BC = 6 cm. 点点P，Q 同时从同时从A，B 两点出发，分别两点出发，分别沿沿AC，BC向终点向终点C移动，它们的速度都是移动，它们的速度都是1 cm/s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点问点P，Q 出发几秒后可使出发几秒后可使
15、PCQ的面积为的面积为RtABC面积的一半面积的一半？答：点答：点P，Q同时出发同时出发2s后可使后可使可使可使PCQ的面积为的面积为 RtABC面积的一半面积的一半.整理，整理， 得得则由则由SPCQ= 可得可得 解得解得（不合题意，舍去不合题意，舍去）.则根据题意得则根据题意得AP=BQ=xcm，PC=（8- -x）cm，CQ=（6- -x）cm. .解解设点设点P，Q 出发出发x秒后可使秒后可使PCQ的面积为的面积为RtABC面积的一半，面积的一半，小结与复习小结与复习1. 什么样的方程是一元二次方程什么样的方程是一元二次方程？它的一般形式是什么它的一般形式是什么？2.分别举例说明如何运
16、用配方法、公式法、因式分解法分别举例说明如何运用配方法、公式法、因式分解法 解一元二次方程解一元二次方程. .3. . 如何根据一元二次方程根的判别式来判断方程是否如何根据一元二次方程根的判别式来判断方程是否 有实根有实根？*4. 一元二次方程的根与系数之间有什么关系一元二次方程的根与系数之间有什么关系？5. 利用一元二次方程模型解决实际问题有哪些步骤利用一元二次方程模型解决实际问题有哪些步骤？一元二次方程一元二次方程一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式*一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的应用一元二次方程的应用因式分解
17、法因式分解法一元二次方程的有关概念一元二次方程的有关概念公式法公式法配方法配方法一元二次方程的二次项系数不能为一元二次方程的二次项系数不能为0. .1.2. 解一元二次方程的常用方法有配方法、公式法、解一元二次方程的常用方法有配方法、公式法、因式分解法，使用时要根据方程的特征灵活选因式分解法，使用时要根据方程的特征灵活选择合适的方法择合适的方法. . 解一元二次方程的基本思路是解一元二次方程的基本思路是降次，其本质是将一元二次方程降次，其本质是将一元二次方程 左边的二次多项式进行因式分解，转化为一元左边的二次多项式进行因式分解，转化为一元一次方程来求解一次方程来求解. .ax2+bx+c =
18、0( (a0) )建立一元二次方程模型解决实际问题时，要注重对建立一元二次方程模型解决实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析，在得到方程的根之后，还数量关系的抽象和分析，在得到方程的根之后，还需检验所得根是否符合题意需检验所得根是否符合题意. .在这种在这种“问题情境问题情境建立模型建立模型求解验证求解验证”的过程中，我们需进一步体的过程中，我们需进一步体会模型思想会模型思想. .3.中考中考 试题试题例例1 某某百货商店服装柜在销售中发现：百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐宝乐”牌童装平均每天牌童装平均每天可售出可售出20件，每件盈利件，每件盈利40元，为了迎接元，为了迎接“六一六一”国际
19、儿童节，商国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存.经经市场调查发现：如果每件童装每降价市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多元，那么平均每天就可多售出售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每元，那么每件童装应降价多少元？件童装应降价多少元？解解设每件童装应降价设每件童装应降价x元，根据题意，得元，根据题意，得( (40- -x)()(20+2x) )=1200.整理，得整理，得 x2- -30x+200=0.解得解得 x1=10，x2=2
20、0.因要尽快减少库存，故因要尽快减少库存，故x应取应取20.故每件童装应降价故每件童装应降价20元元. .中考中考 试题试题解解设甲组单独完成此项工作需设甲组单独完成此项工作需x天，则乙组需天，则乙组需( (x+12) )天，天，根据题意，得根据题意，得 ，方程两边都乘以方程两边都乘以x( (x+12) ), ,约去分母并整理得：约去分母并整理得： x2- -4x- -96=0，解这个方程，得：解这个方程，得：x1=12, ,x2=- -8.经检验：经检验：x1=12，x2=- -8都是原方程的根，都是原方程的根，但负数不合题意，所以只取但负数不合题意，所以只取x=12.当当x=12时，时，x+12=24.故单独完成全部工作甲组、乙组分别需故单独完成全部工作甲组、乙组分别需12天，天，24天天. .例例2 某项工作，甲、乙两组合做某项工作，甲、乙两组合做8天可以完成，已知甲组单独完天可以完成，已知甲组单独完成全部工作所需时间比乙组单独完成全部工作所需时间少成全部工作所需时间比乙组单独完成全部工作所需时间少12天，天，问单独完成全部工作甲组、乙组各需多少天？问单独完成全部工作甲组、乙组各需多少天？结结 束束
