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1、解：设所求事件为A.A表示指定的3人排在一起。例1 从0到9这十个数字中任取三个，问大小在中间的号码恰为5的概率是多少？例2 9个人排成一排，求指定的3人排在一起的概率。3 3 概率的计算概率的计算1例3 一批产品共有10个，其中有4个废品，求：(1)这批产品的废品率(2)任取3个恰有1个是废品的概率(3)任取3个全非废品的概率解：分别用A、A1、A0表示上述三个事件=0.4=0.5注：若是有放回地抽取，答案会不同，如=0.216例例例例3 3 3 32例4 两封信随机地投向标号为、的四个邮筒。求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率以及前两个邮筒中各有一封信的概率。解：设A表示第二个邮筒中投入一封
2、信。B表示前两个邮筒各有一封信。两封信共有42种可能的投法。A的不同投法有种B的不同投法有例例例例4 4 4 43解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。有放回时，每人面对的签数是相同的乙抽取时，可能与甲的抽取情况有关，但可将甲与乙的抽取同时考虑，只要乙抽到难签即可例5 (抽签的公正性)设有3个难签，5个易签。甲、乙、丙依次抽取，分别在有放回与不放回的情况下计算各人抽到难签的概率。4例6 设有5个人，每个人以同等机会被分配在7个房间中，求恰好有5个房间中各有一个人的概率。解：设A表示恰有5个房间中各有一个人。每人进入各房间等可能基本事件总数为75个。例例例例6 65(1)七个数字全不同的事
3、件A1(2)不含1与0的事件A2(3)两个偶数五个奇数的事件A3解：基本事件总数为107=0.06048=0.20972=0.164例7 从0到9十个数字种任取一个，取后放回，再取。先后共取七个数字。求下述事件的概率。6例8 两人约定于早上8点至9点在校门口见面。要求先到者等20分钟后离去。假定两人到校门的时间相互独立，而且在8至9点间是等可能的。问两人能见面的概率是多少？解：以x与y分别表示两人在8点之后到达校门口的分钟数。则0x60,0y60两人能见面，即|x-y|20即图中的阴影部分能见面的概率为602002060例例例例8 87解：A、B分别表示一、二等品，A+B表示产品合格故 P(A
4、+B)=P(A)+P(B)可以推广为一般的加法法则：若A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)可以得到一些重要的推广。例1 10件产品中有6个一等品，3个二等品，1个废品。规定一、二等品为合格品。求合格率与一、二等品之间的关系。4 4 概率的加法法则概率的加法法则8(1)如果n个事件A1,A2,An两两互斥，则P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)(2)若A1,A2,An构成一个完备事件组，它们的概率和为P(A1)+P(A2)+P(An)=1特别地，对立事件的概率之和为1。P(A)+P()=1常用形式为P(A)=1-P()一般有 P(B-A)=P(B)-P(AB)这
5、是因为 B=(B-A)+AB见右图BA9(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)称为广义加法法则A+B=A+(B-A)由于A与B-A互斥故P(A+B)=P(A)+P(B-A)再由(3)得证。可见，只需P(AB)=0加法法则就成立。若是多个事件之和，公式会变复杂。这是因为由图AB10P(A+B+C)=P(A+B)+P(C)-P(A+B)C)=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC+BC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)其中要注意(AC)(BC)=ABC类似地，可以证明P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A
6、3)+P(A4)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A1A4)-P(A2A3)-P(A2A4)-P(A3A4)+P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)-P(A1A2A3A4)11解：分别用A2与A3表示抽到两个与三个白球。A2与A3互斥由加法法则，所求概率为P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)例2 袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个为黑球。从中一次取出3个，求至少有两个是白球的概率。例例例例2 212例3 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取3个，求其中有废品的概率。解：用Ai表示取到i个废品。A1,A2,A3互斥故P(A1+A
7、2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)例例例例3 313解：Ai表示有正好有i张相同。i0，2，3例4 现有黑桃自A至K的13牌。有放回地抽3次。求(1)三张号码不同的概率。(2)三张中有相同号码的概率。(3)三张中至多有两张同号的概率。14(2)P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)(3)P(A0+A2)=P(A0)+P(A2)1P(A3)15例5 甲盒中有2个红球1个白球，乙盒中有2个白球1个红球。从甲盒中取一球放入乙盒，再从乙盒中取一球放入甲盒。求甲盒成分不变的概率。解：甲盒成分不变，包括两种情况从甲盒中取出红球，从乙盒中也取出红球,记为A从甲盒中取出白球，从乙盒中也取出白球,
8、记为BA与B互斥基本事件总数为3412A的基本事件数224B的基本事件数13=3例例例例5 516解：A表示能被6整除。B表示能被8整除。例6 从1到200中任取一数。求(1)能被6与8同时整除的概率。(2)不能被6或8整除的概率。例例例例6 617例7 你的班级中是否有人有相同的生日？这一事件的概率有多大？解：设人的生日在一年365天的每一天是等可能的A表示n个人组成的班级中有人生日相同。基本事件总数为365nA的基本事件数不易确定。故 P(A)=1-P()例例例例7 718(1)取到废品的概率。(2)已知取到的是不合格品，它是废品的概率。解：(1)取到废品用A表示(2)基本事件总数为5一般
9、设P(B)0。而P(A)称为无条件概率。例1 有100件产品，其中有5件是不合格品，包括3件次品与2件废品，任取一件，求定义1 在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，简称为A对B的条件概率，记作P(A|B)5 5 乘法法则乘法法则乘法法则乘法法则19例2 市场上供应的电风扇中，甲厂产品占70，乙厂占30。甲厂产品的合格率是95，乙厂的合格率是80。若用事件A,分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：由题设P(A)=0.7P()=0.3P(B|A)=0.95P(B|)=0.8例例例例2 220例3 全年级100名学生中，有男生(
10、事件A)80人，女生20人；来自北京的(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语(事件C)有40人，其中男生32人，女生8人。试写出解：由题设0.8=0.2=0.40.15=0.6=0.12=0.4=0.15=0.32例例例例3 321在例3中可以观察到它是条件概率的计算公式。要求P(A)0,P(B)0关于n个事件A1,A2,An的乘法规则是 P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)定理1 (乘法规则)若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)定理定理定理定理1 122解：甲厂生
11、产的合格品，即P(AB)=P(A)P(B|A)=0.70.95=0.665乙厂生产的合格品，即P(B)=P()P(B|)=0.30.8=0.24为什么后者不是1-P(AB)?因为AB与B不是对立事件。例4 在例1中求从市场上买一台电风扇是甲厂生产的合格品的概率以及是乙厂生产的合格品的概率。23解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签。例5 10个考签中有4个难签，3人参加抽签(不放回)，甲先，乙次，丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲乙丙都抽到难签的概率。例例例例5 5 5 524解：设A表示第一件合格，B表示第二件合格。在不放回时另一方法P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9025=0.9025例6 设100件产品中有5件不合格，任取两件，求两件均合格的概率，要求分为不放回与放回两种情况计算。25错解：在另9个产品中(含3个废品)取到废品的概率正解：用A表示第一件是废品，B表示第二件是废品已知有一个是废品，即表示至少有一个废品，就是A+B若另一个也是废品，则两个都是废品即AB因(A+B)AB=AB例7 10件产品中有4件废品，任取两件。若已知有一个是废品，求另一个也是废品。例例例例7 7 7 726又因P(A+B)1例8 设A,B为两个事件，且P(A)=a0,P(B)=b0例例例例8 827
