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1、数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1 1代数是搞清楚世界上数量关系的工具。代数是搞清楚世界上数量关系的工具。怀特黑德怀特黑德怀特黑德怀特黑德当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。充分的快乐。- - - - -柯普宁柯普宁柯普宁柯普宁( ( ( (前苏联哲学家前苏联哲学家前苏联哲学家前苏联哲学家) ) ) )数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件2 2第二章第二章 多项式多项式2.1 一元多项式的定义和运算
2、2.2 多项式的整除性2.3 多项式的最大公因式2.4 多项式的分解 2.5 重因式2.6 多项式函数 多项式的根2.7 复数和实数域上多项式2.8 有理数域上多项式2.9 多元多项式2.10 对称多项式数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件3 32.1 2.1 一元多项式的定义和运算一元多项式的定义和运算一、教学内容2.1.1 多项式的定义多项式的定义2.1.2 多项式多项式相等相等2.1.3 多项式的次数多项式的次数2.1.4 多项式的运算多项式的运算二、教学目的二、教学目的掌握一元多项式的定义掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质。有关概念和基本运算性质。
3、 三、重点、难点三、重点、难点一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。算性质。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件4 42.1.2.1.1 1 多项式的定义多项式的定义 定义定义1 数环数环R上一个文字上一个文字x的多项式或一元多项的多项式或一元多项式指的是形式表达式式指的是形式表达式其中其中n是非负整数而是非负整数而都是数环都是数环R中的数。中的数。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件5 5在多项式在多项式中，中，叫做零次项或常数项叫做零次项或常数项叫做一次项叫做一次项次项，次项，叫做
4、叫做叫做叫做次项系数次项系数数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件6 6一元多项式常用符号一元多项式常用符号来表示。来表示。例如：例如：都是都是x的多项式。的多项式。规定：规定：若是某个若是某个i i次项的系数是次项的系数是1 1，那么这，那么这个个1 1可以省略不写；可以省略不写；数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件7 7问：下列各式是不是问：下列各式是不是x的多项式？的多项式？数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件8 82.1.2 2.1.2 多项式相等多项式相等定义定义2 若是数环若是数环R上两个一元多项式上
5、两个一元多项式 f (x) 和和g (x)有完全相同的项有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项或者只差一些系数为零的项, 那那么么 f (x)和和g (x)就说是相等就说是相等 。记为。记为 f (x) = g (x)。例如：例如：在一个多项式中，可以任意添上或在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系数为零的项。去掉一些系数为零的项。规定：规定：数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件9 9一个数环一个数环R上系数不全为零的多项式可以唯一上系数不全为零的多项式可以唯一地写成地写成于是，我们可以对多项式引入次数的概念。于是，我们可以对多项式引入次数的概念。数学与计算机科
6、学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件10102.1.3 2.1.3 多项式的次数多项式的次数的次数，的次数，叫做多项式叫做多项式 定义定义3的最高次项的最高次项,非负整数非负整数n叫做多项式叫做多项式记作记作系数全为零的多项式称为零多项式，记为系数全为零的多项式称为零多项式，记为0。零多项式没有次数。以后谈到多项式零多项式没有次数。以后谈到多项式的次数时，的次数时， 总假定总假定数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件11 11我们在初等代数中曾经学习过多项式的加法、减我们在初等代数中曾经学习过多项式的加法、减法及乘法。两个多项式相加（或相减）就是把它法及
7、乘法。两个多项式相加（或相减）就是把它们的同次项的系数相加（或相减）。两个多项式们的同次项的系数相加（或相减）。两个多项式相乘就是把第一个多项式的各个单项与第二个多相乘就是把第一个多项式的各个单项与第二个多项式的各个单项分别相乘，然后合并同次项。项式的各个单项分别相乘，然后合并同次项。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件12122.1.4 2.1.4 多项式的运算多项式的运算 一、多项式的加法一、多项式的加法 给定数环给定数环R上两个多项式上两个多项式 并且设并且设m n, f (x) 与与g (x) 的和指的是的和指的是这里当这里当m n 时，时，数学与计算机科学
8、学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1313于是，可定义多项式的减法为于是，可定义多项式的减法为求多项式的和的运算叫做多项式的加法运算。求多项式的和的运算叫做多项式的加法运算。数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1414二、多项式的乘法二、多项式的乘法 给定数环给定数环R R上两个多项式上两个多项式f (x) 与与g (x) 的积指的是的积指的是这里：这里： 其中：其中：数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1515（1）加法交换律）加法交换律: （2）加法结合律）加法结合律: （3）乘法交换律）乘法交换律: （4）乘法结合律）
9、乘法结合律: 注意注意：若把一个多项式按若把一个多项式按“降幂降幂”书写书写当当 时，时， 叫做多项式的首项叫做多项式的首项. 求多项式的积的运算叫做多项式的乘法运算。求多项式的积的运算叫做多项式的乘法运算。三、多项式运算法则三、多项式运算法则数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1616四、多项式次数的运算性质四、多项式次数的运算性质 定理定理是数环是数环R上两个多项式上两个多项式,并且并且 .那么那么 （i）当）当 时时, （ii） 数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件17 17证明证明: : 且且 那么那么 数学与计算机科学学院高等代
10、数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1818由（由（1），）， 的次数显然不超过的次数显然不超过n，另一方面，另一方面，所以由，所以由(2)得得 的次数是的次数是n + m . 数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件1919若是若是 那么由上面定理的证明得那么由上面定理的证明得 证明证明 若是若是 中有一个是零多项式，中有一个是零多项式，那么由多项那么由多项式乘法定义得式乘法定义得 或或 推论推论1 数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件2020推论推论2 证明证明 由由 得得 但但 所以由推论所以由推论1必有必有 即即 数学与计算机科学学
11、院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件2121当当 是什么数时，多项式是什么数时，多项式 （1）是零多项式？）是零多项式？（2）是零次多项式？）是零次多项式？例例2解解 整理得整理得数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件2222例例3 求求k,t使使解解 将左端两多项式相乘，原式可化为将左端两多项式相乘，原式可化为由两个多项式相等的定义可得由两个多项式相等的定义可得解得解得数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件23232.1.5 2.1.5 多项式环多项式环 我们用我们用Rx 表示数环表示数环R上一个文字上一个文字x的多项式的的多项式的全体。全体。并且把在其中如上定义了加法和乘法运算的并且把在其中如上定义了加法和乘法运算的Rx叫作数环叫作数环R上的一元多项式环。上的一元多项式环。练习数学与计算机科学学院高等代数课件数学与计算机科学学院高等代数课件2424作业：P30:1、2
