《线性代数6.2线性空间的维数基与坐标》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数6.2线性空间的维数基与坐标（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.2 线性空间的维数、基与坐标线性空间的维数、基与坐标 一、线性空间的基与维数一、线性空间的基与维数已知已知: 在在Rn中中, 线性无关的向量组最多由线性无关的向量组最多由n个向量个向量组成组成, 而任意而任意n+1个向量都是线性相关的个向量都是线性相关的.问题问题1: 在线性空间中是否也可以定义线性无关的在线性空间中是否也可以定义线性无关的概念概念? 问题问题2: 线性空间的一个重要特征线性空间的一个重要特征在线性空间在线性空间V中中, 最多能有多少线性无关的向量最多能有多少线性无关的向量? 定义定义: 设设V为线性空间为线性空间, 对对 1, 2, , m V, 如果存在不全为零的数如果
2、存在不全为零的数 k1, k2, ,km R, 使使k1 1 + k2 2 + + km m = 0则称则称 1, 2, , m是是线性相关线性相关的的, 否则称它是否则称它是线线性无关性无关. 定义定义: 在线性空间在线性空间V中中, 如果存在如果存在n个元素个元素 1, 2, , n V, 满足满足: (1) 1, 2, , n 线性无关线性无关; (2) V中中任意元素任意元素 总可以由总可以由 1, 2, , n线线性表示性表示,则称则称 1, 2, , n为线性空间为线性空间V的一个的一个基基, 称称n为为线性空间线性空间V的的维数维数.当一个线性空间当一个线性空间V中存在任意多个线
3、性无关的向中存在任意多个线性无关的向量时量时, 就称就称V是是无限维的无限维的.维数为维数为n的线性空间的线性空间V称为称为n维线性空间维线性空间, 记作记作Vn.若若 1, 2, , n为为Vn的的一个基一个基, 则则Vn可可表示为表示为:Vn = = x1 1+x2 2+xn n | x1, x2, , xn R 二、元素在给定基下的坐标二、元素在给定基下的坐标 定义定义: 设设 1, 2, , n为线性空间为线性空间Vn的一个的一个基基, 对任意对任意 V, 总有且仅有一组有总有且仅有一组有序数序数x1, x2, , xn, 使使 = x1 1+x2 2+xn n ,则称则称有序数组有序
4、数组 x1, x2, , xn 为为元素元素 在基在基 1, 2, , n下的坐标下的坐标, 并记作并记作 = (x1, x2, , xn)T. 例例1: 在线性空间在线性空间Px4中中, p0=1, p1=x, p2=x2, p3=x3, p4=x4 就是就是Px4的一个基的一个基. 任意不超过任意不超过4次的多项式次的多项式:p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 Px4,都可表示为都可表示为p(x) = a0 p0 + a1p1 + a2p2 + a3p3 + a4p4因此因此, p(x)在这个基在这个基1, x, x2, x3, x4下的坐标为下的坐标
5、为p(x) =(a0, a1, a2, a3, a4)T. 注意注意: 线性空间线性空间V的任一元素的任一元素在一个基下对应的在一个基下对应的坐标是唯一的坐标是唯一的, 在不同的基下所对应的坐标一般不同在不同的基下所对应的坐标一般不同.若若取另一个基取另一个基: q0=1, q1=1+x, q2=2x2, q3=x3, q4=x4, 则则因此因此, p(x)在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为 例例2: 所有二阶实矩阵组成的集合所有二阶实矩阵组成的集合R2 2, 对于矩阵对于矩阵的加法和数量乘法的加法和数量乘法, 构成实数域构成实数域R上的一个线性空间上的一个线性空间. 对于对于R2 2中的矩
6、阵中的矩阵k1E11 + k2E12 + k3E21 + k4E22 =因此因此, 有有k1E11 + k2E12 + k3E21 + k4E22 =O设设而而k1=k2=k3=k4=0.即即, E11, E12, E21, E22线性无关线性无关. 对对任意实二阶矩阵任意实二阶矩阵有有A=a11E11+ a12E12+ a21E21+ a22E22.所以所以, E11, E12, E21, E22为为V的一个基的一个基. 而而A在基在基E11, E12, E21, E22下的坐标为下的坐标为:A=(a11, a12, a21, a22)T.例例3: 在线性空间在线性空间Pxn中中, 取一组基
7、取一组基: 0=1, 1 = (xa), 2 = (xa)2, , n = (xa)n.则由泰勒公式知则由泰勒公式知, 对任意不超过对任意不超过n次的多项式次的多项式 f(x)都有都有:因此因此, f(x) Pxn在基在基 0, 1, 2, , n下的坐标为下的坐标为:三、线性空间的同构三、线性空间的同构 设设 1, 2, , n是是n维线性空间维线性空间Vn的一组基的一组基, 在这组基下在这组基下, Vn中的每个向量都有唯一确定的坐标中的每个向量都有唯一确定的坐标. 而向量在这组基下的坐标而向量在这组基下的坐标, 可以看作可以看作Rn中的元素中的元素, 因因此向量与它的坐标之间的对应关系此向
8、量与它的坐标之间的对应关系, 就是就是Vn到到Rn的的一一个个映射映射. 由于由于Rn中的每个元素都有中的每个元素都有Vn中的向量与之对应中的向量与之对应, 同时同时Vn中中不同向量的坐标不同不同向量的坐标不同, 因而对应因而对应Rn中的不同中的不同元素元素. 我们称这样的映射是我们称这样的映射是Vn与与Rn的的一个一个一一对应的一一对应的映射映射, 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设设 = a1 1 + a2 2 + + an n = b1 1 + b2 2 + + bn n 即即, 向量向量 , Vn在基在基 1, 2, , n下的坐标分别为下
9、的坐标分别为: = (a1, a2, , an)T, = (b1, b2, , bn)T,则则 + = (a1 + b1) 1 + (a1 + b1) 2 + + (a1 + b1) n k = ka1 1 + ka2 2 + + kan n 于是于是 + 与与 k 的坐标分别为的坐标分别为:(a1+b1, a2+b2, , an+bn) = (a1, a2, , an)T+(b1, b2, , bn)T, (k a1, k a2, , k an)T = k(a1, a2, , an)T. 上式表明上式表明: 在向量用坐标表示后在向量用坐标表示后, 它们的运算就它们的运算就归结为坐标的运算归结
10、为坐标的运算, 因而对线性空间因而对线性空间Vn的讨论就归结的讨论就归结为线性空间为线性空间Rn的讨论的讨论.下面更确切地说明这一点下面更确切地说明这一点 定义定义: 设设U, V是两个线性空间是两个线性空间, 如果它们的元素如果它们的元素之间有之间有一一对应关系一一对应关系, 且这个对应关系保持线性组合且这个对应关系保持线性组合的对应的对应, 那末就称线性空间那末就称线性空间U与与V 同构同构. 例如例如: n维线性空间维线性空间 Vn = = x1 1+x2 2+xn n | x1, x2, , xn R 与与n维数组向量空间维数组向量空间Rn同构同构. (1) Vn中的元素中的元素 与与
11、Rn中的元素中的元素 x = (x1, x2, , xn)T形成一一对应关系形成一一对应关系:因为因为,Vn: = x1 1+x2 2+xn n Rn : x = (x1, x2, , xn)T(2) 设设 (a1, a2, , an)T, (b1, b2, , bn)T, + (a1, a2, , an)T+(b1, b2, , bn)T, k k(a1, a2, , an)T.则有则有结论结论: 1. 同一数域同一数域P上上的同维数线性空间都同构的同维数线性空间都同构; 2. 同构的线性空间之间具有同构的线性空间之间具有等价性等价性(即自反性即自反性, 对对称性与传递性称性与传递性).同构
12、的意义同构的意义:在对抽象线性空间的讨论中在对抽象线性空间的讨论中, 无论构成线性空间无论构成线性空间的元素是什么的元素是什么, 其中的运算是如何定义的其中的运算是如何定义的, 我们所关我们所关心的只是这些运算的代数心的只是这些运算的代数(线性运算线性运算)性质性质. 从这个意从这个意义上可以说义上可以说, 同构的线性空间是可以不加区别的同构的线性空间是可以不加区别的, 而而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.四、小结四、小结 1. 线性空间的线性空间的基基与与维维数数. 2. 线性空间的线性空间的元素在给定基下的坐标元素在给定基下的坐标: (1)
13、 把抽象的向量与具体的把抽象的向量与具体的数组向量数组向量联系起来联系起来; (2) 把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来起来. 3. 线性空间的线性空间的同构同构.思考题解答思考题解答令令 k1 f1(x)+k2 f2(x)+k2 f3(x)+k4 f4(x) = 0,因此因此则则得得: (k1+2k2+k3+2k4)x3 + (2k1 3k2 5k4)x2+ (4k1+9k2+6k3+7k4)x + (k1k2 5k3+5k4) = 0.思考题思考题求由求由Px3中的元素中的元素: f1(x) = x32x2+4x+1, f2(x) = 2x33x2+9x1, f3(x) = x3+6x 5, f4(x) = 2x35x2+7x+5 生成的子空间的基与维数生成的子空间的基与维数. 因此因此, f1(x), f2(x)线性无关线性无关, 且是由且是由 f1(x), f2(x), f3(x), f4(x)所生成的子空间的基所生成的子空间的基, 该子空间的该子空间的维数为维数为2, 且有且有 f3(x) = 3 f1(x) + 2 f2(x), f4(x) = 4 f1(x) f2(x).设该齐次线性方程组的系数矩阵为设该齐次线性方程组的系数矩阵为A, 则则
