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1、数学建模十六组Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望问题提出随着科学技术的不断发展，多级火箭早已取代了原始的早期火箭的框架，可为什么各国均不约而同的采用三级火箭，而不是二级、四级或其他呢？一些关于火箭的图片下面就这一问题来分析并讨论下面就这一问题来分析并讨论解： （1）地球对卫星引力为 ，为卫星质量 ，引力常数可由在地球表面满足 ，得到 ，于是 。又卫星向心力为 给出 。取 ）， （千米）， （千米），代入得火箭速度应为 （千米/秒）。卫星绕地球运行,为了克服地心引力，应具
2、有一定的速度，这个速度应等于火箭的末速度末速度，即火箭送出卫星时所具有的速度。设卫星绕地球作匀速圆周运动，我们设其速度v ， R为地球半径，r为卫星与地心距离，g为地球表面重力加速度即v也就是火箭的末速度。那么要把卫星送上太空工具，并使其到达离地面600公里的轨道，火箭的末速度末速度应为多少？设火箭飞行中速度为v(t),质量为m(t) ,初速为零，初始质量 ，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u，忽略重力和阻力对火箭的影响。运用一些关系能否推出v(t)关于u、m(t)，及 的 关系式。由此来推断：要提高火箭的末速应采取什么措施？ （2） 考察t到 时刻火箭的动量守恒。 左端是火箭动量的减少，右端
3、是喷出气体的动量，由此可得， ，即 。在 的条件下解为 ，可以看出，为了增加火箭速度v，一是改善燃料提高气体喷出的速度u，二是在给定 时，改善火箭结构以减少火箭质量 。火箭质量 包括3部分：有效载荷 （卫星）；燃料 ；结构（外壳、燃料仓等） 。其中 在 中的比例难以小于10，求出当 （火箭不带卫星），燃料用完时火箭达到的最大速度为vm =? 已知目前的u3千米秒，取 ，再求 。这个结果说明什么? （3）将 ，且 代入（2）的结果 ，即得 。当 （米/秒）， ， ，由此可知，在忽略重力阻力，不携带卫星的情况下，火箭的最大速度为7（千米/秒），达不到进入圆形轨道的火箭速度7.6千米/秒，所以用单级
4、火箭不能发射卫星。假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以 和 的比例同时减少，运用一些关系求出v(t)的表达式 再，燃料用完时火箭未速为多少？ （4）在（2）的动量守恒式中左端不变，而右端丢弃的结构部分的动量为 ，喷出气体动量为 ，既可解得 。当燃料用完时，丢弃 ，只剩下 ，于是火箭末速 其实是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的结构记 为第i级火箭质量（燃料和结构）， 为结构质量（ 对各级是一样的）有效载荷仍用 表示。当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点火再设燃料的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系数为k，求出三
5、级火箭的末速 v3的表达式 算要使 千米秒，发射1吨重的卫星需要多重的火箭（ 用以前的数据）若用2级或4级火箭，结果如何？由此能得出使用3级火箭发射卫星的道理吗？ （5）利用（2）的结果， ，第一级火箭燃料用完时 ，末速 ，丢弃 .第二级火箭点火 ，其末速为 。同理，第三级火箭的末速 ，于是 又 则 。要使 ，在 和 时可算出k=3.25。n而由k的定义可知 。若 ，n则 ，若用二级火箭，则 （吨）n若用四级火箭，则 ，由此可见，用三级火箭比两级火箭 减少许多，而用4级火箭，考虑到其复杂性及实际价值及m0，不值得用4级火箭。综上述，我们可以得出结论：综上述，我们可以得出结论： 卫星应采取三级火
6、箭发射。卫星应采取三级火箭发射。 对于模型的发展：对于模型的发展： 如果是载人登月，那么是否还是用三级火箭？能有比三如果是载人登月，那么是否还是用三级火箭？能有比三级火箭更好的方法吗？在三级火箭中三级燃料之间的质量比有级火箭更好的方法吗？在三级火箭中三级燃料之间的质量比有没有很好的比例，使得火箭的末速度更高？没有很好的比例，使得火箭的末速度更高？附：不采用4级火箭的原因n1：多级火箭采用发动机与1、2级火箭不同，级数越多，要求的技术越高。n2：需要解决发动机的高空启动技术。n3：发射时的故障率以级数成几何增长。n例子：长征3号火箭一共发射12次，其中，第1、8、11次失败，原因就是第3级火箭的发动机发动失败及出现故障。报告制作报告制作v材料搜集： 全体人员 v材料整理：李岩 刘楠 v建立模型：惠煜宇 柴华 vMathcad操作：惠煜宇 v数学方程计算：刘楠 柴华 v幻灯片制作：柴华 v复查：刘楠 李岩v报告人：惠煜宇
