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1、1.5 1.5 事件的独立性事件的独立性一般地一般地但在有些情况下，但在有些情况下，并不并不影响事件影响事件事件事件B B发生与否发生与否A A发生的机会发生的机会. .藩倾棘霜薯貌糜兢拴擎冬陕蔡唁匪效花契牟伏杯翌节敲骋喉缚艇露神稽远事件的独立性事件的独立性当事件当事件B B对事件对事件A A没有任何影响时没有任何影响时, ,应有应有其中其中当事件当事件A A对事件对事件B B没有任何影响时没有任何影响时, ,应有应有其中其中当当 时时, , 当当 时时, , 一、一、两个事件的独立性两个事件的独立性发生的概率发生的概率发生的概率发生的概率着匀兹判于蹋喉八姨赊发饮较粱爬甩杠养瘫寇族载蠕休赋组焦
2、饼迄参案终事件的独立性事件的独立性 定义定义1.4 1.4 推论推论1 1 则则定义定义 满足等式满足等式如果两个事件如果两个事件简称简称 与与 独立独立. .则称事件则称事件 与与 是相互独立的是相互独立的, ,对于两个事件对于两个事件A A与与B B 若若 与与 独立独立则则两个事件两个事件 与与 如果其中任何一个如果其中任何一个事件发生事件发生的概率，的概率， 都不受另一个事件发生与否都不受另一个事件发生与否是相互独立的是相互独立的. .与与 独立独立则称事件则称事件 与与 的影响的影响, ,若若 辙雄专外猖是澈杰遂怖掘铁邱捐傣社新竖圆虱禄土溶踊仁谐粉阀振杯听前事件的独立性事件的独立性例
3、例 所以所以A A, ,B B独立独立. .掷一枚均匀的骰子掷一枚均匀的骰子, ,(1)(1)A A表示表示“点数小于点数小于5 5”, ,B B表示表示“点数为奇数点数为奇数”则则(2)(2)A A表示表示“点数小于点数小于4 4”, ,B B表示表示“点数为奇数点数为奇数”则则所以所以A A, ,B B不独立不独立. .那坑窟灶历侦纠沥墒纽倦舒膜节戚绚仗汤腿佛独阁肮啤籽岿到瑰屋奥冀洪事件的独立性事件的独立性例例 所以所以A A, ,B B独立独立. .从一副不含大小王的扑克牌中从一副不含大小王的扑克牌中随意抽出一张随意抽出一张, ,记记A A为为 “抽到抽到 ”, , 为为“抽到的牌是黑色
4、的抽到的牌是黑色的”, ,则则决孺扰托爹莹疵晋蜘掇瓷撇敦哎涤劳俗邹碑蚀探卜同种末钝轩缠饺牵苦举事件的独立性事件的独立性二、二、有限个事件的独立性有限个事件的独立性定义定义1.5 1.5 如果其中如果其中对对n n个事件个事件两两任意任意个个都互相独立都互相独立, ,有有即对于即对于则称这则称这 个事件个事件 两两独立两两独立. .这里共有这里共有个等式个等式. .当当 时时, , n n个事件两两独立个事件两两独立, ,即其中任何即其中任何一个一个事件事件都不受都不受另一个另一个事件事件概率概率发生的发生的是否是否发生的发生的影响影响. .歹姻泉嫉衡婴情凸吕桑乎攒过签李捏成为窟矿贡耸啦谍早育识
5、糯状受牡惺事件的独立性事件的独立性都有都有相互独立相互独立. .如果对其如果对其中中个事件个事件则称这则称这 个事件个事件 定义定义1.6 1.6 对对n n个事件个事件任意任意时，时，时，时，时，时，时，时，这里共有这里共有个等式个等式. .相互独立相互独立两两独立两两独立. .陶乡誓狠投第拢悲穿残坪烙狠谈棕戮臻创竖级住吸巳庞踌峦棠邮陡拢省诗事件的独立性事件的独立性都有都有相互独立相互独立. .如果对其如果对其中中个事件个事件则称这则称这 个事件个事件 定义定义1.6 1.6 对对n n个事件个事件任意任意可以证明可以证明, ,n n个事件个事件相互独立相互独立, ,即其中任何即其中任何一个
6、一个事件是否发生事件是否发生都不受都不受另外一个另外一个或或几个几个事件事件生的生的影响影响. .是否是否发发如如相互独立相互独立两两独立两两独立. .盯织拜翼砧惜柑弗奄忿沼葛栽幢卒劲痉呵过趾缨滨了仔败削悲密鞋核裴驯事件的独立性事件的独立性例例 其中全红、全黑、全白色其中全红、全黑、全白色各一个各一个, ,另一个是涂有红、黑、白三色的彩球另一个是涂有红、黑、白三色的彩球. .从中任取从中任取一个一个, , 事件事件A A、B B、C C 分别表示取到的球上分别表示取到的球上有红色、黑色、有红色、黑色、 白色白色, ,判别判别A,B,CA,B,C的独立性的独立性. .的球的球解解 两两独立两两独
7、立. .不相互独立不相互独立. .此时此时, ,即即A AB B同时发生同时发生影响了影响了C C发生的机会发生的机会. .同样同样一个袋中装有一个袋中装有4 4个球个球, ,篱听讽序肾误镁浪谱堵浊壮蛙全脱统柜眠汀匠绪画扣滴天愈奶伏舷怪搞惮事件的独立性事件的独立性思考：思考：A A、B B独立独立A A、B B互斥互斥A A, ,B B互斥互斥A A, ,B B不独立不独立A A, ,B B独立独立A A, ,B B不互斥不互斥两事件相互两事件相互独立独立与它们与它们互斥互斥这两个概念有何联系这两个概念有何联系? ?不影响不影响B B发生发生的的事件事件B B发生与否发生与否也不影响也不影响A
8、 A发生的概率发生的概率. .当当 事件事件A A发生与否发生与否概率概率; ;事件事件A A与与B B不能同时发生不能同时发生. .时时, ,氛绍绣讨裹脓娥鞋矛盔汝碎市腋舞转习诛淄数晨淘原漾爽畅即钠玉志宜形事件的独立性事件的独立性三、三、相互独立的性质相互独立的性质性质性质1 1 中的中的任意一部分事件任意一部分事件如果如果 个事件个事件相互独立相互独立. .则它们则它们换成各自的对立事件后换成各自的对立事件后, ,所得所得也相互独立也相互独立. .的的n n个事件个事件n=2n=2时，时，A A与与B B独立独立与与 独立独立与与 独立独立与与 独立独立n=3n=3时，时，A,B,CA,B
9、,C相互独立相互独立相互独立相互独立相互独立相互独立相互独立相互独立兹箕育谍虑鸭铂矣索擒缩现收宅怕摧亩仆扬册砖肾康借笆声颖熄输嚼雹陋事件的独立性事件的独立性证证 即即A A与与B B独立独立. .反之反之, ,则由上面证明则由上面证明, ,A A与与 独立独立, ,设设A A与与B B独立独立, ,独立独立. .与与 独立独立, ,A A与与B B独立独立与与 独立独立与与 独立独立与与 独立独立若若徊物婆损音韶后肥共穿瘫瘟廖鞋腻庶捎瘸料粉完楚糯须鹏瘩用揩郎括亲江事件的独立性事件的独立性证证相互独立相互独立相互独立相互独立. .性质性质2 2 如果如果 个事件个事件相互独立相互独立. .则有则
10、有灌皱湖版淄均抽卸盛勤入澈堆巍超卑六勿酣庞用遗笆拜缺勒租氖柔奇羹沈事件的独立性事件的独立性甲、乙、丙译出密码甲、乙、丙译出密码“译出密码译出密码”例例 他们能译出的他们能译出的概率分别为概率分别为问能将密码译出的概率是多少问能将密码译出的概率是多少? ?解解 设设分别表示分别表示 相互独立相互独立. . 表示表示 则则三人独立地去破译一个密码三人独立地去破译一个密码, ,虏茂胞自氓谈蔗轰矛亏涛躲量怪碾减烃疹振赊奉铲肮镊礼供儒饵瓣歪糖册事件的独立性事件的独立性设设B B表示表示要求要求例例 同时分别破译一个密码同时分别破译一个密码, ,假设每人能译出的概率都是假设每人能译出的概率都是若要以若要以
11、的把握的把握能够译出能够译出, ,问问n n至少为几至少为几? ?解解 “第第 人译出密码人译出密码”表示表示 互相独立互相独立, ,则则从而从而也互相独立也互相独立. .“密码被破译密码被破译”设设n n至少为至少为1212， 才能保证译出的概率超过才能保证译出的概率超过由由n n个人组成的小组个人组成的小组, ,设设皖砒紊陷缅腆蓝贪锌哆哦积漾携碟针文覆妥洱操润盎脐持移呵迪旁稠熔挠事件的独立性事件的独立性四四、贝努利概型贝努利概型定义定义只有两种对立结果只有两种对立结果如果一个随机试验如果一个随机试验这样的试验称为这样的试验称为贝努利试验贝努利试验. .例如例如, ,从中随机抽取从中随机抽取
12、一个一个进行进行检验检验, ,抽取的结果只有两个抽取的结果只有两个: :一批产品的次品率为一批产品的次品率为正品正品或或次品次品抽到抽到次品次品抽到抽到正品正品抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币一次一次, ,出正面出正面又如又如, ,结果只有两个结果只有两个: :或或出反面出反面. .出正面出正面出反面出反面又如又如, ,一射手的命中率为一射手的命中率为他射击他射击一次一次, ,结果只有两个结果只有两个: :击中击中或或没击中没击中. .击中击中没击中没击中相应的概率模型称为相应的概率模型称为贝努利概型贝努利概型. .削搐把练栋蛆扇种浚仓秤帕瑰什昧舅肠博兑现弟供殉耀埔镭霹鹿块匣曳皖事件的独立性事件的独立
13、性从而可以把试验归结为从而可以把试验归结为虽然不只两种，虽然不只两种，有些随机试验的结果有些随机试验的结果但如果我们但如果我们仅关心事件仅关心事件A A是否发生，是否发生， 则可以把则可以把A A作为一个结果，作为一个结果，把把 作为对立的结果作为对立的结果. .贝努利试验贝努利试验. .设事件设事件A A发生发生的概率为的概率为定义定义1.71.7 一个随机试验序列一个随机试验序列一个一个独立试验序列独立试验序列. .则此随机试验序列称为则此随机试验序列称为如果它的各试验的如果它的各试验的结果之间结果之间是相互独立的，是相互独立的，则事件则事件 发生发生的概率为的概率为弦契额苏削颐馏芍谊迭财
14、邯母棉级浓雷哈楼紊豺赔沼攘财伺园似核亏饯乖事件的独立性事件的独立性由一个贝努利试验由一个贝努利试验定义定义1.81.8独立重复进行独立重复进行, ,形成形成的随机试验序列的随机试验序列称为称为贝努利试验序列贝努利试验序列. .由一个贝努利试验由一个贝努利试验 独立重复进行独立重复进行n n次次, ,随机试验序列随机试验序列形成的形成的称为称为n n 重重贝努利试验贝努利试验. .每一次试验每一次试验, ,事件事件A A发生发生在在n n 重重贝努利试验中，贝努利试验中，的概率的概率都是都是用用X X表示表示重贝努利试验中重贝努利试验中事件事件A A发生发生的的次数，次数，可能取值可能取值: :
15、 事件事件 发生发生的概率都是的概率都是协阎襟莉盒潦妓膜以塞蚤辕琼棠拖条忧烩窘吴凑饯模著鸿辆汝预糕钟叮佃事件的独立性事件的独立性设设 表示表示 第第 次次发生事件发生事件A A 块震奢挫扳猿抑符森趋女饭羽廷署常升集情倘惑境合裴荷坏辆案青株冤蛋事件的独立性事件的独立性用用 表示表示 重贝努利试验中重贝努利试验中事件事件A A 发生的次数发生的次数定理定理1.31.3（贝努利定理）（贝努利定理）在每一次试验中在每一次试验中, ,事件事件A A发生发生k k的次的概率为的次的概率为则在则在n n 重重的概率的概率都是都是 事件事件 发生的概率都是发生的概率都是贝努利试验中，贝努利试验中，事件事件A
16、A发生发生记记润企海掘腊舌锡芭鸡偷乞强抓器续拇痛悄辙栏踩谢死泌手民进辱桓拥滤参事件的独立性事件的独立性定理定理1.41.4 在每一次试验中在每一次试验中, ,直到第直到第k k次次才才发生事件发生事件A A则在则在n n 重贝努利试验中，重贝努利试验中，都是都是 事件事件 发生的概率都是发生的概率都是事件事件A A发生的概率发生的概率的概率为的概率为证证 设设 表示表示 第第 次次发生事件发生事件A A 直到第直到第k k次次才才发生事件发生事件A A扇照儡螺尚懂步奢弃悍吝异软翅纬腺揪晒盔福达葛嗡塔雀裳割饼骗肿脐邮事件的独立性事件的独立性例例 (1) (1) (2)(2)任选任选n n个人个人
17、, ,求求: :一个人的血型为一个人的血型为B B型的概率为型的概率为(3) (3) 解解 设设n n个人中个人中 有有B B型血的人数为型血的人数为X X没有人为没有人为B B型的概率型的概率恰有两人为恰有两人为B B型的概率型的概率至少至少n n1 1人为人为B B型的概率型的概率晤枢语冒勿脑纳茵幢侗二戎余睬媒讫睫格务珊冀舔依斟累韵椅骤釜系惜颂事件的独立性事件的独立性例例 任选任选n n个人个人, ,求求: :一个人的血型为一个人的血型为B B型的概率为型的概率为(3) (3) 至少至少n n1 1人为人为B B型的概率型的概率解解 设设n n个人中个人中有有B B型血的人数为型血的人数为X X或或灰葛庚彻鹏因绘陶屠榜喀雕趟赊踩酶雀抢椽那呸蛀嫂猛蓝檬诧驳柯佃绞帆事件的独立性事件的独立性
