《高中数学 2.3.1数乘向量课件 北师大版必修4.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 2.3.1数乘向量课件 北师大版必修4.ppt（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量问题问题引航引航1.1.什么是数乘向量？其方向是怎么规定的？什么是数乘向量？其方向是怎么规定的？2.2.共线向量的判定定理与性质定理的内容是什共线向量的判定定理与性质定理的内容是什么？有什么应用？么？有什么应用？1.1.数乘向量的概念与运算律数乘向量的概念与运算律(1)(1)数乘向量：数乘向量：定义：定义： a是一个是一个_._.长度：长度：_._.方向：方向：向量向量|a| |相同相同相反相反任意任意(2)(2)数乘向量的运算律：数乘向量的运算律：(a)=_()=_(，R).R).(+)(+)a=_(=_(，R).R).(a+ +b)=_(R).)=
2、_(R).()()a a+ + a a+ + b2.2.向量共线的判定定理与性质定理向量共线的判定定理与性质定理(1)(1)判定定理：判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数是一个非零向量，若存在一个实数，使得，使得b=_=_，则向量，则向量b与非零向量与非零向量a共线共线. .(2)(2)性质定理：若向量性质定理：若向量b与非零向量与非零向量a共线，则存在一个实数共线，则存在一个实数，使得，使得b=_.=_.aa1 1判一判判一判 ( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)实数与向量相乘得到数乘向量，实数与向量相加也能得到实数与向量相乘得到数乘向量，实数与向量
3、相加也能得到向量向量.( ).( )(2)(2)数乘向量的运算满足结合律、分配律数乘向量的运算满足结合律、分配律.( ).( )(3)(3)若向量若向量a, ,b共线，则一定有共线，则一定有a=b(R).( )(R).( )2 2做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)非零向量非零向量a与向量与向量-2-2a的方向的方向_._.(2) (2) aa+2+2a=_=_._.(3)(3)向量向量e1 1- -e2 2与向量与向量e2 2- -e1 1的关系是的关系是_ _._.【解析解析】1.(1)1.(1)错误错误. .实数实数与向量与向量a可以作积，
4、但不可以作加可以作积，但不可以作加减法减法. .(2)(2)正确正确. .由数乘向量的运算律可知正确由数乘向量的运算律可知正确. .(3)(3)错误错误. .若向量若向量b= =0时时,不存在不存在. .答案答案: :(1) (2) (3)(1) (2) (3)2.(1)2.(1)非零向量非零向量a与向量与向量2 2a的方向相反的方向相反. .答案答案: :相反相反(2) (2) aa+2+2a= = a. .答案：答案： a(3)(3)因为因为e1 1- -e2 2=-(=-(e2 2e1 1),),故两向量共线故两向量共线. .答案：答案：共线共线【要点探究要点探究】知识点知识点1 1 数
5、乘向量的定义及运算数乘向量的定义及运算1.1.对实数与向量的积的理解对实数与向量的积的理解(1)(1)从代数的角度来看，从代数的角度来看，是实数，是实数，a是向量，它们的积仍然是向量，它们的积仍然是向量；是向量；a= =0的条件是的条件是a= =0或或=0.=0.(2)(2)从几何的角度来看，对于向量的长度而言，从几何的角度来看，对于向量的长度而言，当当|1 1时，时，有有|a| | |a| |，这意味着表示向量，这意味着表示向量a a的有向线段在原方向的有向线段在原方向(0)0)或反方向或反方向(0)0)上伸长到上伸长到|倍；倍；当当0 0|1 1时，有时，有|a| | |a| |，这意味着
6、表示向量，这意味着表示向量a的有向线段在原方向的有向线段在原方向(0(01)1)或反方向或反方向(-1(-10)0)上缩短到原来的上缩短到原来的|.|.2.2.对数乘向量的运算律的说明对数乘向量的运算律的说明数乘向量满足对实数的结合律、分配律，即数乘向量的运算律数乘向量满足对实数的结合律、分配律，即数乘向量的运算律类似于实数的运算律，可以类比记忆应用类似于实数的运算律，可以类比记忆应用. .【微思考微思考】(1)(1)数乘向量数乘向量a的模一定比原来向量的模一定比原来向量a的模大吗？的模大吗？提示：提示：不一定，当不一定，当|1|1时模变大，否则模不变或变小时模变大，否则模不变或变小. .(2
7、)(2)实数与向量相乘的结果是实数吗？实数与向量相乘的结果是实数吗？提示：提示：实数与向量相乘的结果仍然是向量实数与向量相乘的结果仍然是向量. .【即时练即时练】1.1.若若a=2=2，则向量，则向量2 2a的模为的模为_ _. .2.2.化简：化简：(1) (1) a+ +b a b=_=_. .(2)(2014(2)(2014乐清高一检测乐清高一检测) (2) (2a+8+8b)-(4)-(4a-2-2b)=_.)=_.【解析解析】1.|1.|2 2a|=2|=2|a|=22=4.|=22=4.答案：答案：4 42.(1)2.(1)(2)(2)由题意，得由题意，得 (2(2a+8+8b)-
8、(4)-(4a-2-2b)=)=a+4+4b-4-4a+2+2b=-3=-3a+6+6b，即原式即原式=6=6b-3-3a. .答案：答案：(1) (2)6(1) (2)6b-3-3a知识点知识点2 2 共线向量的判定与性质共线向量的判定与性质对向量共线定理的两点说明对向量共线定理的两点说明(1)(1)定理中定理中, ,之所以规定之所以规定a0, ,因为若因为若a= =0, ,当当b= =0时时, ,对于任意的实对于任意的实数数,均满足均满足b=a; ;当当b0, ,则不存在实数则不存在实数,满足满足b=a. .(2)(2)若若a, ,b不共线，且不共线，且a=b，则必有，则必有=0.=0.【
9、微思考微思考】利用共线向量定理判定向量共线的关键是什么利用共线向量定理判定向量共线的关键是什么? ?提示：提示：关键是确定实数关键是确定实数,满足满足a=b或或b= =a. .【即时练即时练】1.1.已知向量已知向量a= =e, ,e0,0,b=2=2a e, ,若若a=b, ,则则=_.=_.2.2.已知点已知点C C是线段是线段ABAB的三等分点且靠近的三等分点且靠近A A点点, , 则则=_=_. .【解析解析】1. 1. 故故= .= .答案：答案： 2.2.因为因为AB= BC,AB= BC,故故 故故=- .=- .答案答案: :- -【题型示范题型示范】类型一类型一 数乘向量的运
10、算数乘向量的运算【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014三亚高一检测三亚高一检测) )在在ABCABC中，中， 若点若点D D满足满足 则则 =( )=( )(2)D,E,F(2)D,E,F分别为分别为ABCABC的边的边BC,CA,ABBC,CA,AB的中点，且的中点，且给出下列等式：给出下列等式：其中正确的序号为其中正确的序号为_._.【解题探究解题探究】1.1.利用向量的加法，题利用向量的加法，题(1)(1)中向量中向量 可以表示成可以表示成哪些向量的和？哪些向量的和？2.2.题题(2)(2)中三角形的中线、中位线具有什么样的性质？中三角形的中线、中位线具有什么样的性质？【探究
11、提示探究提示】1. 1. 或或2.2.三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，中位线是连接三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，中位线是连接两边中点的线段，中线的一个端点是边的中点，中位线平行且两边中点的线段，中线的一个端点是边的中点，中位线平行且等于对边的一半等于对边的一半. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.D.方法一：方法一：方法二：方法二：(2)(2)如图如图, ,答案：答案：【延伸探究延伸探究】本例题本例题(1)(1)中，若中，若 试表示试表示【解析解析】【方法技巧方法技巧】数乘向量的化简方法数乘向量的化简方法(1)(1)不在图形中的简单化简问题依照数乘向量的运算律进行不在
12、图形中的简单化简问题依照数乘向量的运算律进行. .(2)(2)在具体图形中的数乘向量化简一般要利用向量的加法在具体图形中的数乘向量化简一般要利用向量的加法( (减法减法) )找到向量间的关系，再利用数乘向量的运算进行化简找到向量间的关系，再利用数乘向量的运算进行化简. .(3)(3)具体图形中的数乘向量化简要结合图形的性质进行具体图形中的数乘向量化简要结合图形的性质进行. .【变式训练变式训练】如图所示，已知如图所示，已知C,D,EC,D,E为为ABAB的四等分点，求的四等分点，求【解析解析】 此时，此时，【补偿训练补偿训练】把满足把满足3 3x-2-2y= =a，-4-4x+3+3y= =b
13、的向量的向量x，y用用a，b表表示出来示出来. .【解析解析】由已知得由已知得3+23+2得得x=3=3a+2+2b，4+34+3，得，得y=4=4a+3+3b. .所以所以x=3=3a+2+2b, ,y=4=4a+3+3b. .类型二类型二 共线向量定理的应用共线向量定理的应用【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014遵义高一检测遵义高一检测) )在四边形在四边形ABCDABCD中，中， = =a+2+2b，= =4 4ab， = =5 5a3 3b，其中向量，其中向量a, ,b不共线，则四边形不共线，则四边形ABCDABCD为为( )( )A.A.梯形梯形 B.B.平行四边形平行四
14、边形C.C.菱形菱形 D.D.矩形矩形(2)(2014(2)(2014宿迁高一检测宿迁高一检测) )设两个非零向量设两个非零向量a与与b不共线不共线若若 ab， 2 2a8 8b， 3(3(a- -b) )求证：求证：A,B,DA,B,D三三点共线；点共线；试确定实数试确定实数k k，使，使k kab和和ak kb共线共线【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中能否求出向量中能否求出向量 ？2.2.题题(2)(2)中中A A，B B，D D三点共线应满足什么条件？三点共线应满足什么条件？k ka+ +b和和a+k+kb共线共线应满足什么条件？应满足什么条件？【探究提示探究提示】1.1.2
15、.A2.A，B B，D D三点共线应满足三点共线应满足 k kab和和ak kb共线应满共线应满足足k ka+ +b=(=(a+k+kb).).【自主解答自主解答】(1)(1)选选A.A.因为因为= =a+2+2b-4-4ab5 5a3 3b= =8 8a2 2b=2 =2 ，故，故ADBCADBC且且AD=2BCAD=2BC，故四边形故四边形ABCDABCD为梯形为梯形. .(2)(2)因为因为所以所以所以所以 共线，共线，又因为它们有公共点又因为它们有公共点B B，所以，所以A A，B B，D D三点共线三点共线因为因为k kab与与ak kb共线，共线，所以存在实数所以存在实数，使，使k
16、 kab(ak kb) )，即即k kabakkb. .所以所以(k(k)a(k(k1)1)b. .因为因为a，b是不共线的两个非零向量，是不共线的两个非零向量，所以所以k kkk1 10 0，所以，所以k k2 21 10,0,所以所以k k1.1.【方法技巧方法技巧】用向量共线定理求参数的方法用向量共线定理求参数的方法(1)(1)三点三点A,B,CA,B,C共线问题：利用共线问题：利用 构造方程求参数构造方程求参数. .(2)(2)已知向量已知向量m ma+n+nb与与k ka+p+pb( (a与与b不共线不共线) )共线求参数的值的共线求参数的值的步骤步骤设：设设：设m ma+n+nb=
17、(k=(ka+p+pb).).整：整理得整：整理得m ma+n+nb=k=ka+p+pb，故，故解：解方程组得参数的值解：解方程组得参数的值. .【变式训练变式训练】已知向量已知向量a=2=2e1 13 3e2 2, ,b=2=2e1 1+3+3e2 2, ,其中其中e1 1，e2 2为不为不共线向量共线向量. .(1)(1)用向量用向量a, ,b表示表示e1 1，e2 2. .(2)(2)向量向量a, ,b是否共线？请说明理由是否共线？请说明理由. .【解题指南解题指南】(1)(1)联立方程解出向量联立方程解出向量e1 1，e2 2. .(2)(2)利用利用a=b构造方程组解题构造方程组解题
18、. .【解析解析】(1)(1)由由a=2=2e1 13 3e2 2, ,b=2=2e1 1+3+3e2 2, ,联立可解得联立可解得(2)(2)向量向量a, ,b不共线不共线. .假设向量假设向量a, ,b共线，则设共线，则设a=b，可得：可得： 无解，故向量无解，故向量a, ,b不共线不共线. .【补偿训练补偿训练】MNMN是是ABCABC的中位线的中位线( (其中其中M M为为ABAB的中点，的中点，N N为为ACAC的中点的中点) )，求证：，求证： 且且MNBC.MNBC.【证明证明】因为因为M M，N N是是ABAB，ACAC边上的中点，边上的中点，所以所以所以，所以， 且且MNBC
19、.MNBC.【易错误区易错误区】忽视共线向量的方向致误忽视共线向量的方向致误【典例典例】(2014(2014榆林高一检测榆林高一检测) )若若 且且则则=_.=_.【解析解析】(1)(1)当点当点C C在线段在线段ABAB上时，如图，上时，如图，则则 即即=2.=2.(2)(2)当当点点C C在线段在线段ABAB的延长线上的延长线上时，如图，时，如图，则则 与与 的方向相反，故的方向相反，故=-2.=-2.答案：答案：2 2或或-2-2【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析2 2忽视阴影处的这种情况，导致漏掉一个解忽视阴影处的这种情况，导致漏掉一个解 【防范措施防范措施】重视对向量方向的
20、讨论重视对向量方向的讨论 根据向量共线的定义，当两个向量的方向相同或相反时均根据向量共线的定义，当两个向量的方向相同或相反时均共线，因此需要对共线向量进行两种情况的讨论，避免漏解共线，因此需要对共线向量进行两种情况的讨论，避免漏解. .如本例中若想当然地认为同向，则会漏掉解如本例中若想当然地认为同向，则会漏掉解=2.2.【类题试解类题试解】若若| |a|=m|=m，b与与a的方向相反，且的方向相反，且| |b|=2|=2，则，则a=_=_b. .【解析解析】因为因为 所以所以| |a|= |= |b|.|.因为因为b与与a方向相方向相反，所以反，所以b与与a共线共线. .所以所以a=- =- b. .答案：答案：- -
