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1、二二二二 项项项项 式式式式 定定定定 理理理理 2 2复习提问复习提问 1.二项式定理的内容二项式定理的内容(a+b)n= Cnan+Cnan-1b+Cnan-kbk+Cnbn01kn右边多项式叫右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；的二项展开式；2.二项式系数二项式系数:3.二项展开式的通项二项展开式的通项Tk+1=针对针对(a+b)n的的标准形式而言标准形式而言(b+a)n，(a-b)n的通项则分别为的通项则分别为:4.在定理中，令在定理中，令a=1，b=x，则，则二项式定理的逆用例例1 1 计算并求值计算并求值解解(1):(1):将原式变形将原式变形例例1 1 计算并求值计算并求值解解
2、:(2):(2)原式原式逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点, ,也是重点也是重点, ,只只有熟练掌握公式的正用有熟练掌握公式的正用, ,才能掌握逆向应用和变式应用才能掌握逆向应用和变式应用观察猜想观察猜想展开式的二项式系数有什么变化规律？展开式的二项式系数有什么变化规律？二项式系数最大的是哪一项？二项式系数最大的是哪一项？(a+b)n= Cnan+Cnan-1b+Cnan-rbr+Cnbn01rn研究它的一般规律，我们先来观察研究它的一般规律，我们先来观察n为特殊值时，二项展开式中二项式系为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点？数有什么特
3、点？ 当当 时，求时，求 展开式的展开式的二项式系数，及二项式系数的和。二项式系数，及二项式系数的和。 二项式系数有什么特点？二项式系数有什么特点？定义域定义域0,1,2, ,n 61420O63r f ( r )令令当当n= 6时时,其图象是其图象是7个个孤立点孤立点归纳提高归纳提高 性质性质1(对称性对称性)：在二项展开式中，与首末两端在二项展开式中，与首末两端“等距等距”的的两项的二项式系数相等。即两项的二项式系数相等。即 一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：注：在杨辉三角表里，每一个数都等注：在杨辉三角表里，每一个数都等于它肩上两个数的和于它
4、肩上两个数的和归纳提高归纳提高 性质性质2(增减性与最大值增减性与最大值)： 若若n为偶数为偶数中间一项（第中间一项（第项）的二项式系数取得项）的二项式系数取得最大值；即最最大值；即最大大。当当r 时，时， 单调递增；单调递增；当当r 时，时， 单调递减；单调递减；归纳提高归纳提高 性质性质2(增减性与最大值增减性与最大值)： 中间两项（第中间两项（第 、 项）的二项项）的二项式系数相等，且同时取得最大值。即式系数相等，且同时取得最大值。即 若若n为奇数为奇数当当r 时，时， 单调递增；单调递增；当当r 时，时， 单调递减；单调递减；例题分析例题分析 例例2证明：证明：（1）(a + b)n
5、的展开式中的展开式中,各二项式系数各二项式系数的和为的和为2n；（2）(a + b)n的展开式中，奇数项的二的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。系数的和。小结：小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值求解二项式系数和时，灵活运用赋值 法可以使问题简单化。通常选取赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值 时取时取1 1，1 1。性质性质3(各二项式系数的和各二项式系数的和) ：性质性质4(奇数项的二项式系数和等于偶数项奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和的二项式系数和)： 归纳提高归纳提高 求奇数求奇数( (次次) )项偶数项偶数( (次
6、次) )项系数的和项系数的和(1)(1)(2)(2)求奇数求奇数( (次次) )项偶数项偶数( (次次) )项系数的和项系数的和所以（3）例题点评例题点评求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值求多项式的展开式中特定的项求多项式的展开式中特定的项( (系数系数) )例例4 4的展开式中的展开式中, , 的系数等于的系数等于_解解: :仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是解法解法2 2 运用等比数列求和公
7、式得在在 的展开式中的展开式中,含有含有 项的系数为项的系数为所以所以 的系数为的系数为-20求复杂的代数式的展开式中某项求复杂的代数式的展开式中某项( (某项的系数某项的系数),),可以逐项分析求解可以逐项分析求解, ,常常对所给代数式进行化简常常对所给代数式进行化简, ,可以可以减小计算量减小计算量例题点评例题点评例题例题 5:5:求求 的展开式中的展开式中 项项 的系数的系数. .解解的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是由题意知解得所以所以 的系数为的系数为: : 例题点评例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运
8、算个通项之积比较方便运算求展开式中系数最大求展开式中系数最大( (小小) )的项的项解解: :设设 项是系数最大的项项是系数最大的项, ,则则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是例例 7 7 在在 的展开式中，系数的展开式中，系数绝对值绝对值最大的项最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有由此确定由此确定r r的取值的取值例题点评例题点评三项式转化为二项式三项式转化为二项式解：三项式不能用二项式定理解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式必须转化为二项式再利用二项式定理逐项分析常数项得再利用二项式定理逐项分析常数项得=1107=1107_解：解：原式化为其通项公式为其通项公式为240240例题点评括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合合并时要注意选择的科学性并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二也可因式分解化为乘积二项式项式.
